Subgroups — #298614

Order 512.

1320 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 333 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#500	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#33171	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#25903	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#25718	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1706	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10308	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#9823	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₈×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#500	—	2	8	no	—
11	C₂×#500	—	2	2	no	—
12	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#492	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#486	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#466	—	2	2	no	—
18	C₂×#448	—	2	4	no	—
19	C₂²×#107	—	2	2	no	—
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2856	C₂²	1	2	yes	—
22	#2023	—	2	4	no	—
23	#2013	—	2	4	no	—
24	#1990	C₂²	1	4	yes	—
25	#1970	—	2	2	no	—
26	#1957	C₂²	1	2	yes	—
27	#1956	C₂²	1	4	yes	—
28	#1874	—	2	4	no	—
29	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1706	—	2	8	no	—
33	C₂×C₈²	C₂²	1	2	yes	—
34	#1273	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
36	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
37	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
38	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
39	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
40	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×#121	—	2	2	no	—
47	C₂×#121	—	2	2	no	—
48	C₂×#121	—	2	2	no	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	#500	—	2	16	no	—
53	#500	—	2	8	no	—
54	#500	—	2	4	no	—
55	#500	D₄	1	8	yes	complemented
56	#493	—	2	4	no	—
57	#492	—	2	8	no	—
58	#492	—	4	4	no	—
59	#486	—	2	8	no	—
60	#486	—	4	4	no	—
61	#466	—	4	8	no	—
62	#448	—	4	16	no	—
63	C₂×#107	—	2	16	no	—
64	C₂×#107	—	2	4	no	—
65	C₂×#107	—	2	4	no	—
66	C₂×#107	—	2	2	no	—
67	C₂×#103	—	2	8	no	—
68	C₂×#102	—	2	8	no	—
69	C₂×#102	—	2	4	no	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#390	—	2	2	no	—
79	#390	—	2	2	no	—
80	#390	—	2	2	no	—
81	#384	C₂³	1	2	yes	—
82	#340	—	2	8	no	—
83	#336	D₄	1	2	yes	—
84	#336	D₄	1	2	yes	—
85	C₈²	—	2	4	no	—
86	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
87	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
88	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
89	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
90	C₂²×Q₈	—	8	4	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
94	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
95	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
96	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
100	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
101	C₂×SD₁₆	—	8	8	no	—
102	C₂×D₈	—	4	4	no	—
103	C₂×D₈	—	4	4	no	—
104	C₂×D₈	—	4	4	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
107	C₂²×C₈	SD₁₆	1	8	yes	complemented
108	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
113	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
114	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
115	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
116	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
117	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
118	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
119	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
120	#127	—	2	4	no	—
121	#127	—	2	4	no	—
122	#121	—	4	8	no	—
123	#121	—	4	8	no	—
124	#121	—	4	8	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
144	#107	—	2	16	no	—
145	#107	—	2	16	no	—
146	#107	—	4	4	no	—
147	#103	—	4	16	no	—
148	#102	—	4	16	no	—
149	#102	—	4	8	no	—
150	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
151	C₂²⋊C₈	D₈	1	8	yes	complemented
152	C₄×C₈	—	2	4	no	—
153	C₄×C₈	—	2	2	no	—
154	C₄×C₈	—	2	2	no	—
155	C₄×C₈	—	2	2	no	—
156	C₄×C₈	—	2	2	no	—
157	C₄×C₈	—	2	2	no	—
158	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
159	C₂⁴	—	4	2	no	—
160	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
161	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
162	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
163	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
164	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
165	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
166	C₂×Q₈	—	8	32	no	—
167	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
168	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
169	C₂×D₄	—	4	2	no	—
170	C₂×D₄	—	4	2	no	—
171	C₂×D₄	—	4	4	no	—
172	C₂×D₄	—	4	4	no	—
173	C₂×D₄	—	4	4	no	—
174	C₂×D₄	—	4	4	no	—
175	C₂×D₄	—	4	4	no	—
176	C₂×D₄	—	4	4	no	—
177	C₂×D₄	—	4	4	no	—
178	C₂×D₄	—	4	4	no	—
179	C₂×D₄	—	8	4	no	—
180	C₂×D₄	—	8	4	no	—
181	C₂×D₄	—	8	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
194	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
203	SD₁₆	—	8	32	no	—
204	D₈	—	8	8	no	—
205	C₂×C₈	—	2	2	no	—
206	C₂×C₈	—	2	4	no	—
207	C₂×C₈	—	2	2	no	—
208	C₂×C₈	—	2	4	no	—
209	C₂×C₈	—	2	16	no	—
210	C₂×C₈	—	2	4	no	—
211	C₂×C₈	—	2	4	no	—
212	C₂×C₈	—	2	4	no	—
213	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
214	C₂×C₈	C₂×D₈	1	8	yes	—
215	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
216	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
217	C₂×C₈	#137	1	4	yes	—
218	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
220	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
221	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
222	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
226	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
230	C₄²	—	2	1	no	—
231	C₄²	—	2	1	no	—
232	C₄²	—	2	2	no	—
233	C₄²	—	2	2	no	—
234	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
235	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
236	C₂³	—	2	1	no	—
237	C₂³	—	2	1	no	—
238	C₂³	—	2	1	no	—
239	C₂³	—	2	1	no	—
240	C₂³	—	8	2	no	—
241	C₂³	—	8	2	no	—
242	C₂³	—	8	2	no	—
243	C₂³	—	8	2	no	—
244	C₂³	—	8	2	no	—
245	C₂³	—	8	2	no	—
246	C₂³	—	8	2	no	—
247	C₂³	#492	1	2	yes	—
248	C₂³	#493	1	2	yes	—
249	C₂³	#495	1	2	yes	—
250	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
251	Q₈	—	4	16	no	—
252	Q₈	—	8	16	no	—
253	Q₈	—	8	8	no	—
254	D₄	—	8	4	no	—
255	D₄	—	8	4	no	—
256	D₄	—	8	8	no	—
257	D₄	—	8	8	no	—
258	D₄	—	16	8	no	—
259	C₂×C₄	—	2	1	no	—
260	C₂×C₄	—	2	1	no	—
261	C₂×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂×C₄	—	2	1	no	—
264	C₂×C₄	—	2	1	no	—
265	C₂×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	8	no	—
268	C₂×C₄	—	2	8	no	—
269	C₂×C₄	—	4	8	no	—
270	C₂×C₄	—	8	16	no	—
271	C₂×C₄	—	8	4	no	—
272	C₂×C₄	—	8	4	no	—
273	C₂×C₄	—	8	2	no	—
274	C₂×C₄	—	8	2	no	—
275	C₂×C₄	—	8	2	no	—
276	C₂×C₄	#492	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	#493	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	#495	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
289	C₈	—	2	4	no	—
290	C₈	—	2	8	no	—
291	C₈	—	4	4	no	—
292	C₈	#448	1	8	yes	complemented
293	C₂²	—	2	2	no	—
294	C₂²	—	2	2	no	—
295	C₂²	—	2	2	no	—
296	C₂²	—	2	2	no	—
297	C₂²	—	2	2	no	—
298	C₂²	—	2	2	no	—
299	C₂²	—	16	2	no	—
300	C₂²	—	16	2	no	—
301	C₂²	—	16	2	no	—
302	C₂²	—	16	2	no	—
303	C₂²	—	16	2	no	—
304	C₂²	—	16	2	no	—
305	C₂²	—	16	2	no	—
306	C₂²	#1706	1	4	yes	complemented
307	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	C₂×#495	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	#3152	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	#3156	1	1	yes	characteristic
314	C₄	—	2	2	no	—
315	C₄	—	2	2	no	—
316	C₄	—	2	2	no	—
317	C₄	—	8	8	no	—
318	C₄	—	16	2	no	—
319	C₄	C₂×#448	1	2	yes	—
320	C₄	#3206	1	2	yes	—
321	C₄	D₄×D₈	1	4	yes	—
322	C₄	#3285	1	4	yes	—
323	C₂	—	2	4	no	—
324	C₂	—	32	2	no	—
325	C₂	C₂×#1706	1	1	yes	characteristic
326	C₂	#19630	1	1	yes	characteristic
327	C₂	#19638	1	1	yes	characteristic
328	C₂	#19655	1	1	yes	characteristic
329	C₂	#25718	1	1	yes	characteristic
330	C₂	#25779	1	1	yes	characteristic
331	C₂	#25782	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#33171	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#500	C₂	semidirect
3. #25903	C₂	semidirect
4. #25718	C₂	semidirect
5. C₂×#1706	C₂	semidirect
6. #10308	C₂	semidirect
7. #9823	C₂	semidirect
8. C₈×C₂²⋊C₈	C₂	semidirect
55. #500	D₄	semidirect
107. C₂²×C₈	SD₁₆	semidirect
151. C₂²⋊C₈	D₈	semidirect
292. C₈	#448	semidirect
306. C₂²	#1706	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#500	2
#33171	2
#25903	2
#25718	2
C₂×#1706	2
#10308	2
#9823	2
C₈×C₂²⋊C₈	2