Subgroups — #298624

Order 512.

1142 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 423 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3170	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#33171	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#25905	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#25598	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1709	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10311	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10310	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9825	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9823	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
13	#3170	—	2	4	no	—
14	#3170	—	2	4	no	—
15	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#467	—	2	2	no	—
24	C₂×#466	—	2	2	no	—
25	C₂×C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
26	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2856	C₂²	1	2	yes	—
28	#2025	—	2	4	no	—
29	#2000	—	2	4	no	—
30	#1990	C₂²	1	2	yes	—
31	#1990	C₂²	1	2	yes	—
32	#1990	C₂²	1	2	yes	—
33	#1970	—	2	2	no	—
34	#1957	C₂²	1	2	yes	—
35	#1956	C₂²	1	2	yes	—
36	#1880	—	2	4	no	—
37	#1875	—	2	4	no	—
38	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1709	—	2	4	no	—
42	#1706	—	2	4	no	—
43	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1273	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1273	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
49	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
50	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
51	#533	—	2	4	no	—
52	#533	—	2	4	no	—
53	#533	—	4	2	no	—
54	#533	—	4	2	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×#125	—	2	2	no	—
59	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
61	C₂×#121	—	2	2	no	—
62	C₂×#121	—	2	2	no	—
63	C₂×#121	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
66	C₂×#117	—	2	2	no	—
67	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#500	—	2	2	no	—
69	#500	D₄	1	4	yes	complemented
70	#494	—	2	2	no	—
71	#494	D₄	1	4	yes	complemented
72	#493	—	2	2	no	—
73	#493	—	2	2	no	—
74	#492	—	2	4	no	—
75	#492	—	4	2	no	—
76	#487	—	2	4	no	—
77	#487	—	2	4	no	—
78	#486	—	2	4	no	—
79	#486	—	2	4	no	—
80	#486	—	2	4	no	—
81	#486	—	4	2	no	—
82	#486	—	4	2	no	—
83	#486	—	4	2	no	—
84	#467	—	2	16	no	—
85	#466	—	4	8	no	—
86	C₄×Q₁₆	—	2	16	no	—
87	C₂×#107	—	2	2	no	—
88	C₂×#107	—	2	2	no	—
89	C₂×#103	—	2	4	no	—
90	C₂×#103	—	2	4	no	—
91	C₂×#102	—	2	4	no	—
92	C₂×#102	—	2	4	no	—
93	C₂×#102	—	2	4	no	—
94	C₂×#102	—	2	4	no	—
95	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
96	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
99	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	#390	—	2	2	no	—
107	#390	—	2	2	no	—
108	#390	—	2	2	no	—
109	#384	C₂³	1	2	yes	—
110	#340	—	2	4	no	—
111	#340	—	2	4	no	—
112	#340	—	2	4	no	—
113	#336	D₄	1	2	yes	—
114	#336	D₄	1	2	yes	—
115	C₈²	—	2	2	no	—
116	C₈²	—	2	2	no	—
117	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
123	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
127	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
128	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
129	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
130	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
131	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
132	C₂×D₈	—	4	4	no	—
133	C₂×D₈	—	4	4	no	—
134	C₂×D₈	—	4	4	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	#127	—	2	2	no	—
153	#127	—	2	2	no	—
154	#127	—	2	2	no	—
155	#127	—	2	2	no	—
156	#125	—	4	4	no	—
157	#125	—	4	4	no	—
158	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
159	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
160	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
161	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
162	#121	—	4	8	no	—
163	#121	—	4	8	no	—
164	#121	—	8	4	no	—
165	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
166	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
167	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
168	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
169	#117	—	4	4	no	—
170	#117	—	4	4	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
193	#107	—	2	8	no	—
194	#107	—	4	4	no	—
195	#103	—	2	16	no	—
196	#103	—	8	4	no	—
197	#102	—	4	8	no	—
198	#102	—	4	8	no	—
199	#102	—	4	8	no	—
200	#102	—	4	8	no	—
201	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
202	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
203	C₄×C₈	—	2	4	no	—
204	C₄×C₈	—	2	1	no	—
205	C₄×C₈	—	2	1	no	—
206	C₄×C₈	—	2	1	no	—
207	C₄×C₈	—	2	1	no	—
208	C₄×C₈	—	2	1	no	—
209	C₄×C₈	—	2	1	no	—
210	C₄×C₈	—	2	1	no	—
211	C₄×C₈	—	2	1	no	—
212	C₄×C₈	—	2	1	no	—
213	C₄×C₈	—	2	1	no	—
214	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
215	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
216	C₂⁴	—	4	2	no	—
217	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
218	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
220	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	2	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	4	no	—
233	C₂×D₄	—	4	4	no	—
234	C₂×D₄	—	4	4	no	—
235	C₂×D₄	—	4	4	no	—
236	C₂×D₄	—	4	4	no	—
237	C₂×D₄	—	4	4	no	—
238	C₂×D₄	—	8	4	no	—
239	C₂×D₄	—	8	4	no	—
240	C₂×D₄	—	8	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
262	Q₁₆	—	4	16	no	—
263	SD₁₆	—	8	16	no	—
264	D₈	—	8	8	no	—
265	C₂×C₈	—	2	2	no	—
266	C₂×C₈	—	2	2	no	—
267	C₂×C₈	—	2	2	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	2	2	no	—
270	C₂×C₈	—	2	2	no	—
271	C₂×C₈	—	2	2	no	—
272	C₂×C₈	—	2	2	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	2	no	—
275	C₂×C₈	—	2	2	no	—
276	C₂×C₈	—	2	2	no	—
277	C₂×C₈	—	2	2	no	—
278	C₂×C₈	—	2	2	no	—
279	C₂×C₈	—	4	8	no	—
280	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
281	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
282	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
283	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
284	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
301	C₄²	—	2	1	no	—
302	C₄²	—	2	1	no	—
303	C₄²	—	2	1	no	—
304	C₄²	—	2	1	no	—
305	C₄²	—	2	1	no	—
306	C₄²	—	2	1	no	—
307	C₄²	—	4	8	no	—
308	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
309	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
310	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
311	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
312	C₂³	—	2	1	no	—
313	C₂³	—	2	1	no	—
314	C₂³	—	2	1	no	—
315	C₂³	—	2	1	no	—
316	C₂³	—	2	1	no	—
317	C₂³	—	2	1	no	—
318	C₂³	—	8	2	no	—
319	C₂³	—	8	2	no	—
320	C₂³	—	8	2	no	—
321	C₂³	—	8	2	no	—
322	C₂³	—	8	2	no	—
323	C₂³	—	8	2	no	—
324	C₂³	—	8	2	no	—
325	C₂³	#495	1	2	yes	—
326	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
327	Q₈	—	4	8	no	—
328	Q₈	—	4	8	no	—
329	Q₈	—	8	4	no	—
330	Q₈	—	8	4	no	—
331	D₄	—	8	4	no	—
332	D₄	—	8	4	no	—
333	D₄	—	8	4	no	—
334	D₄	—	8	4	no	—
335	D₄	—	8	4	no	—
336	D₄	—	8	4	no	—
337	D₄	—	16	8	no	—
338	C₂×C₄	—	2	1	no	—
339	C₂×C₄	—	2	1	no	—
340	C₂×C₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	2	1	no	—
343	C₂×C₄	—	2	1	no	—
344	C₂×C₄	—	2	1	no	—
345	C₂×C₄	—	2	1	no	—
346	C₂×C₄	—	2	1	no	—
347	C₂×C₄	—	2	1	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	4	4	no	—
354	C₂×C₄	—	8	2	no	—
355	C₂×C₄	—	8	2	no	—
356	C₂×C₄	—	8	2	no	—
357	C₂×C₄	—	8	2	no	—
358	C₂×C₄	—	8	2	no	—
359	C₂×C₄	—	8	2	no	—
360	C₂×C₄	—	8	2	no	—
361	C₂×C₄	#495	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
374	C₈	—	2	4	no	—
375	C₈	—	4	2	no	—
376	C₈	—	4	2	no	—
377	C₈	—	4	2	no	—
378	C₈	—	4	2	no	—
379	C₈	#449	1	8	yes	—
380	C₂²	—	2	2	no	—
381	C₂²	—	2	2	no	—
382	C₂²	—	2	2	no	—
383	C₂²	—	4	1	no	—
384	C₂²	—	4	1	no	—
385	C₂²	—	4	1	no	—
386	C₂²	—	4	1	no	—
387	C₂²	—	16	2	no	—
388	C₂²	—	16	2	no	—
389	C₂²	—	16	2	no	—
390	C₂²	—	16	2	no	—
391	C₂²	—	16	2	no	—
392	C₂²	—	16	2	no	—
393	C₂²	—	16	2	no	—
394	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	C₂×#495	1	1	yes	characteristic
396	C₂²	#3147	1	1	yes	characteristic
397	C₂²	#3147	1	1	yes	characteristic
398	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
399	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
400	C₂²	#3156	1	1	yes	characteristic
401	C₄	—	2	2	no	—
402	C₄	—	4	1	no	—
403	C₄	—	4	1	no	—
404	C₄	—	8	4	no	—
405	C₄	—	8	4	no	—
406	C₄	—	16	2	no	—
407	C₄	C₂×#449	1	2	yes	—
408	C₄	#3207	1	2	yes	—
409	C₄	#3280	1	2	yes	—
410	C₄	#3285	1	2	yes	—
411	C₄	#3285	1	2	yes	—
412	C₄	#3287	1	2	yes	—
413	C₂	—	4	2	no	—
414	C₂	—	32	2	no	—
415	C₂	#19600	1	1	yes	characteristic
416	C₂	#19635	1	1	yes	characteristic
417	C₂	#19645	1	1	yes	characteristic
418	C₂	#19666	1	1	yes	characteristic
419	C₂	#25720	1	1	yes	characteristic
420	C₂	#25777	1	1	yes	characteristic
421	C₂	#25782	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#33171	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3170	C₂	semidirect
3. #25905	C₂	semidirect
4. #25598	C₂	semidirect
5. C₂×#1709	C₂	semidirect
6. C₂×#1706	C₂	semidirect
7. #10311	C₂	semidirect
8. #10310	C₂	semidirect
9. #9825	C₂	semidirect
10. #9823	C₂	semidirect
11. C₈×C₂²⋊C₈	C₂	semidirect
69. #500	D₄	semidirect
71. #494	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3170	2
#33171	2
#25905	2
#25598	2
C₂×#1709	2
C₂×#1706	2
#10311	2
#10310	2
#9825	2
#9823	2
C₈×C₂²⋊C₈	2