Subgroups — #298626

Order 512.

1402 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 461 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3169	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#33171	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#25720	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#25599	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1712	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10307	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10305	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9824	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9823	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
13	#3169	—	2	4	no	—
14	#3169	—	2	4	no	—
15	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#466	—	2	2	no	—
24	C₂×#466	—	2	2	no	—
25	C₂×#449	—	2	4	no	—
26	C₂×C₄×D₈	—	2	2	no	—
27	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#2856	C₂²	1	2	yes	—
29	#2012	—	2	4	no	—
30	#1999	—	2	4	no	—
31	#1990	C₂²	1	2	yes	—
32	#1970	—	2	2	no	—
33	#1957	C₂²	1	2	yes	—
34	#1957	C₂²	1	2	yes	—
35	#1957	C₂²	1	2	yes	—
36	#1956	C₂²	1	2	yes	—
37	#1879	—	2	4	no	—
38	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1712	—	2	4	no	—
42	#1706	—	2	4	no	—
43	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1273	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1273	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×#41	—	2	2	no	—
48	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
49	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
50	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
51	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
52	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
53	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
54	#532	—	2	4	no	—
55	#532	—	2	4	no	—
56	#532	—	4	2	no	—
57	#532	—	4	2	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#124	—	2	2	no	—
62	C₂×#121	—	2	2	no	—
63	C₂×#121	—	2	2	no	—
64	C₂×#121	—	2	2	no	—
65	C₂×#121	—	2	2	no	—
66	C₂×#121	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
69	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#500	—	2	2	no	—
71	#500	D₄	1	4	yes	complemented
72	#493	—	2	4	no	—
73	#493	—	2	4	no	—
74	#493	—	2	2	no	—
75	#493	—	2	2	no	—
76	#493	—	2	2	no	—
77	#493	—	4	2	no	—
78	#493	—	4	2	no	—
79	#493	D₄	1	4	yes	complemented
80	#492	—	2	4	no	—
81	#492	—	4	2	no	—
82	#486	—	2	4	no	—
83	#486	—	2	4	no	—
84	#486	—	2	4	no	—
85	#486	—	4	2	no	—
86	#466	—	2	16	no	—
87	#466	—	4	8	no	—
88	#449	—	4	16	no	—
89	C₄×D₈	—	2	16	no	—
90	C₂×#107	—	2	2	no	—
91	C₂×#107	—	2	2	no	—
92	C₂×#103	—	2	4	no	—
93	C₂×#102	—	2	4	no	—
94	C₂×#102	—	2	4	no	—
95	C₂×#102	—	2	4	no	—
96	C₂×#102	—	2	4	no	—
97	C₂×#102	—	2	4	no	—
98	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
99	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
100	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
101	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
102	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	#390	—	2	2	no	—
110	#390	—	2	2	no	—
111	#390	—	2	2	no	—
112	#384	C₂³	1	2	yes	—
113	#340	—	2	4	no	—
114	#336	D₄	1	2	yes	—
115	#336	D₄	1	2	yes	—
116	C₈²	—	2	2	no	—
117	C₈²	—	2	2	no	—
118	C₂×#41	—	4	4	no	—
119	C₂×#41	—	4	4	no	—
120	C₂×#41	—	4	8	no	—
121	C₂×#41	—	8	4	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
130	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
131	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
136	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
137	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
138	C₂×D₈	—	2	8	no	—
139	C₂×D₈	—	4	8	no	—
140	C₂×D₈	—	4	8	no	—
141	C₂×D₈	—	4	4	no	—
142	C₂×D₈	—	4	8	no	—
143	C₂×D₈	—	4	4	no	—
144	C₂×D₈	—	4	8	no	—
145	C₂×D₈	—	4	4	no	—
146	C₂×D₈	—	4	4	no	—
147	C₂×D₈	—	4	4	no	—
148	C₂×D₈	—	8	4	no	—
149	C₂×D₈	—	8	4	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
161	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
162	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
163	#127	—	2	2	no	—
164	#127	—	2	2	no	—
165	#127	—	2	2	no	—
166	#127	—	2	2	no	—
167	#127	—	2	2	no	—
168	#127	—	2	2	no	—
169	#127	—	2	2	no	—
170	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
171	#124	—	4	4	no	—
172	#124	—	4	4	no	—
173	#121	—	2	8	no	—
174	#121	—	4	4	no	—
175	#121	—	4	4	no	—
176	#121	—	4	4	no	—
177	#121	—	4	8	no	—
178	#121	—	4	8	no	—
179	#121	—	8	4	no	—
180	C₄×D₄	—	2	8	no	—
181	C₄×D₄	—	4	4	no	—
182	C₄×D₄	—	4	4	no	—
183	C₄×D₄	—	4	4	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
194	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
195	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
196	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
197	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
198	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
202	#107	—	2	8	no	—
203	#107	—	4	4	no	—
204	#103	—	4	8	no	—
205	#102	—	2	16	no	—
206	#102	—	4	8	no	—
207	#102	—	4	8	no	—
208	#102	—	4	8	no	—
209	#102	—	8	4	no	—
210	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
211	C₂²⋊C₈	D₈	1	8	yes	complemented
212	C₄×C₈	—	2	4	no	—
213	C₄×C₈	—	2	1	no	—
214	C₄×C₈	—	2	1	no	—
215	C₄×C₈	—	2	1	no	—
216	C₄×C₈	—	2	1	no	—
217	C₄×C₈	—	2	1	no	—
218	C₄×C₈	—	2	1	no	—
219	C₄×C₈	—	2	1	no	—
220	C₄×C₈	—	2	1	no	—
221	C₄×C₈	—	2	1	no	—
222	C₄×C₈	—	2	1	no	—
223	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
224	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
225	C₂⁴	—	4	2	no	—
226	C₂⁴	—	4	2	no	—
227	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
228	#41	—	8	16	no	—
229	#41	—	8	16	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
234	C₂×D₄	—	2	4	no	—
235	C₂×D₄	—	2	4	no	—
236	C₂×D₄	—	2	4	no	—
237	C₂×D₄	—	4	8	no	—
238	C₂×D₄	—	4	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	2	no	—
241	C₂×D₄	—	4	2	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×D₄	—	4	2	no	—
247	C₂×D₄	—	4	4	no	—
248	C₂×D₄	—	4	4	no	—
249	C₂×D₄	—	4	4	no	—
250	C₂×D₄	—	4	4	no	—
251	C₂×D₄	—	4	4	no	—
252	C₂×D₄	—	4	4	no	—
253	C₂×D₄	—	4	4	no	—
254	C₂×D₄	—	4	4	no	—
255	C₂×D₄	—	4	4	no	—
256	C₂×D₄	—	4	4	no	—
257	C₂×D₄	—	4	4	no	—
258	C₂×D₄	—	4	4	no	—
259	C₂×D₄	—	8	4	no	—
260	C₂×D₄	—	8	4	no	—
261	C₂×D₄	—	8	4	no	—
262	C₂×D₄	—	8	4	no	—
263	C₂×D₄	—	8	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
280	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
282	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
287	SD₁₆	—	8	16	no	—
288	D₈	—	4	16	no	—
289	D₈	—	8	16	no	—
290	D₈	—	8	16	no	—
291	D₈	—	8	8	no	—
292	C₂×C₈	—	2	2	no	—
293	C₂×C₈	—	2	2	no	—
294	C₂×C₈	—	2	2	no	—
295	C₂×C₈	—	2	2	no	—
296	C₂×C₈	—	2	2	no	—
297	C₂×C₈	—	2	2	no	—
298	C₂×C₈	—	2	2	no	—
299	C₂×C₈	—	2	2	no	—
300	C₂×C₈	—	2	2	no	—
301	C₂×C₈	—	2	2	no	—
302	C₂×C₈	—	2	2	no	—
303	C₂×C₈	—	2	2	no	—
304	C₂×C₈	—	4	8	no	—
305	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
306	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
307	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
308	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
309	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
310	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
311	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
313	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
314	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
316	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
323	C₄²	—	2	1	no	—
324	C₄²	—	2	1	no	—
325	C₄²	—	2	1	no	—
326	C₄²	—	2	1	no	—
327	C₄²	—	2	1	no	—
328	C₄²	—	2	1	no	—
329	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
330	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
331	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
332	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
333	C₂³	—	2	1	no	—
334	C₂³	—	2	1	no	—
335	C₂³	—	2	1	no	—
336	C₂³	—	2	1	no	—
337	C₂³	—	2	1	no	—
338	C₂³	—	2	1	no	—
339	C₂³	—	4	4	no	—
340	C₂³	—	8	2	no	—
341	C₂³	—	8	2	no	—
342	C₂³	—	8	2	no	—
343	C₂³	—	8	2	no	—
344	C₂³	—	8	2	no	—
345	C₂³	—	8	2	no	—
346	C₂³	—	8	2	no	—
347	C₂³	—	8	2	no	—
348	C₂³	—	8	2	no	—
349	C₂³	—	8	2	no	—
350	C₂³	—	8	2	no	—
351	C₂³	—	8	2	no	—
352	C₂³	—	8	2	no	—
353	C₂³	#493	1	2	yes	—
354	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
355	Q₈	—	4	8	no	—
356	Q₈	—	8	4	no	—
357	D₄	—	4	8	no	—
358	D₄	—	4	8	no	—
359	D₄	—	4	8	no	—
360	D₄	—	8	16	no	—
361	D₄	—	8	4	no	—
362	D₄	—	8	4	no	—
363	D₄	—	8	4	no	—
364	D₄	—	8	4	no	—
365	D₄	—	8	4	no	—
366	D₄	—	8	4	no	—
367	D₄	—	8	4	no	—
368	D₄	—	8	4	no	—
369	D₄	—	8	4	no	—
370	D₄	—	16	8	no	—
371	C₂×C₄	—	2	1	no	—
372	C₂×C₄	—	2	1	no	—
373	C₂×C₄	—	2	4	no	—
374	C₂×C₄	—	2	4	no	—
375	C₂×C₄	—	2	1	no	—
376	C₂×C₄	—	2	1	no	—
377	C₂×C₄	—	2	1	no	—
378	C₂×C₄	—	2	1	no	—
379	C₂×C₄	—	2	1	no	—
380	C₂×C₄	—	2	1	no	—
381	C₂×C₄	—	4	2	no	—
382	C₂×C₄	—	4	2	no	—
383	C₂×C₄	—	4	2	no	—
384	C₂×C₄	—	4	2	no	—
385	C₂×C₄	—	4	4	no	—
386	C₂×C₄	—	8	16	no	—
387	C₂×C₄	—	8	2	no	—
388	C₂×C₄	—	8	2	no	—
389	C₂×C₄	—	8	2	no	—
390	C₂×C₄	—	8	2	no	—
391	C₂×C₄	—	8	2	no	—
392	C₂×C₄	#493	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
395	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
396	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
397	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
398	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
399	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
400	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
401	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
402	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
403	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
404	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
405	C₈	—	2	4	no	—
406	C₈	—	2	4	no	—
407	C₈	—	2	4	no	—
408	C₈	—	4	2	no	—
409	C₈	—	4	2	no	—
410	C₈	#449	1	8	yes	complemented
411	C₂²	—	2	2	no	—
412	C₂²	—	2	2	no	—
413	C₂²	—	2	2	no	—
414	C₂²	—	4	1	no	—
415	C₂²	—	4	1	no	—
416	C₂²	—	4	1	no	—
417	C₂²	—	4	1	no	—
418	C₂²	—	8	4	no	—
419	C₂²	—	8	4	no	—
420	C₂²	—	8	4	no	—
421	C₂²	—	16	2	no	—
422	C₂²	—	16	2	no	—
423	C₂²	—	16	2	no	—
424	C₂²	—	16	2	no	—
425	C₂²	—	16	2	no	—
426	C₂²	—	16	2	no	—
427	C₂²	—	16	2	no	—
428	C₂²	—	16	2	no	—
429	C₂²	—	16	2	no	—
430	C₂²	—	16	2	no	—
431	C₂²	—	16	2	no	—
432	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
433	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
434	C₂²	#3147	1	1	yes	characteristic
435	C₂²	#3147	1	1	yes	characteristic
436	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
437	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
438	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
439	C₄	—	2	2	no	—
440	C₄	—	4	1	no	—
441	C₄	—	4	1	no	—
442	C₄	—	8	4	no	—
443	C₄	—	16	2	no	—
444	C₄	C₂×#449	1	2	yes	—
445	C₄	#3207	1	2	yes	—
446	C₄	D₄×D₈	1	2	yes	—
447	C₄	D₄×D₈	1	2	yes	—
448	C₄	#3280	1	2	yes	—
449	C₄	#3287	1	2	yes	—
450	C₂	—	4	2	no	—
451	C₂	—	16	4	no	—
452	C₂	—	32	2	no	—
453	C₂	#19603	1	1	yes	characteristic
454	C₂	#19629	1	1	yes	characteristic
455	C₂	#19647	1	1	yes	characteristic
456	C₂	#19667	1	1	yes	characteristic
457	C₂	#25720	1	1	yes	characteristic
458	C₂	#25777	1	1	yes	characteristic
459	C₂	#25779	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3169	C₂	semidirect
2. #33171	C₂	semidirect
3. #25720	C₂	semidirect
4. #25599	C₂	semidirect
5. C₂×#1712	C₂	semidirect
6. C₂×#1706	C₂	semidirect
7. #10307	C₂	semidirect
8. #10305	C₂	semidirect
9. #9824	C₂	semidirect
10. #9823	C₂	semidirect
11. C₈×C₂²⋊C₈	C₂	semidirect
71. #500	D₄	semidirect
79. #493	D₄	semidirect
211. C₂²⋊C₈	D₈	semidirect
410. C₈	#449	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3169	2
#33171	2
#25720	2
#25599	2
C₂×#1712	2
C₂×#1706	2
#10307	2
#10305	2
#9824	2
#9823	2
C₈×C₂²⋊C₈	2