Subgroups — #298639

Order 512.

1206 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 303 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#500	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#33209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#25813	C₂	1	2	yes	maximal
4	#25722	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂×#1713	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10309	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#9823	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₈×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#500	—	2	8	no	—
11	C₂×#500	—	2	2	no	—
12	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#500	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#494	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#451	—	2	4	no	—
18	C₂²×#107	—	2	2	no	—
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2857	C₂²	1	2	yes	—
21	#2057	—	2	4	no	—
22	#2016	—	2	4	no	—
23	#1990	C₂²	1	2	yes	—
24	#1990	C₂²	1	4	yes	—
25	#1956	C₂²	1	4	yes	—
26	#1942	—	2	2	no	—
27	#1852	—	2	4	no	—
28	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1808	—	2	2	no	—
30	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1713	—	2	8	no	—
33	C₂×C₈²	C₂²	1	2	yes	—
34	#1273	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
36	C₂²×Q₁₆	—	2	8	no	—
37	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
38	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
39	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
40	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
48	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#500	—	2	16	no	—
50	#500	—	2	8	no	—
51	#500	—	2	8	no	—
52	#500	—	2	4	no	—
53	#500	—	2	4	no	—
54	#500	—	4	4	no	—
55	#500	D₄	1	8	yes	—
56	#494	—	2	8	no	—
57	#494	—	4	4	no	—
58	#451	—	4	16	no	—
59	C₂×#107	—	2	16	no	—
60	C₂×#107	—	2	4	no	—
61	C₂×#107	—	2	4	no	—
62	C₂×#107	—	2	8	no	—
63	C₂×#107	—	2	2	no	—
64	C₂×#107	—	2	2	no	—
65	C₂×#103	—	2	8	no	—
66	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	#391	—	2	2	no	—
75	#389	—	2	2	no	—
76	#389	—	2	2	no	—
77	#384	C₂³	1	2	yes	—
78	#380	—	2	2	no	—
79	#380	—	2	2	no	—
80	#340	—	2	8	no	—
81	#340	—	2	4	no	—
82	#336	D₄	1	2	yes	—
83	#336	D₄	1	2	yes	—
84	C₈²	—	2	4	no	—
85	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
86	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
87	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
88	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
89	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
90	C₂²×Q₈	—	8	4	no	—
91	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
92	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
96	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
97	C₂×Q₁₆	—	8	8	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
100	C₂²×C₈	Q₁₆	1	8	yes	complemented
101	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
102	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
104	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
106	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
107	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
108	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
109	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
110	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
111	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
112	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
113	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
114	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
115	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
136	#107	—	2	16	no	—
137	#107	—	2	16	no	—
138	#107	—	4	16	no	—
139	#107	—	4	4	no	—
140	#107	—	4	4	no	—
141	#103	—	4	16	no	—
142	C₂²⋊C₈	D₈	1	8	yes	—
143	C₂²⋊C₈	Q₁₆	1	8	yes	complemented
144	C₄×C₈	—	2	4	no	—
145	C₄×C₈	—	2	2	no	—
146	C₄×C₈	—	2	2	no	—
147	C₄×C₈	—	2	2	no	—
148	C₄×C₈	—	2	2	no	—
149	C₄×C₈	—	2	2	no	—
150	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	#95	—	4	2	no	—
152	#95	—	4	2	no	—
153	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
154	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
155	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
156	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
157	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
158	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
159	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
160	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
161	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
162	C₂×Q₈	—	8	32	no	—
163	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
164	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
178	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
187	Q₁₆	—	8	32	no	—
188	C₂×C₈	—	2	2	no	—
189	C₂×C₈	—	2	4	no	—
190	C₂×C₈	—	2	4	no	—
191	C₂×C₈	—	2	2	no	—
192	C₂×C₈	—	2	4	no	—
193	C₂×C₈	—	2	4	no	—
194	C₂×C₈	—	2	16	no	—
195	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
196	C₂×C₈	C₂×D₈	1	8	yes	—
197	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	8	yes	—
198	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
199	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
200	C₂×C₈	#137	1	4	yes	—
201	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
202	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
203	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
204	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
205	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
206	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
207	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
208	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
209	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
210	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
211	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
212	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
213	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
215	C₄²	—	2	1	no	—
216	C₄²	—	2	1	no	—
217	C₄²	—	2	2	no	—
218	C₄²	—	2	2	no	—
219	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
220	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
221	C₂³	—	2	1	no	—
222	C₂³	—	2	1	no	—
223	C₂³	—	2	1	no	—
224	C₂³	—	2	1	no	—
225	C₂³	#493	1	2	yes	—
226	C₂³	#494	1	2	yes	—
227	C₂³	#494	1	2	yes	—
228	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
229	Q₈	—	4	16	no	—
230	Q₈	—	8	16	no	—
231	Q₈	—	8	8	no	—
232	Q₈	—	8	8	no	—
233	C₂×C₄	—	2	1	no	—
234	C₂×C₄	—	2	1	no	—
235	C₂×C₄	—	2	1	no	—
236	C₂×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂×C₄	—	2	1	no	—
238	C₂×C₄	—	2	1	no	—
239	C₂×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄	—	2	8	no	—
242	C₂×C₄	—	2	8	no	—
243	C₂×C₄	—	4	8	no	—
244	C₂×C₄	—	8	16	no	—
245	C₂×C₄	—	8	4	no	—
246	C₂×C₄	—	8	4	no	—
247	C₂×C₄	—	8	2	no	—
248	C₂×C₄	—	8	2	no	—
249	C₂×C₄	—	8	2	no	—
250	C₂×C₄	—	8	2	no	—
251	C₂×C₄	—	8	2	no	—
252	C₂×C₄	—	8	2	no	—
253	C₂×C₄	#493	1	2	yes	—
254	C₂×C₄	#494	1	2	yes	—
255	C₂×C₄	#494	1	2	yes	—
256	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
259	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
261	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
263	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
264	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
265	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
266	C₈	—	2	4	no	—
267	C₈	—	2	8	no	—
268	C₈	—	2	8	no	—
269	C₈	#451	1	8	yes	complemented
270	C₂²	—	2	2	no	—
271	C₂²	—	2	2	no	—
272	C₂²	—	2	2	no	—
273	C₂²	—	2	2	no	—
274	C₂²	—	2	2	no	—
275	C₂²	—	2	2	no	—
276	C₂²	#1713	1	4	yes	complemented
277	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
278	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
279	C₂²	C₂×#494	1	1	yes	characteristic
280	C₂²	C₂×#494	1	1	yes	characteristic
281	C₂²	#3152	1	1	yes	characteristic
282	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
283	C₂²	#3156	1	1	yes	characteristic
284	C₄	—	2	2	no	—
285	C₄	—	2	2	no	—
286	C₄	—	2	2	no	—
287	C₄	—	8	8	no	—
288	C₄	—	16	2	no	—
289	C₄	—	16	2	no	—
290	C₄	C₂×#451	1	2	yes	—
291	C₄	#3209	1	2	yes	—
292	C₄	D₄×D₈	1	4	yes	—
293	C₄	D₄×Q₁₆	1	4	yes	—
294	C₂	—	2	4	no	—
295	C₂	C₂×#1713	1	1	yes	characteristic
296	C₂	#19630	1	1	yes	characteristic
297	C₂	#19633	1	1	yes	characteristic
298	C₂	#19664	1	1	yes	characteristic
299	C₂	#25722	1	1	yes	characteristic
300	C₂	#25779	1	1	yes	characteristic
301	C₂	#25780	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	#127
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. C₂×#1713	C₂	semidirect
6. #10309	C₂	semidirect
7. #9823	C₂	semidirect
100. C₂²×C₈	Q₁₆	semidirect
143. C₂²⋊C₈	Q₁₆	semidirect
269. C₈	#451	semidirect
276. C₂²	#1713	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#500	2
#33209	2
#25813	2
#25722	2
C₂×#1713	2
#10309	2
#9823	2
C₈×C₂²⋊C₈	2