Subgroups — #298662

Order 512.

1364 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 388 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3147	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#33209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#25671	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#25597	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1714	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10318	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10305	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9842	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8144	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#135	—	2	2	no	—
11	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
14	#3147	—	2	8	no	—
15	C₂×#495	—	2	2	no	—
16	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2857	C₂²	1	2	yes	—
24	#2034	—	2	4	no	—
25	#2000	—	2	4	no	—
26	#1990	C₂²	1	2	yes	—
27	#1990	C₂²	1	2	yes	—
28	#1990	C₂²	1	2	yes	—
29	#1957	C₂²	1	2	yes	—
30	#1957	C₂²	1	2	yes	—
31	#1942	—	2	2	no	—
32	#1877	—	2	4	no	—
33	#1864	—	2	4	no	—
34	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1808	—	2	2	no	—
36	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1714	—	2	8	no	—
39	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
40	#1273	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×#41	—	2	2	no	—
42	C₂×#135	—	2	16	no	—
43	C₂×#135	—	4	8	no	—
44	C₂×#135	—	4	8	no	—
45	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
46	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
47	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
48	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
49	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
50	#532	—	2	4	no	—
51	#532	—	2	4	no	—
52	#532	—	4	2	no	—
53	#532	—	4	2	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×#124	—	2	2	no	—
58	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×#121	—	2	2	no	—
60	C₂×#121	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#500	—	2	4	no	—
65	#498	—	2	4	no	—
66	#498	—	4	2	no	—
67	#495	—	2	16	no	—
68	#494	—	2	4	no	—
69	#493	—	2	4	no	—
70	#492	—	2	4	no	—
71	#492	—	2	4	no	—
72	#492	—	4	2	no	—
73	#492	D₄	1	8	yes	—
74	#487	—	2	4	no	—
75	#487	—	4	2	no	—
76	#486	—	2	4	no	—
77	#486	—	4	2	no	—
78	C₂×#107	—	2	2	no	—
79	C₂×#107	—	2	2	no	—
80	C₂×#106	—	2	4	no	—
81	C₂×#103	—	2	4	no	—
82	C₂×#102	—	2	4	no	—
83	C₂×#102	—	2	4	no	—
84	C₂×#102	—	2	4	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
87	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
88	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	#391	—	2	2	no	—
94	#389	—	2	2	no	—
95	#389	—	2	2	no	—
96	#384	C₂³	1	2	yes	—
97	#380	—	2	2	no	—
98	#380	—	2	2	no	—
99	#340	—	2	4	no	—
100	#340	—	2	4	no	—
101	#340	—	2	4	no	—
102	#336	D₄	1	2	yes	—
103	#336	D₄	1	2	yes	—
104	#322	—	2	4	no	—
105	C₂×#41	—	2	8	no	—
106	C₂×#41	—	4	4	no	—
107	C₂×#41	—	4	8	no	—
108	C₂×#41	—	4	8	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
115	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	#135	—	4	64	no	—
120	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
121	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
122	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
123	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
124	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
125	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
126	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
127	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
128	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
129	C₂×D₈	—	2	8	no	—
130	C₂×D₈	—	4	4	no	—
131	C₂×D₈	—	4	4	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
134	C₂²×C₈	SD₁₆	1	8	yes	complemented
135	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
147	#127	—	2	2	no	—
148	#127	—	2	2	no	—
149	#127	—	2	2	no	—
150	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	#124	—	2	8	no	—
152	#124	—	4	4	no	—
153	C₂²⋊Q₈	—	8	4	no	—
154	#121	—	4	4	no	—
155	#121	—	4	4	no	—
156	#121	—	4	4	no	—
157	#121	—	4	4	no	—
158	C₄×D₄	—	4	4	no	—
159	C₄×D₄	—	4	4	no	—
160	C₄×D₄	—	4	4	no	—
161	C₄×D₄	—	4	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
179	#107	—	4	4	no	—
180	#107	—	4	4	no	—
181	#106	—	4	8	no	—
182	#103	—	4	8	no	—
183	#102	—	4	8	no	—
184	#102	—	4	8	no	—
185	#102	—	8	4	no	—
186	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
188	C₄×C₈	—	2	4	no	—
189	C₄×C₈	—	2	2	no	—
190	C₄×C₈	—	2	2	no	—
191	C₄×C₈	—	2	2	no	—
192	C₄×C₈	—	2	2	no	—
193	C₄×C₈	—	2	2	no	—
194	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
195	#95	—	4	2	no	—
196	#95	—	4	2	no	—
197	C₂⁴	—	4	2	no	—
198	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
199	#41	—	4	32	no	—
200	#41	—	8	16	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
209	C₂×D₄	—	2	4	no	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	2	4	no	—
212	C₂×D₄	—	4	8	no	—
213	C₂×D₄	—	4	2	no	—
214	C₂×D₄	—	4	2	no	—
215	C₂×D₄	—	4	2	no	—
216	C₂×D₄	—	4	4	no	—
217	C₂×D₄	—	4	4	no	—
218	C₂×D₄	—	4	4	no	—
219	C₂×D₄	—	4	4	no	—
220	C₂×D₄	—	4	4	no	—
221	C₂×D₄	—	4	4	no	—
222	C₂×D₄	—	8	4	no	—
223	C₂×D₄	—	8	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
239	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	Q₁₆	—	4	16	no	—
247	SD₁₆	—	4	32	no	—
248	SD₁₆	—	8	16	no	—
249	D₈	—	4	16	no	—
250	C₂×C₈	—	2	2	no	—
251	C₂×C₈	—	2	2	no	—
252	C₂×C₈	—	2	16	no	—
253	C₂×C₈	—	2	4	no	—
254	C₂×C₈	—	2	4	no	—
255	C₂×C₈	—	2	4	no	—
256	C₂×C₈	—	2	4	no	—
257	C₂×C₈	—	2	4	no	—
258	C₂×C₈	—	2	4	no	—
259	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
260	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
261	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
262	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
263	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
278	C₄²	—	2	1	no	—
279	C₄²	—	2	1	no	—
280	C₄²	—	2	2	no	—
281	C₄²	—	2	2	no	—
282	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
283	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
284	C₂³	—	2	1	no	—
285	C₂³	—	2	1	no	—
286	C₂³	—	2	1	no	—
287	C₂³	—	2	1	no	—
288	C₂³	—	2	1	no	—
289	C₂³	—	2	1	no	—
290	C₂³	—	4	4	no	—
291	C₂³	—	8	2	no	—
292	C₂³	—	8	2	no	—
293	C₂³	—	8	2	no	—
294	C₂³	—	8	2	no	—
295	C₂³	—	8	2	no	—
296	C₂³	—	8	2	no	—
297	C₂³	#492	1	2	yes	—
298	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
299	Q₈	—	4	8	no	—
300	Q₈	—	8	4	no	—
301	Q₈	—	8	4	no	—
302	Q₈	—	8	4	no	—
303	D₄	—	4	8	no	—
304	D₄	—	4	8	no	—
305	D₄	—	4	8	no	—
306	D₄	—	8	16	no	—
307	D₄	—	8	4	no	—
308	D₄	—	8	4	no	—
309	D₄	—	8	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	1	no	—
311	C₂×C₄	—	2	1	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	1	no	—
315	C₂×C₄	—	2	1	no	—
316	C₂×C₄	—	2	1	no	—
317	C₂×C₄	—	2	1	no	—
318	C₂×C₄	—	2	1	no	—
319	C₂×C₄	—	2	1	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	8	16	no	—
324	C₂×C₄	—	8	2	no	—
325	C₂×C₄	—	8	2	no	—
326	C₂×C₄	—	8	2	no	—
327	C₂×C₄	—	8	2	no	—
328	C₂×C₄	—	8	2	no	—
329	C₂×C₄	—	8	2	no	—
330	C₂×C₄	—	8	2	no	—
331	C₂×C₄	—	8	2	no	—
332	C₂×C₄	#492	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
343	C₈	—	2	4	no	—
344	C₈	—	4	4	no	—
345	C₈	—	4	4	no	—
346	C₈	#450	1	8	yes	—
347	C₂²	—	2	2	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	—	4	1	no	—
351	C₂²	—	4	1	no	—
352	C₂²	—	4	1	no	—
353	C₂²	—	4	1	no	—
354	C₂²	—	8	4	no	—
355	C₂²	—	8	4	no	—
356	C₂²	—	8	4	no	—
357	C₂²	—	16	2	no	—
358	C₂²	—	16	2	no	—
359	C₂²	—	16	2	no	—
360	C₂²	—	16	2	no	—
361	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	#3150	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	#3150	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	#3156	1	1	yes	characteristic
368	C₄	—	2	2	no	—
369	C₄	—	4	1	no	—
370	C₄	—	4	1	no	—
371	C₄	—	8	4	no	—
372	C₄	—	16	2	no	—
373	C₄	—	16	2	no	—
374	C₄	C₂×#450	1	2	yes	—
375	C₄	#3208	1	2	yes	—
376	C₄	#3268	1	4	yes	—
377	C₄	#3269	1	4	yes	—
378	C₂	—	4	2	no	—
379	C₂	—	16	4	no	—
380	C₂	#19608	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#19655	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#19687	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#19689	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#25717	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#25785	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#25786	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#3147	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33209	C₂	semidirect
3. #25671	C₂	semidirect
4. #25597	C₂	semidirect
5. C₂×#1714	C₂	semidirect
6. #10318	C₂	semidirect
7. #10305	C₂	semidirect
8. #9842	C₂	semidirect
9. #8144	C₂	semidirect
134. C₂²×C₈	SD₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3147	2
#33209	2
#25671	2
#25597	2
C₂×#1714	2
#10318	2
#10305	2
#9842	2
#8144	2