Subgroups — #298670

Order 512.

1087 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 380 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3160	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#33170	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#25672	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#25598	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂×#1714	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10317	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10316	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#10315	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#10312	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9836	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#8144	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
13	#3160	—	2	8	no	—
14	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#499	—	2	2	no	—
16	C₂×#498	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#498	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#492	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#465	—	2	2	no	—
24	C₂×#427	—	2	2	no	—
25	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2857	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2856	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#2035	—	2	4	no	—
29	#2000	—	2	4	no	—
30	#1990	C₂²	1	2	yes	—
31	#1990	C₂²	1	2	yes	—
32	#1968	—	2	2	no	—
33	#1957	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1956	C₂²	1	2	yes	—
35	#1956	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1956	C₂²	1	2	yes	—
37	#1880	—	2	4	no	—
38	#1865	—	2	4	no	—
39	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
41	#1714	—	2	8	no	—
42	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
43	#1273	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1273	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
46	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
47	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
48	#533	—	2	4	no	—
49	#533	—	2	4	no	—
50	#533	—	4	2	no	—
51	#533	—	4	2	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#125	—	2	2	no	—
57	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
58	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
60	C₂×#121	—	2	1	no	—
61	C₂×#121	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
64	C₂×#117	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#500	—	2	4	no	—
67	#500	D₄	1	8	yes	complemented
68	#499	—	2	16	no	—
69	#498	—	2	4	no	—
70	#498	—	2	4	no	—
71	#498	—	2	4	no	—
72	#498	—	4	2	no	—
73	#492	—	2	4	no	—
74	#492	—	2	4	no	—
75	#492	—	4	2	no	—
76	#487	—	2	4	no	—
77	#487	—	4	2	no	—
78	#486	—	2	4	no	—
79	#486	—	4	2	no	—
80	#465	—	4	8	no	—
81	#427	—	2	16	no	—
82	C₂×#107	—	2	4	no	—
83	C₂×#106	—	2	2	no	—
84	C₂×#106	—	2	2	no	—
85	C₂×#106	—	2	2	no	—
86	C₂×#106	—	2	4	no	—
87	C₂×#103	—	2	4	no	—
88	C₂×#103	—	2	4	no	—
89	C₂×#103	—	2	2	no	—
90	C₂×#103	—	2	4	no	—
91	C₂×#102	—	2	4	no	—
92	C₂×#102	—	2	2	no	—
93	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
95	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	#391	—	2	1	no	—
101	#390	—	2	2	no	—
102	#390	—	2	1	no	—
103	#389	—	2	2	no	—
104	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	#380	—	2	2	no	—
107	#340	—	2	4	no	—
108	#340	—	2	4	no	—
109	#336	D₄	1	4	yes	—
110	#322	—	2	4	no	—
111	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
120	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
121	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
122	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
123	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
124	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
127	C₂²×C₈	SD₁₆	1	8	yes	complemented
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
138	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
141	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
143	#127	—	2	2	no	—
144	#127	—	2	1	no	—
145	#127	—	2	1	no	—
146	#125	—	2	8	no	—
147	#125	—	4	4	no	—
148	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
149	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
150	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
151	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
152	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
153	#121	—	4	4	no	—
154	#121	—	8	4	no	—
155	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
156	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
157	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
158	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
159	#117	—	2	8	no	—
160	#117	—	4	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
180	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
184	#107	—	2	16	no	—
185	#106	—	2	8	no	—
186	#106	—	2	8	no	—
187	#106	—	4	8	no	—
188	#106	—	4	4	no	—
189	#103	—	4	8	no	—
190	#103	—	4	8	no	—
191	#103	—	4	4	no	—
192	#103	—	8	4	no	—
193	#102	—	4	8	no	—
194	#102	—	4	4	no	—
195	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
196	C₄×C₈	—	2	4	no	—
197	C₄×C₈	—	2	2	no	—
198	C₄×C₈	—	2	2	no	—
199	C₄×C₈	—	2	2	no	—
200	C₄×C₈	—	2	2	no	—
201	C₄×C₈	—	2	2	no	—
202	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
203	#95	—	4	2	no	—
204	C₂⁴	—	4	1	no	—
205	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
206	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
217	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
218	C₂×D₄	—	4	1	no	—
219	C₂×D₄	—	4	1	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	4	no	—
225	C₂×D₄	—	4	4	no	—
226	C₂×D₄	—	8	4	no	—
227	C₂×D₄	—	8	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
240	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
245	SD₁₆	—	8	16	no	—
246	SD₁₆	—	8	8	no	—
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	16	no	—
250	C₂×C₈	—	2	4	no	—
251	C₂×C₈	—	2	4	no	—
252	C₂×C₈	—	2	4	no	—
253	C₂×C₈	—	2	4	no	—
254	C₂×C₈	—	2	4	no	—
255	C₂×C₈	—	2	4	no	—
256	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
257	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
258	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
259	C₂×C₈	#137	1	4	yes	—
260	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
281	C₄²	—	2	1	no	—
282	C₄²	—	2	1	no	—
283	C₄²	—	2	2	no	—
284	C₄²	—	2	2	no	—
285	C₄²	—	4	8	no	—
286	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
287	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
288	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
289	C₂³	—	2	2	no	—
290	C₂³	—	2	1	no	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	—	2	1	no	—
293	C₂³	—	8	1	no	—
294	C₂³	—	8	2	no	—
295	C₂³	—	8	1	no	—
296	C₂³	—	8	2	no	—
297	C₂³	—	8	1	no	—
298	C₂³	#492	1	2	yes	—
299	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
300	Q₈	—	4	8	no	—
301	Q₈	—	4	8	no	—
302	Q₈	—	8	4	no	—
303	Q₈	—	8	4	no	—
304	Q₈	—	8	2	no	—
305	Q₈	—	8	2	no	—
306	D₄	—	8	2	no	—
307	D₄	—	8	2	no	—
308	D₄	—	8	4	no	—
309	D₄	—	8	4	no	—
310	D₄	—	16	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	1	no	—
312	C₂×C₄	—	2	1	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	8	2	no	—
323	C₂×C₄	—	8	2	no	—
324	C₂×C₄	—	8	2	no	—
325	C₂×C₄	—	8	2	no	—
326	C₂×C₄	—	8	1	no	—
327	C₂×C₄	—	8	1	no	—
328	C₂×C₄	—	8	1	no	—
329	C₂×C₄	—	8	2	no	—
330	C₂×C₄	—	8	1	no	—
331	C₂×C₄	—	8	2	no	—
332	C₂×C₄	—	8	1	no	—
333	C₂×C₄	#492	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
341	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
342	C₈	—	2	4	no	—
343	C₈	—	4	4	no	—
344	C₈	—	4	4	no	—
345	C₈	#448	1	8	yes	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	—	2	2	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	4	2	no	—
350	C₂²	—	4	2	no	—
351	C₂²	—	16	1	no	—
352	C₂²	—	16	1	no	—
353	C₂²	—	16	2	no	—
354	C₂²	—	16	1	no	—
355	C₂²	—	16	2	no	—
356	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	#3150	1	2	yes	—
359	C₂²	#3152	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	#3154	1	2	yes	—
361	C₄	—	2	2	no	—
362	C₄	—	4	2	no	—
363	C₄	—	8	4	no	—
364	C₄	—	8	4	no	—
365	C₄	—	16	1	no	—
366	C₄	—	16	1	no	—
367	C₄	—	16	1	no	—
368	C₄	C₂×#448	1	2	yes	—
369	C₄	#3206	1	2	yes	—
370	C₄	#3267	1	4	yes	—
371	C₄	#3271	1	4	yes	—
372	C₂	—	4	2	no	—
373	C₂	—	32	1	no	—
374	C₂	#19608	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#19651	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#19693	1	2	yes	—
377	C₂	#25718	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#25787	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#2856	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3160	C₂	semidirect
3. #25672	C₂	semidirect
5. C₂×#1714	C₂	semidirect
6. #10317	C₂	semidirect
7. #10316	C₂	semidirect
8. #10315	C₂	semidirect
9. #10312	C₂	semidirect
10. #9836	C₂	semidirect
11. #8144	C₂	semidirect
67. #500	D₄	semidirect
127. C₂²×C₈	SD₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3160	2
#33170	2
#25672	2
#25598	2
C₂×#1714	2
#10317	2
#10316	2
#10315	2
#10312	2
#9836	2
#8144	2