Subgroups — #298684

Order 512.

1443 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 430 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3147	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#33170	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#25673	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#25599	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1722	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1721	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10308	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10305	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9839	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9837	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8144	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#135	—	2	2	no	—
13	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
15	#3147	—	2	4	no	—
16	#3147	—	2	4	no	—
17	C₂×#495	—	2	2	no	—
18	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#492	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#465	—	2	2	no	—
26	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2857	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#2856	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#2033	—	2	4	no	—
30	#1999	—	2	4	no	—
31	#1990	C₂²	1	2	yes	—
32	#1990	C₂²	1	2	yes	—
33	#1968	—	2	2	no	—
34	#1957	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1957	C₂²	1	2	yes	—
36	#1957	C₂²	1	2	yes	—
37	#1956	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1879	—	2	4	no	—
39	#1862	—	2	4	no	—
40	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
42	#1722	—	2	4	no	—
43	#1721	—	2	4	no	—
44	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1273	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂²×#41	—	2	2	no	—
48	C₂×#135	—	2	16	no	—
49	C₂×#135	—	4	8	no	—
50	C₂×#135	—	4	8	no	—
51	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
52	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
53	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
54	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
55	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
56	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
57	#532	—	2	4	no	—
58	#532	—	2	4	no	—
59	#532	—	4	2	no	—
60	#532	—	4	2	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#124	—	2	2	no	—
66	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
67	C₂×#121	—	2	1	no	—
68	C₂×#121	—	2	2	no	—
69	C₂×#121	—	2	2	no	—
70	C₂×#121	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
73	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	#500	—	2	4	no	—
75	#500	—	4	2	no	—
76	#495	—	2	16	no	—
77	#494	—	2	2	no	—
78	#494	D₄	1	4	yes	complemented
79	#493	—	2	4	no	—
80	#493	—	2	2	no	—
81	#493	—	4	2	no	—
82	#493	D₄	1	4	yes	complemented
83	#492	—	2	4	no	—
84	#492	—	2	4	no	—
85	#492	—	2	2	no	—
86	#492	—	2	2	no	—
87	#486	—	2	4	no	—
88	#486	—	2	4	no	—
89	#486	—	4	2	no	—
90	#486	—	4	2	no	—
91	#465	—	4	8	no	—
92	C₂×#107	—	2	4	no	—
93	C₂×#106	—	2	2	no	—
94	C₂×#103	—	2	2	no	—
95	C₂×#102	—	2	4	no	—
96	C₂×#102	—	2	4	no	—
97	C₂×#102	—	2	4	no	—
98	C₂×#102	—	2	2	no	—
99	C₂×#102	—	2	4	no	—
100	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
101	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
102	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
103	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
104	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	#391	—	2	1	no	—
109	#390	—	2	2	no	—
110	#390	—	2	1	no	—
111	#389	—	2	2	no	—
112	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	#380	—	2	2	no	—
115	#340	—	2	4	no	—
116	#340	—	2	4	no	—
117	#336	D₄	1	4	yes	—
118	#322	—	2	2	no	—
119	#322	—	2	2	no	—
120	C₂×#41	—	2	8	no	—
121	C₂×#41	—	4	4	no	—
122	C₂×#41	—	4	8	no	—
123	C₂×#41	—	4	8	no	—
124	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
131	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
132	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
133	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	#135	—	4	64	no	—
137	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
138	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
139	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
140	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
141	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
142	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
143	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
144	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
145	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
146	C₂×D₈	—	2	8	no	—
147	C₂×D₈	—	4	8	no	—
148	C₂×D₈	—	4	8	no	—
149	C₂×D₈	—	4	4	no	—
150	C₂×D₈	—	4	4	no	—
151	C₂×D₈	—	8	4	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₈	D₈	1	8	yes	complemented
155	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
161	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
162	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
163	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
164	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
165	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
166	#127	—	2	2	no	—
167	#127	—	2	1	no	—
168	#127	—	2	1	no	—
169	#127	—	2	2	no	—
170	#127	—	2	2	no	—
171	#127	—	2	2	no	—
172	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
173	#124	—	2	8	no	—
174	#124	—	4	4	no	—
175	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
176	#121	—	4	4	no	—
177	#121	—	4	4	no	—
178	#121	—	4	4	no	—
179	#121	—	4	4	no	—
180	#121	—	4	4	no	—
181	#121	—	8	4	no	—
182	C₄×D₄	—	4	4	no	—
183	C₄×D₄	—	4	4	no	—
184	C₄×D₄	—	4	4	no	—
185	C₄×D₄	—	4	4	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
200	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
205	#107	—	4	8	no	—
206	#106	—	4	4	no	—
207	#103	—	4	4	no	—
208	#102	—	4	8	no	—
209	#102	—	4	8	no	—
210	#102	—	4	8	no	—
211	#102	—	4	4	no	—
212	#102	—	8	4	no	—
213	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
214	C₄×C₈	—	2	4	no	—
215	C₄×C₈	—	2	2	no	—
216	C₄×C₈	—	2	2	no	—
217	C₄×C₈	—	2	1	no	—
218	C₄×C₈	—	2	1	no	—
219	C₄×C₈	—	2	2	no	—
220	C₄×C₈	—	2	2	no	—
221	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
222	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
223	#95	—	4	2	no	—
224	C₂⁴	—	4	2	no	—
225	C₂⁴	—	4	1	no	—
226	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
227	#41	—	4	32	no	—
228	#41	—	8	16	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
237	C₂×D₄	—	2	4	no	—
238	C₂×D₄	—	2	4	no	—
239	C₂×D₄	—	2	4	no	—
240	C₂×D₄	—	4	8	no	—
241	C₂×D₄	—	4	1	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	4	1	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×D₄	—	4	2	no	—
247	C₂×D₄	—	4	2	no	—
248	C₂×D₄	—	4	4	no	—
249	C₂×D₄	—	4	2	no	—
250	C₂×D₄	—	4	4	no	—
251	C₂×D₄	—	4	2	no	—
252	C₂×D₄	—	4	4	no	—
253	C₂×D₄	—	4	4	no	—
254	C₂×D₄	—	4	4	no	—
255	C₂×D₄	—	4	4	no	—
256	C₂×D₄	—	4	4	no	—
257	C₂×D₄	—	4	4	no	—
258	C₂×D₄	—	8	4	no	—
259	C₂×D₄	—	8	4	no	—
260	C₂×D₄	—	8	4	no	—
261	C₂×D₄	—	8	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
274	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
276	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
281	Q₁₆	—	4	16	no	—
282	SD₁₆	—	4	32	no	—
283	SD₁₆	—	8	8	no	—
284	D₈	—	4	16	no	—
285	D₈	—	8	16	no	—
286	C₂×C₈	—	2	2	no	—
287	C₂×C₈	—	2	2	no	—
288	C₂×C₈	—	2	16	no	—
289	C₂×C₈	—	2	4	no	—
290	C₂×C₈	—	2	4	no	—
291	C₂×C₈	—	2	4	no	—
292	C₂×C₈	—	2	4	no	—
293	C₂×C₈	—	2	4	no	—
294	C₂×C₈	—	2	4	no	—
295	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
296	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
297	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
298	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
299	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
309	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
315	C₄²	—	2	1	no	—
316	C₄²	—	2	1	no	—
317	C₄²	—	2	2	no	—
318	C₄²	—	2	2	no	—
319	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
320	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
321	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
322	C₂³	—	2	2	no	—
323	C₂³	—	2	1	no	—
324	C₂³	—	2	2	no	—
325	C₂³	—	2	1	no	—
326	C₂³	—	4	4	no	—
327	C₂³	—	8	2	no	—
328	C₂³	—	8	2	no	—
329	C₂³	—	8	2	no	—
330	C₂³	—	8	2	no	—
331	C₂³	—	8	2	no	—
332	C₂³	—	8	2	no	—
333	C₂³	—	8	1	no	—
334	C₂³	—	8	2	no	—
335	C₂³	—	8	1	no	—
336	C₂³	—	8	2	no	—
337	C₂³	—	8	1	no	—
338	C₂³	#493	1	2	yes	—
339	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
340	Q₈	—	4	8	no	—
341	Q₈	—	8	4	no	—
342	Q₈	—	8	2	no	—
343	Q₈	—	8	2	no	—
344	D₄	—	4	8	no	—
345	D₄	—	4	8	no	—
346	D₄	—	4	8	no	—
347	D₄	—	8	16	no	—
348	D₄	—	8	4	no	—
349	D₄	—	8	2	no	—
350	D₄	—	8	2	no	—
351	D₄	—	8	4	no	—
352	D₄	—	8	4	no	—
353	D₄	—	8	4	no	—
354	D₄	—	8	4	no	—
355	D₄	—	16	4	no	—
356	C₂×C₄	—	2	1	no	—
357	C₂×C₄	—	2	1	no	—
358	C₂×C₄	—	2	4	no	—
359	C₂×C₄	—	2	4	no	—
360	C₂×C₄	—	2	2	no	—
361	C₂×C₄	—	2	2	no	—
362	C₂×C₄	—	2	2	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	4	no	—
365	C₂×C₄	—	4	4	no	—
366	C₂×C₄	—	8	16	no	—
367	C₂×C₄	—	8	2	no	—
368	C₂×C₄	—	8	2	no	—
369	C₂×C₄	—	8	1	no	—
370	C₂×C₄	—	8	1	no	—
371	C₂×C₄	—	8	1	no	—
372	C₂×C₄	—	8	2	no	—
373	C₂×C₄	—	8	1	no	—
374	C₂×C₄	—	8	2	no	—
375	C₂×C₄	—	8	1	no	—
376	C₂×C₄	#493	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
384	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
385	C₈	—	2	4	no	—
386	C₈	—	4	4	no	—
387	C₈	—	4	4	no	—
388	C₈	#447	1	8	yes	—
389	C₂²	—	2	2	no	—
390	C₂²	—	2	2	no	—
391	C₂²	—	2	2	no	—
392	C₂²	—	4	2	no	—
393	C₂²	—	4	2	no	—
394	C₂²	—	8	4	no	—
395	C₂²	—	8	4	no	—
396	C₂²	—	8	4	no	—
397	C₂²	—	16	2	no	—
398	C₂²	—	16	2	no	—
399	C₂²	—	16	2	no	—
400	C₂²	—	16	2	no	—
401	C₂²	—	16	1	no	—
402	C₂²	—	16	1	no	—
403	C₂²	—	16	2	no	—
404	C₂²	—	16	1	no	—
405	C₂²	—	16	2	no	—
406	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
407	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
408	C₂²	#3150	1	2	yes	—
409	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
410	C₂²	#3154	1	2	yes	—
411	C₄	—	2	2	no	—
412	C₄	—	4	2	no	—
413	C₄	—	8	4	no	—
414	C₄	—	16	1	no	—
415	C₄	—	16	1	no	—
416	C₄	—	16	1	no	—
417	C₄	C₂×#447	1	2	yes	—
418	C₄	#3205	1	2	yes	—
419	C₄	#3267	1	4	yes	—
420	C₄	#3271	1	4	yes	—
421	C₂	—	4	2	no	—
422	C₂	—	16	4	no	—
423	C₂	—	32	1	no	—
424	C₂	#19616	1	1	yes	characteristic
425	C₂	#19660	1	1	yes	characteristic
426	C₂	#19694	1	2	yes	—
427	C₂	#25721	1	1	yes	characteristic
428	C₂	#25787	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3147	C₂	semidirect
2. #33170	C₂	semidirect
3. #25673	C₂	semidirect
4. #25599	C₂	semidirect
5. C₂×#1722	C₂	semidirect
6. C₂×#1721	C₂	semidirect
7. #10308	C₂	semidirect
8. #10305	C₂	semidirect
9. #9839	C₂	semidirect
10. #9837	C₂	semidirect
11. #8144	C₂	semidirect
78. #494	D₄	semidirect
82. #493	D₄	semidirect
154. C₂²×C₈	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3147	2
#33170	2
#25673	2
#25599	2
C₂×#1722	2
C₂×#1721	2
#10308	2
#10305	2
#9839	2
#9837	2
#8144	2