Subgroups — #298757

Order 512.

1244 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 384 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3169	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#33209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#25719	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#25673	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1722	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10309	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10305	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9830	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8145	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
11	#3169	—	2	8	no	—
12	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#494	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#466	—	2	2	no	—
21	C₂×#452	—	2	4	no	—
22	C₂×C₄×D₈	—	2	2	no	—
23	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2857	C₂²	1	2	yes	—
25	#2033	—	2	4	no	—
26	#2015	—	2	4	no	—
27	#1990	C₂²	1	2	yes	—
28	#1990	C₂²	1	2	yes	—
29	#1957	C₂²	1	2	yes	—
30	#1957	C₂²	1	2	yes	—
31	#1956	C₂²	1	2	yes	—
32	#1942	—	2	2	no	—
33	#1862	—	2	4	no	—
34	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1808	—	2	2	no	—
36	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1722	—	2	8	no	—
39	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
40	#1273	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×#41	—	2	2	no	—
42	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
43	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
44	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
45	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
46	#532	—	2	4	no	—
47	#532	—	2	4	no	—
48	#532	—	4	2	no	—
49	#532	—	4	2	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#124	—	2	2	no	—
54	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
55	C₂×#121	—	2	2	no	—
56	C₂×#121	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#500	—	2	4	no	—
61	#500	—	2	4	no	—
62	#500	—	2	4	no	—
63	#500	—	4	2	no	—
64	#494	—	2	4	no	—
65	#494	—	4	2	no	—
66	#493	—	2	4	no	—
67	#492	—	2	4	no	—
68	#492	—	4	2	no	—
69	#486	—	2	4	no	—
70	#486	—	2	4	no	—
71	#486	—	4	2	no	—
72	#486	D₄	1	8	yes	—
73	#466	—	2	16	no	—
74	#452	—	4	16	no	—
75	C₄×D₈	—	2	16	no	—
76	C₂×#107	—	2	2	no	—
77	C₂×#107	—	2	2	no	—
78	C₂×#107	—	2	2	no	—
79	C₂×#107	—	2	4	no	—
80	C₂×#103	—	2	4	no	—
81	C₂×#102	—	2	4	no	—
82	C₂×#102	—	2	4	no	—
83	C₂×#102	—	2	4	no	—
84	C₂×#102	—	2	4	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
87	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
88	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	#391	—	2	2	no	—
94	#389	—	2	2	no	—
95	#389	—	2	2	no	—
96	#384	C₂³	1	2	yes	—
97	#380	—	2	2	no	—
98	#380	—	2	2	no	—
99	#340	—	2	4	no	—
100	#340	—	2	4	no	—
101	#336	D₄	1	2	yes	—
102	#336	D₄	1	2	yes	—
103	#322	—	2	4	no	—
104	C₂×#41	—	4	4	no	—
105	C₂×#41	—	4	4	no	—
106	C₂×#41	—	4	8	no	—
107	C₂×#41	—	8	4	no	—
108	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
114	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
119	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
120	C₂×Q₁₆	—	8	4	no	—
121	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
122	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
123	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
124	C₂×D₈	—	2	8	no	—
125	C₂×D₈	—	4	4	no	—
126	C₂×D₈	—	4	4	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
129	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
138	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
141	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	#127	—	2	2	no	—
143	#127	—	2	2	no	—
144	#127	—	2	2	no	—
145	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
146	#124	—	4	4	no	—
147	#124	—	4	4	no	—
148	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
149	#121	—	2	8	no	—
150	#121	—	4	4	no	—
151	#121	—	4	4	no	—
152	#121	—	4	4	no	—
153	C₄×D₄	—	2	8	no	—
154	C₄×D₄	—	4	4	no	—
155	C₄×D₄	—	4	4	no	—
156	C₄×D₄	—	4	4	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
174	#107	—	2	8	no	—
175	#107	—	4	8	no	—
176	#107	—	4	4	no	—
177	#107	—	4	4	no	—
178	#103	—	4	8	no	—
179	#102	—	2	16	no	—
180	#102	—	4	8	no	—
181	#102	—	4	8	no	—
182	#102	—	4	8	no	—
183	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
184	C₂²⋊C₈	D₈	1	8	yes	complemented
185	C₄×C₈	—	2	4	no	—
186	C₄×C₈	—	2	2	no	—
187	C₄×C₈	—	2	2	no	—
188	C₄×C₈	—	2	2	no	—
189	C₄×C₈	—	2	2	no	—
190	C₄×C₈	—	2	2	no	—
191	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
192	#95	—	4	2	no	—
193	#95	—	4	2	no	—
194	C₂⁴	—	4	2	no	—
195	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
196	#41	—	8	16	no	—
197	#41	—	8	16	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
199	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
206	C₂×D₄	—	2	4	no	—
207	C₂×D₄	—	2	4	no	—
208	C₂×D₄	—	2	4	no	—
209	C₂×D₄	—	4	8	no	—
210	C₂×D₄	—	4	2	no	—
211	C₂×D₄	—	4	2	no	—
212	C₂×D₄	—	4	2	no	—
213	C₂×D₄	—	4	4	no	—
214	C₂×D₄	—	4	4	no	—
215	C₂×D₄	—	4	4	no	—
216	C₂×D₄	—	4	4	no	—
217	C₂×D₄	—	4	4	no	—
218	C₂×D₄	—	4	4	no	—
219	C₂×D₄	—	8	4	no	—
220	C₂×D₄	—	8	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
236	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	Q₁₆	—	8	16	no	—
244	SD₁₆	—	8	16	no	—
245	D₈	—	4	16	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	2	2	no	—
251	C₂×C₈	—	2	4	no	—
252	C₂×C₈	—	2	4	no	—
253	C₂×C₈	—	2	4	no	—
254	C₂×C₈	—	2	4	no	—
255	C₂×C₈	—	4	8	no	—
256	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
257	C₂×C₈	C₂×D₈	1	8	yes	—
258	C₂×C₈	#137	1	4	yes	—
259	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
274	C₄²	—	2	1	no	—
275	C₄²	—	2	1	no	—
276	C₄²	—	2	2	no	—
277	C₄²	—	2	2	no	—
278	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
279	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
280	C₂³	—	2	1	no	—
281	C₂³	—	2	1	no	—
282	C₂³	—	2	1	no	—
283	C₂³	—	2	1	no	—
284	C₂³	—	2	1	no	—
285	C₂³	—	2	1	no	—
286	C₂³	—	4	4	no	—
287	C₂³	—	8	2	no	—
288	C₂³	—	8	2	no	—
289	C₂³	—	8	2	no	—
290	C₂³	—	8	2	no	—
291	C₂³	—	8	2	no	—
292	C₂³	—	8	2	no	—
293	C₂³	#493	1	2	yes	—
294	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
295	Q₈	—	4	8	no	—
296	Q₈	—	8	4	no	—
297	Q₈	—	8	4	no	—
298	Q₈	—	8	4	no	—
299	D₄	—	4	8	no	—
300	D₄	—	4	8	no	—
301	D₄	—	4	8	no	—
302	D₄	—	8	16	no	—
303	D₄	—	8	4	no	—
304	D₄	—	8	4	no	—
305	D₄	—	8	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	1	no	—
308	C₂×C₄	—	2	8	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	1	no	—
311	C₂×C₄	—	2	1	no	—
312	C₂×C₄	—	2	1	no	—
313	C₂×C₄	—	2	1	no	—
314	C₂×C₄	—	2	1	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	8	16	no	—
320	C₂×C₄	—	8	2	no	—
321	C₂×C₄	—	8	2	no	—
322	C₂×C₄	—	8	2	no	—
323	C₂×C₄	—	8	2	no	—
324	C₂×C₄	—	8	2	no	—
325	C₂×C₄	—	8	2	no	—
326	C₂×C₄	—	8	2	no	—
327	C₂×C₄	—	8	2	no	—
328	C₂×C₄	#493	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
339	C₈	—	2	4	no	—
340	C₈	—	2	4	no	—
341	C₈	—	2	8	no	—
342	C₈	—	4	4	no	—
343	C₂²	—	2	2	no	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	4	1	no	—
347	C₂²	—	4	1	no	—
348	C₂²	—	4	1	no	—
349	C₂²	—	4	1	no	—
350	C₂²	—	8	4	no	—
351	C₂²	—	8	4	no	—
352	C₂²	—	8	4	no	—
353	C₂²	—	16	2	no	—
354	C₂²	—	16	2	no	—
355	C₂²	—	16	2	no	—
356	C₂²	—	16	2	no	—
357	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	#3150	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	#3150	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	#3152	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	#3156	1	1	yes	characteristic
364	C₄	—	2	2	no	—
365	C₄	—	4	1	no	—
366	C₄	—	4	1	no	—
367	C₄	—	8	4	no	—
368	C₄	—	16	2	no	—
369	C₄	—	16	2	no	—
370	C₄	#3007	1	2	yes	—
371	C₄	#3216	1	2	yes	—
372	C₄	#3269	1	4	yes	—
373	C₄	D₄×D₈	1	4	yes	—
374	C₂	—	4	2	no	—
375	C₂	—	16	4	no	—
376	C₂	#19616	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#19630	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#19688	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#19712	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#25728	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#25779	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#25786	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#3169	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33209	C₂	semidirect
3. #25719	C₂	semidirect
4. #25673	C₂	semidirect
5. C₂×#1722	C₂	semidirect
6. #10309	C₂	semidirect
7. #10305	C₂	semidirect
8. #9830	C₂	semidirect
9. #8145	C₂	semidirect
184. C₂²⋊C₈	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3169	2
#33209	2
#25719	2
#25673	2
C₂×#1722	2
#10309	2
#10305	2
#9830	2
#8145	2