Subgroups — #298767

Order 512.

1390 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 418 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3169	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#33171	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#25720	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#25599	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1721	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10308	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10304	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9830	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8145	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
11	#3169	—	2	8	no	—
12	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#466	—	2	2	no	—
21	C₂×#466	—	2	2	no	—
22	C₂×#449	—	2	4	no	—
23	C₂×C₄×D₈	—	2	2	no	—
24	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2856	C₂²	1	2	yes	—
26	#2012	—	2	4	no	—
27	#1999	—	2	4	no	—
28	#1990	C₂²	1	2	yes	—
29	#1970	—	2	2	no	—
30	#1957	C₂²	1	2	yes	—
31	#1957	C₂²	1	2	yes	—
32	#1957	C₂²	1	2	yes	—
33	#1956	C₂²	1	2	yes	—
34	#1879	—	2	4	no	—
35	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1721	—	2	8	no	—
39	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
40	#1273	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×#41	—	2	2	no	—
42	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
43	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
44	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
45	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
46	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
47	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
48	#532	—	2	4	no	—
49	#532	—	2	4	no	—
50	#532	—	4	2	no	—
51	#532	—	4	2	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#124	—	2	2	no	—
56	C₂×#121	—	2	2	no	—
57	C₂×#121	—	2	2	no	—
58	C₂×#121	—	2	2	no	—
59	C₂×#121	—	2	2	no	—
60	C₂×#121	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#500	—	2	4	no	—
65	#493	—	2	4	no	—
66	#493	—	2	4	no	—
67	#493	—	2	4	no	—
68	#493	—	2	4	no	—
69	#493	—	4	2	no	—
70	#493	—	4	2	no	—
71	#492	—	2	4	no	—
72	#492	—	4	2	no	—
73	#486	—	2	4	no	—
74	#486	—	2	4	no	—
75	#486	—	4	2	no	—
76	#486	D₄	1	8	yes	complemented
77	#466	—	2	16	no	—
78	#466	—	4	8	no	—
79	#449	—	4	16	no	—
80	C₄×D₈	—	2	16	no	—
81	C₂×#107	—	2	2	no	—
82	C₂×#107	—	2	2	no	—
83	C₂×#103	—	2	4	no	—
84	C₂×#102	—	2	4	no	—
85	C₂×#102	—	2	4	no	—
86	C₂×#102	—	2	4	no	—
87	C₂×#102	—	2	4	no	—
88	C₂×#102	—	2	4	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
90	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
91	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
92	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	#390	—	2	2	no	—
98	#390	—	2	2	no	—
99	#390	—	2	2	no	—
100	#384	C₂³	1	2	yes	—
101	#340	—	2	4	no	—
102	#336	D₄	1	2	yes	—
103	#336	D₄	1	2	yes	—
104	#322	—	2	4	no	—
105	C₂×#41	—	4	4	no	—
106	C₂×#41	—	4	4	no	—
107	C₂×#41	—	4	8	no	—
108	C₂×#41	—	8	4	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
118	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
119	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
123	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
124	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
125	C₂×D₈	—	2	8	no	—
126	C₂×D₈	—	4	4	no	—
127	C₂×D₈	—	4	8	no	—
128	C₂×D₈	—	4	8	no	—
129	C₂×D₈	—	4	4	no	—
130	C₂×D₈	—	4	8	no	—
131	C₂×D₈	—	4	4	no	—
132	C₂×D₈	—	4	4	no	—
133	C₂×D₈	—	4	8	no	—
134	C₂×D₈	—	4	4	no	—
135	C₂×D₈	—	8	4	no	—
136	C₂×D₈	—	8	4	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
139	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
147	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
148	#127	—	2	2	no	—
149	#127	—	2	2	no	—
150	#127	—	2	2	no	—
151	#127	—	2	2	no	—
152	#127	—	2	2	no	—
153	#127	—	2	2	no	—
154	#127	—	2	2	no	—
155	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	#124	—	4	4	no	—
157	#124	—	4	4	no	—
158	#121	—	2	8	no	—
159	#121	—	4	4	no	—
160	#121	—	4	4	no	—
161	#121	—	4	4	no	—
162	#121	—	4	8	no	—
163	#121	—	4	8	no	—
164	#121	—	8	4	no	—
165	C₄×D₄	—	2	8	no	—
166	C₄×D₄	—	4	4	no	—
167	C₄×D₄	—	4	4	no	—
168	C₄×D₄	—	4	4	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
185	#107	—	2	8	no	—
186	#107	—	4	4	no	—
187	#103	—	4	8	no	—
188	#102	—	2	16	no	—
189	#102	—	4	8	no	—
190	#102	—	4	8	no	—
191	#102	—	4	8	no	—
192	#102	—	8	4	no	—
193	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
194	C₂²⋊C₈	D₈	1	8	yes	complemented
195	C₄×C₈	—	2	4	no	—
196	C₄×C₈	—	2	2	no	—
197	C₄×C₈	—	2	2	no	—
198	C₄×C₈	—	2	2	no	—
199	C₄×C₈	—	2	2	no	—
200	C₄×C₈	—	2	2	no	—
201	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
202	C₂⁴	—	4	2	no	—
203	C₂⁴	—	4	2	no	—
204	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
205	#41	—	8	16	no	—
206	#41	—	8	16	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
211	C₂×D₄	—	2	4	no	—
212	C₂×D₄	—	2	4	no	—
213	C₂×D₄	—	2	4	no	—
214	C₂×D₄	—	4	8	no	—
215	C₂×D₄	—	4	2	no	—
216	C₂×D₄	—	4	2	no	—
217	C₂×D₄	—	4	2	no	—
218	C₂×D₄	—	4	2	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	4	no	—
225	C₂×D₄	—	4	4	no	—
226	C₂×D₄	—	4	4	no	—
227	C₂×D₄	—	4	4	no	—
228	C₂×D₄	—	4	4	no	—
229	C₂×D₄	—	4	4	no	—
230	C₂×D₄	—	4	4	no	—
231	C₂×D₄	—	4	4	no	—
232	C₂×D₄	—	4	4	no	—
233	C₂×D₄	—	4	4	no	—
234	C₂×D₄	—	4	4	no	—
235	C₂×D₄	—	4	4	no	—
236	C₂×D₄	—	8	4	no	—
237	C₂×D₄	—	8	4	no	—
238	C₂×D₄	—	8	4	no	—
239	C₂×D₄	—	8	4	no	—
240	C₂×D₄	—	8	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
255	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
262	SD₁₆	—	8	16	no	—
263	D₈	—	4	16	no	—
264	D₈	—	8	16	no	—
265	D₈	—	8	8	no	—
266	D₈	—	8	16	no	—
267	C₂×C₈	—	2	2	no	—
268	C₂×C₈	—	2	4	no	—
269	C₂×C₈	—	2	2	no	—
270	C₂×C₈	—	2	2	no	—
271	C₂×C₈	—	2	2	no	—
272	C₂×C₈	—	2	4	no	—
273	C₂×C₈	—	2	4	no	—
274	C₂×C₈	—	2	4	no	—
275	C₂×C₈	—	2	4	no	—
276	C₂×C₈	—	4	8	no	—
277	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
278	C₂×C₈	C₂×D₈	1	8	yes	—
279	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
280	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
292	C₄²	—	2	1	no	—
293	C₄²	—	2	1	no	—
294	C₄²	—	2	2	no	—
295	C₄²	—	2	2	no	—
296	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
297	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
298	C₂³	—	2	1	no	—
299	C₂³	—	2	1	no	—
300	C₂³	—	2	1	no	—
301	C₂³	—	2	1	no	—
302	C₂³	—	2	1	no	—
303	C₂³	—	2	1	no	—
304	C₂³	—	4	4	no	—
305	C₂³	—	8	2	no	—
306	C₂³	—	8	2	no	—
307	C₂³	—	8	2	no	—
308	C₂³	—	8	2	no	—
309	C₂³	—	8	2	no	—
310	C₂³	—	8	2	no	—
311	C₂³	—	8	2	no	—
312	C₂³	—	8	2	no	—
313	C₂³	—	8	2	no	—
314	C₂³	—	8	2	no	—
315	C₂³	—	8	2	no	—
316	C₂³	—	8	2	no	—
317	C₂³	—	8	2	no	—
318	C₂³	#493	1	2	yes	—
319	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
320	Q₈	—	4	8	no	—
321	Q₈	—	8	4	no	—
322	D₄	—	4	8	no	—
323	D₄	—	4	8	no	—
324	D₄	—	4	8	no	—
325	D₄	—	8	16	no	—
326	D₄	—	8	4	no	—
327	D₄	—	8	4	no	—
328	D₄	—	8	4	no	—
329	D₄	—	8	4	no	—
330	D₄	—	8	4	no	—
331	D₄	—	8	4	no	—
332	D₄	—	8	4	no	—
333	D₄	—	8	4	no	—
334	D₄	—	8	4	no	—
335	D₄	—	16	8	no	—
336	C₂×C₄	—	2	1	no	—
337	C₂×C₄	—	2	1	no	—
338	C₂×C₄	—	2	8	no	—
339	C₂×C₄	—	2	1	no	—
340	C₂×C₄	—	2	1	no	—
341	C₂×C₄	—	2	1	no	—
342	C₂×C₄	—	2	1	no	—
343	C₂×C₄	—	2	1	no	—
344	C₂×C₄	—	2	1	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	8	16	no	—
350	C₂×C₄	—	8	2	no	—
351	C₂×C₄	—	8	2	no	—
352	C₂×C₄	—	8	2	no	—
353	C₂×C₄	—	8	2	no	—
354	C₂×C₄	—	8	2	no	—
355	C₂×C₄	#493	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
366	C₈	—	2	4	no	—
367	C₈	—	2	4	no	—
368	C₈	—	2	8	no	—
369	C₈	—	4	4	no	—
370	C₂²	—	2	2	no	—
371	C₂²	—	2	2	no	—
372	C₂²	—	2	2	no	—
373	C₂²	—	4	1	no	—
374	C₂²	—	4	1	no	—
375	C₂²	—	4	1	no	—
376	C₂²	—	4	1	no	—
377	C₂²	—	8	4	no	—
378	C₂²	—	8	4	no	—
379	C₂²	—	8	4	no	—
380	C₂²	—	16	2	no	—
381	C₂²	—	16	2	no	—
382	C₂²	—	16	2	no	—
383	C₂²	—	16	2	no	—
384	C₂²	—	16	2	no	—
385	C₂²	—	16	2	no	—
386	C₂²	—	16	2	no	—
387	C₂²	—	16	2	no	—
388	C₂²	—	16	2	no	—
389	C₂²	—	16	2	no	—
390	C₂²	—	16	2	no	—
391	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
392	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
393	C₂²	#3150	1	1	yes	characteristic
394	C₂²	#3150	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
396	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
397	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
398	C₄	—	2	2	no	—
399	C₄	—	4	1	no	—
400	C₄	—	4	1	no	—
401	C₄	—	8	4	no	—
402	C₄	—	16	2	no	—
403	C₄	#3006	1	2	yes	—
404	C₄	#3214	1	2	yes	—
405	C₄	#3268	1	4	yes	—
406	C₄	D₄×D₈	1	4	yes	—
407	C₂	—	4	2	no	—
408	C₂	—	16	4	no	—
409	C₂	—	32	2	no	—
410	C₂	#19616	1	1	yes	characteristic
411	C₂	#19629	1	1	yes	characteristic
412	C₂	#19689	1	1	yes	characteristic
413	C₂	#19710	1	1	yes	characteristic
414	C₂	#25729	1	1	yes	characteristic
415	C₂	#25779	1	1	yes	characteristic
416	C₂	#25785	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3169	C₂	semidirect
2. #33171	C₂	semidirect
3. #25720	C₂	semidirect
4. #25599	C₂	semidirect
5. C₂×#1721	C₂	semidirect
6. #10308	C₂	semidirect
7. #10304	C₂	semidirect
8. #9830	C₂	semidirect
9. #8145	C₂	semidirect
76. #486	D₄	semidirect
194. C₂²⋊C₈	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3169	2
#33171	2
#25720	2
#25599	2
C₂×#1721	2
#10308	2
#10304	2
#9830	2
#8145	2