Subgroups — #298770

Order 512.

1130 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 380 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3170	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#33171	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#25905	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#25598	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1717	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10308	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10306	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9833	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8145	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
11	#3170	—	2	8	no	—
12	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#467	—	2	2	no	—
21	C₂×#466	—	2	2	no	—
22	C₂×C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
23	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2856	C₂²	1	2	yes	—
25	#2025	—	2	4	no	—
26	#2000	—	2	4	no	—
27	#1990	C₂²	1	2	yes	—
28	#1990	C₂²	1	2	yes	—
29	#1990	C₂²	1	2	yes	—
30	#1970	—	2	2	no	—
31	#1957	C₂²	1	2	yes	—
32	#1956	C₂²	1	2	yes	—
33	#1880	—	2	4	no	—
34	#1875	—	2	4	no	—
35	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1717	—	2	8	no	—
39	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
40	#1273	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
42	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
43	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
44	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
45	#533	—	2	4	no	—
46	#533	—	2	4	no	—
47	#533	—	4	2	no	—
48	#533	—	4	2	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×#125	—	2	2	no	—
53	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
54	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
55	C₂×#121	—	2	2	no	—
56	C₂×#121	—	2	2	no	—
57	C₂×#121	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
60	C₂×#117	—	2	2	no	—
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#500	—	2	4	no	—
63	#494	—	2	4	no	—
64	#493	—	2	4	no	—
65	#492	—	2	4	no	—
66	#492	—	4	2	no	—
67	#487	—	2	4	no	—
68	#487	D₄	1	8	yes	complemented
69	#486	—	2	4	no	—
70	#486	—	2	4	no	—
71	#486	—	2	4	no	—
72	#486	—	4	2	no	—
73	#486	—	4	2	no	—
74	#486	—	4	2	no	—
75	#467	—	2	16	no	—
76	#466	—	4	8	no	—
77	C₄×Q₁₆	—	2	16	no	—
78	C₂×#107	—	2	2	no	—
79	C₂×#107	—	2	2	no	—
80	C₂×#103	—	2	4	no	—
81	C₂×#103	—	2	4	no	—
82	C₂×#102	—	2	4	no	—
83	C₂×#102	—	2	4	no	—
84	C₂×#102	—	2	4	no	—
85	C₂×#102	—	2	4	no	—
86	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
87	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
89	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	#390	—	2	2	no	—
95	#390	—	2	2	no	—
96	#390	—	2	2	no	—
97	#384	C₂³	1	2	yes	—
98	#340	—	2	4	no	—
99	#340	—	2	4	no	—
100	#340	—	2	4	no	—
101	#336	D₄	1	2	yes	—
102	#336	D₄	1	2	yes	—
103	#322	—	2	4	no	—
104	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
110	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
114	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
115	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
116	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
117	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
118	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
119	C₂×D₈	—	4	4	no	—
120	C₂×D₈	—	4	4	no	—
121	C₂×D₈	—	4	4	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
124	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
125	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
130	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
131	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
132	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
135	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	#127	—	2	2	no	—
138	#127	—	2	2	no	—
139	#127	—	2	2	no	—
140	#127	—	2	2	no	—
141	#125	—	4	4	no	—
142	#125	—	4	4	no	—
143	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
144	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
145	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
146	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
147	#121	—	4	8	no	—
148	#121	—	4	8	no	—
149	#121	—	8	4	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
151	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
152	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
153	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
154	#117	—	4	4	no	—
155	#117	—	4	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
176	#107	—	2	8	no	—
177	#107	—	4	4	no	—
178	#103	—	2	16	no	—
179	#103	—	8	4	no	—
180	#102	—	4	8	no	—
181	#102	—	4	8	no	—
182	#102	—	4	8	no	—
183	#102	—	4	8	no	—
184	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
185	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
186	C₄×C₈	—	2	4	no	—
187	C₄×C₈	—	2	2	no	—
188	C₄×C₈	—	2	2	no	—
189	C₄×C₈	—	2	2	no	—
190	C₄×C₈	—	2	2	no	—
191	C₄×C₈	—	2	2	no	—
192	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
193	C₂⁴	—	4	2	no	—
194	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
195	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
199	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
203	C₂×D₄	—	4	2	no	—
204	C₂×D₄	—	4	2	no	—
205	C₂×D₄	—	4	2	no	—
206	C₂×D₄	—	4	2	no	—
207	C₂×D₄	—	4	2	no	—
208	C₂×D₄	—	4	2	no	—
209	C₂×D₄	—	4	4	no	—
210	C₂×D₄	—	4	4	no	—
211	C₂×D₄	—	4	4	no	—
212	C₂×D₄	—	4	4	no	—
213	C₂×D₄	—	4	4	no	—
214	C₂×D₄	—	4	4	no	—
215	C₂×D₄	—	8	4	no	—
216	C₂×D₄	—	8	4	no	—
217	C₂×D₄	—	8	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
237	Q₁₆	—	4	16	no	—
238	SD₁₆	—	8	16	no	—
239	D₈	—	8	8	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	2	2	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	2	4	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	2	4	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	4	8	no	—
251	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
252	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
253	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
270	C₄²	—	2	1	no	—
271	C₄²	—	2	1	no	—
272	C₄²	—	2	2	no	—
273	C₄²	—	2	2	no	—
274	C₄²	—	4	8	no	—
275	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
276	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
277	C₂³	—	2	1	no	—
278	C₂³	—	2	1	no	—
279	C₂³	—	2	1	no	—
280	C₂³	—	2	1	no	—
281	C₂³	—	2	1	no	—
282	C₂³	—	2	1	no	—
283	C₂³	—	8	2	no	—
284	C₂³	—	8	2	no	—
285	C₂³	—	8	2	no	—
286	C₂³	—	8	2	no	—
287	C₂³	—	8	2	no	—
288	C₂³	—	8	2	no	—
289	C₂³	—	8	2	no	—
290	C₂³	#495	1	2	yes	—
291	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
292	Q₈	—	4	8	no	—
293	Q₈	—	4	8	no	—
294	Q₈	—	8	4	no	—
295	Q₈	—	8	4	no	—
296	D₄	—	8	4	no	—
297	D₄	—	8	4	no	—
298	D₄	—	8	4	no	—
299	D₄	—	8	4	no	—
300	D₄	—	8	4	no	—
301	D₄	—	8	4	no	—
302	D₄	—	16	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	1	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	1	no	—
311	C₂×C₄	—	2	1	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	8	2	no	—
318	C₂×C₄	—	8	2	no	—
319	C₂×C₄	—	8	2	no	—
320	C₂×C₄	—	8	2	no	—
321	C₂×C₄	—	8	2	no	—
322	C₂×C₄	—	8	2	no	—
323	C₂×C₄	—	8	2	no	—
324	C₂×C₄	#495	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
335	C₈	—	2	4	no	—
336	C₈	—	2	4	no	—
337	C₈	—	4	4	no	—
338	C₈	—	4	4	no	—
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	—	2	2	no	—
342	C₂²	—	4	1	no	—
343	C₂²	—	4	1	no	—
344	C₂²	—	4	1	no	—
345	C₂²	—	4	1	no	—
346	C₂²	—	16	2	no	—
347	C₂²	—	16	2	no	—
348	C₂²	—	16	2	no	—
349	C₂²	—	16	2	no	—
350	C₂²	—	16	2	no	—
351	C₂²	—	16	2	no	—
352	C₂²	—	16	2	no	—
353	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	C₂×#495	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#3150	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	#3150	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	#3156	1	1	yes	characteristic
360	C₄	—	2	2	no	—
361	C₄	—	4	1	no	—
362	C₄	—	4	1	no	—
363	C₄	—	8	4	no	—
364	C₄	—	8	4	no	—
365	C₄	—	16	2	no	—
366	C₄	#3006	1	2	yes	—
367	C₄	#3214	1	2	yes	—
368	C₄	#3268	1	4	yes	—
369	C₄	#3285	1	4	yes	—
370	C₂	—	4	2	no	—
371	C₂	—	32	2	no	—
372	C₂	#19613	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#19635	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#19687	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#19712	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#25729	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#25782	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#25785	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#33171	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3170	C₂	semidirect
3. #25905	C₂	semidirect
4. #25598	C₂	semidirect
5. C₂×#1717	C₂	semidirect
6. #10308	C₂	semidirect
7. #10306	C₂	semidirect
8. #9833	C₂	semidirect
9. #8145	C₂	semidirect
68. #487	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3170	2
#33171	2
#25905	2
#25598	2
C₂×#1717	2
#10308	2
#10306	2
#9833	2
#8145	2