Subgroups — #298809

Order 512.

1086 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 391 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3185	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#33174	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#25812	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#25598	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂×#1722	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1705	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10314	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10310	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9841	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9825	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8146	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
13	#3185	—	2	4	no	—
14	#3185	—	2	4	no	—
15	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#498	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#492	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#470	—	2	2	no	—
24	C₂×#468	—	2	2	no	—
25	C₂×#441	—	2	2	no	—
26	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2857	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#2856	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#2059	—	2	4	no	—
30	#2000	—	2	4	no	—
31	#1990	C₂²	1	2	yes	—
32	#1990	C₂²	1	2	yes	—
33	#1990	C₂²	1	2	yes	—
34	#1973	—	2	2	no	—
35	#1957	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1956	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1956	C₂²	1	2	yes	—
38	#1880	—	2	4	no	—
39	#1854	—	2	4	no	—
40	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
42	#1722	—	2	4	no	—
43	#1705	—	2	4	no	—
44	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1273	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
50	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
51	#533	—	2	4	no	—
52	#533	—	2	4	no	—
53	#533	—	4	2	no	—
54	#533	—	4	2	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#125	—	2	2	no	—
60	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
62	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
63	C₂×#121	—	2	1	no	—
64	C₂×#121	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
67	C₂×#117	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	#500	—	2	4	no	—
70	#500	—	4	2	no	—
71	#498	—	2	4	no	—
72	#498	—	2	2	no	—
73	#498	—	4	2	no	—
74	#498	D₄	1	4	yes	complemented
75	#494	—	2	2	no	—
76	#494	D₄	1	4	yes	complemented
77	#492	—	2	4	no	—
78	#492	—	2	2	no	—
79	#492	—	2	2	no	—
80	#492	—	4	2	no	—
81	#487	—	2	4	no	—
82	#487	—	2	4	no	—
83	#486	—	2	4	no	—
84	#486	—	4	2	no	—
85	#470	—	2	16	no	—
86	#468	—	4	8	no	—
87	#441	—	2	16	no	—
88	C₂×#107	—	2	4	no	—
89	C₂×#107	—	2	2	no	—
90	C₂×#106	—	2	2	no	—
91	C₂×#106	—	2	4	no	—
92	C₂×#103	—	2	4	no	—
93	C₂×#103	—	2	2	no	—
94	C₂×#103	—	2	4	no	—
95	C₂×#102	—	2	4	no	—
96	C₂×#102	—	2	2	no	—
97	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
98	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
99	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
100	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
101	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	#391	—	2	1	no	—
106	#390	—	2	2	no	—
107	#390	—	2	1	no	—
108	#389	—	2	2	no	—
109	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	#380	—	2	2	no	—
112	#340	—	2	4	no	—
113	#340	—	2	4	no	—
114	#340	—	2	4	no	—
115	#336	D₄	1	4	yes	—
116	#322	—	2	2	no	—
117	C₈²	—	2	2	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
124	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
127	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
128	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
129	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
130	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
131	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
132	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
133	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
134	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	#127	—	2	1	no	—
154	#127	—	2	1	no	—
155	#127	—	2	2	no	—
156	#125	—	4	4	no	—
157	#125	—	4	4	no	—
158	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
159	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
160	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
161	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
162	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
163	#121	—	4	4	no	—
164	#121	—	8	4	no	—
165	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
166	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
167	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
168	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
169	#117	—	4	4	no	—
170	#117	—	4	4	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
194	#107	—	4	8	no	—
195	#107	—	4	4	no	—
196	#106	—	2	8	no	—
197	#106	—	4	8	no	—
198	#103	—	2	16	no	—
199	#103	—	4	4	no	—
200	#103	—	8	4	no	—
201	#102	—	4	8	no	—
202	#102	—	4	4	no	—
203	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
204	#97	—	2	4	no	—
205	C₄×C₈	—	2	2	no	—
206	C₄×C₈	—	2	2	no	—
207	C₄×C₈	—	2	1	no	—
208	C₄×C₈	—	2	1	no	—
209	C₄×C₈	—	2	2	no	—
210	C₄×C₈	—	2	2	no	—
211	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
212	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	#95	—	4	2	no	—
214	C₂⁴	—	4	1	no	—
215	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
216	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
220	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
222	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
228	C₂×D₄	—	4	1	no	—
229	C₂×D₄	—	4	1	no	—
230	C₂×D₄	—	4	2	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	4	4	no	—
235	C₂×D₄	—	4	4	no	—
236	C₂×D₄	—	8	2	no	—
237	C₂×D₄	—	8	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
251	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
255	Q₁₆	—	4	16	no	—
256	SD₁₆	—	8	16	no	—
257	SD₁₆	—	8	8	no	—
258	M₁₆	—	4	8	no	—
259	C₂×C₈	—	2	4	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	—	2	2	no	—
262	C₂×C₈	—	2	4	no	—
263	C₂×C₈	—	2	2	no	—
264	C₂×C₈	—	2	2	no	—
265	C₂×C₈	—	2	4	no	—
266	C₂×C₈	—	2	4	no	—
267	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
268	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
269	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
270	C₂×C₈	#137	1	8	yes	—
271	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
292	C₄²	—	2	1	no	—
293	C₄²	—	2	1	no	—
294	C₄²	—	2	2	no	—
295	C₄²	—	2	2	no	—
296	C₄²	—	4	8	no	—
297	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
299	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
300	C₂³	—	2	1	no	—
301	C₂³	—	2	1	no	—
302	C₂³	—	2	2	no	—
303	C₂³	—	2	2	no	—
304	C₂³	—	2	1	no	—
305	C₂³	—	8	1	no	—
306	C₂³	—	8	1	no	—
307	C₂³	—	8	2	no	—
308	C₂³	—	8	2	no	—
309	C₂³	—	8	1	no	—
310	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
311	Q₈	—	4	8	no	—
312	Q₈	—	4	8	no	—
313	Q₈	—	8	4	no	—
314	Q₈	—	8	4	no	—
315	Q₈	—	8	2	no	—
316	Q₈	—	8	2	no	—
317	D₄	—	8	2	no	—
318	D₄	—	8	2	no	—
319	D₄	—	8	4	no	—
320	D₄	—	8	4	no	—
321	D₄	—	16	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	1	no	—
323	C₂×C₄	—	2	1	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	1	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	8	2	no	—
335	C₂×C₄	—	8	2	no	—
336	C₂×C₄	—	8	2	no	—
337	C₂×C₄	—	8	2	no	—
338	C₂×C₄	—	8	1	no	—
339	C₂×C₄	—	8	1	no	—
340	C₂×C₄	—	8	1	no	—
341	C₂×C₄	—	8	1	no	—
342	C₂×C₄	—	8	2	no	—
343	C₂×C₄	—	8	2	no	—
344	C₂×C₄	—	8	1	no	—
345	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	C₂×#137	1	4	yes	—
352	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
353	C₈	—	2	8	no	—
354	C₈	—	4	2	no	—
355	C₈	—	4	4	no	—
356	C₈	#449	1	8	yes	—
357	C₂²	—	4	1	no	—
358	C₂²	—	4	1	no	—
359	C₂²	—	4	1	no	—
360	C₂²	—	4	2	no	—
361	C₂²	—	4	2	no	—
362	C₂²	—	16	1	no	—
363	C₂²	—	16	1	no	—
364	C₂²	—	16	1	no	—
365	C₂²	—	16	2	no	—
366	C₂²	—	16	2	no	—
367	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#3147	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#3152	1	2	yes	—
371	C₂²	#3154	1	2	yes	—
372	C₄	—	4	1	no	—
373	C₄	—	4	2	no	—
374	C₄	—	8	4	no	—
375	C₄	—	8	4	no	—
376	C₄	—	16	1	no	—
377	C₄	—	16	1	no	—
378	C₄	—	16	1	no	—
379	C₄	C₂×#449	1	2	yes	—
380	C₄	#3207	1	2	yes	—
381	C₄	#3266	1	4	yes	—
382	C₄	#3278	1	4	yes	—
383	C₂	—	8	1	no	—
384	C₂	—	32	1	no	—
385	C₂	#19642	1	2	yes	—
386	C₂	#19713	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#19746	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#25720	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#25790	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#2856	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3185	C₂	semidirect
3. #25812	C₂	semidirect
5. C₂×#1722	C₂	semidirect
6. C₂×#1705	C₂	semidirect
7. #10314	C₂	semidirect
8. #10310	C₂	semidirect
9. #9841	C₂	semidirect
10. #9825	C₂	semidirect
11. #8146	C₂	semidirect
74. #498	D₄	semidirect
76. #494	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3185	2
#33174	2
#25812	2
#25598	2
C₂×#1722	2
C₂×#1705	2
#10314	2
#10310	2
#9841	2
#9825	2
#8146	2