Subgroups — #299256

Order 512.

1294 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 448 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60647	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#33222	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#19655	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#18631	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#18621	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10148	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10146	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9856	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9773	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8184	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#576	—	2	2	no	—
13	#3498	C₂²	1	2	yes	—
14	#3227	C₂²	1	2	yes	complemented
15	#3206	C₂²	1	2	yes	complemented
16	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
17	#3155	—	2	4	no	—
18	#3155	—	2	2	no	—
19	#3151	—	2	2	no	—
20	#3151	C₂²	1	2	yes	—
21	#3147	—	2	1	no	—
22	#3147	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#493	—	2	1	no	—
24	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#3079	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1997	C₂²	1	2	yes	complemented
30	#1952	—	2	2	no	—
31	#1848	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
32	#1816	—	2	2	no	—
33	#1714	—	2	2	no	—
34	#1707	—	2	1	no	—
35	#1706	—	2	4	no	—
36	#1706	—	2	1	no	—
37	#1642	—	2	4	no	—
38	#1639	—	2	4	no	—
39	#1631	—	2	4	no	—
40	#1629	—	2	4	no	—
41	#1545	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#1545	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#1492	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#1492	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#1476	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1476	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1450	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
48	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
49	#1278	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
50	#1278	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
51	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	2	no	—
52	#576	—	4	8	no	—
53	#576	—	4	8	no	—
54	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
55	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
56	C₂×#135	—	2	4	no	—
57	C₂×#135	—	2	2	no	—
58	C₂²×SD₁₆	—	4	2	no	—
59	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
60	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
61	C₂×#131	D₄	1	2	yes	—
62	#550	—	2	2	no	—
63	#550	—	2	2	no	—
64	D₄²	—	2	2	no	—
65	D₄²	—	2	2	no	—
66	D₄²	—	4	2	no	—
67	D₄²	—	4	2	no	—
68	#535	—	2	4	no	—
69	#535	—	2	2	no	—
70	#532	—	2	2	no	—
71	#532	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×#127	—	2	2	no	—
74	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
75	C₄×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#500	—	2	2	no	—
77	#500	—	2	1	no	—
78	#500	—	2	1	no	—
79	#498	—	2	2	no	—
80	#496	—	2	8	no	—
81	#496	—	2	4	no	—
82	#495	—	2	4	no	—
83	#495	—	2	2	no	—
84	#494	D₄	1	1	yes	characteristic
85	#493	—	2	4	no	—
86	#493	—	2	2	no	—
87	#493	—	2	1	no	—
88	#493	—	2	1	no	—
89	#493	D₄	1	1	yes	characteristic
90	#493	D₄	1	4	yes	—
91	#492	—	2	2	no	—
92	#492	—	2	4	no	—
93	#492	—	2	2	no	—
94	#492	—	2	4	no	—
95	#492	D₄	1	2	yes	—
96	#487	—	2	2	no	—
97	#486	—	2	4	no	—
98	#486	—	2	2	no	—
99	#486	—	2	4	no	—
100	#481	—	4	2	no	—
101	#477	—	2	2	no	—
102	#476	—	2	2	no	—
103	#476	—	2	4	no	—
104	#475	—	2	2	no	—
105	#474	—	2	2	no	—
106	#461	—	2	4	no	—
107	#448	—	4	2	no	—
108	#431	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	#431	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂×#108	—	2	2	no	—
111	#428	—	2	2	no	—
112	C₂×#107	—	2	2	no	—
113	#423	C₂³	1	2	yes	—
114	#417	—	2	2	no	—
115	C₂×#102	—	4	2	no	—
116	#405	—	2	2	no	—
117	#405	D₄	1	2	yes	—
118	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
119	C₄×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
121	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
124	#343	—	2	4	no	—
125	#331	—	2	4	no	—
126	#331	—	2	4	no	—
127	Q₈⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
128	Q₈⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
129	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
130	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
131	D₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
132	D₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
133	#322	—	2	1	no	—
134	C₈²	—	2	2	no	—
135	C₈²	—	2	1	no	—
136	H(5,𝔽₂)	—	4	8	no	—
137	H(5,𝔽₂)	—	4	8	no	—
138	C₂×#41	—	2	4	no	—
139	C₂×#41	—	2	2	no	—
140	C₂×#41	—	4	2	no	—
141	C₂×#41	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
144	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
145	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
146	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
147	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
148	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
149	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
150	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
151	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
152	AGL(1,ℤ/8)	—	4	32	no	—
153	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
154	#135	—	4	16	no	—
155	#135	—	4	4	no	—
156	#135	—	4	4	no	—
157	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
158	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
159	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
160	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
161	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
162	C₂×SD₁₆	—	8	8	no	—
163	C₂×D₈	—	2	8	no	—
164	C₂×D₈	—	2	2	no	—
165	C₂×D₈	—	2	4	no	—
166	C₂×D₈	—	2	4	no	—
167	C₂×D₈	—	4	16	no	—
168	C₂×D₈	—	4	4	no	—
169	C₂×D₈	—	4	4	no	—
170	#131	—	2	4	no	—
171	#131	SD₁₆	1	8	yes	complemented
172	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
173	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
174	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
176	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
178	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
180	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
181	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
182	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
183	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	#127	—	2	4	no	—
185	#127	—	2	2	no	—
186	#127	—	2	2	no	—
187	#127	—	2	2	no	—
188	#127	—	4	2	no	—
189	#127	—	4	2	no	—
190	#127	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
192	#124	—	2	4	no	—
193	#124	—	2	2	no	—
194	#121	—	2	2	no	—
195	#121	—	2	2	no	—
196	#121	—	4	2	no	—
197	#121	—	4	2	no	—
198	#121	—	4	4	no	—
199	#121	—	4	4	no	—
200	#121	—	4	2	no	—
201	#121	—	4	2	no	—
202	#120	—	4	4	no	—
203	#120	—	4	4	no	—
204	#120	—	4	4	no	—
205	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₄×D₄	—	2	1	no	—
208	C₄×D₄	—	2	1	no	—
209	C₄×D₄	—	2	2	no	—
210	C₄×D₄	—	2	2	no	—
211	C₄×D₄	—	4	2	no	—
212	C₄×D₄	—	4	2	no	—
213	C₄×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₄×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
215	#117	—	2	1	no	—
216	#117	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
218	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
219	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
220	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
221	#108	—	4	4	no	—
222	#107	—	4	2	no	—
223	#107	—	4	2	no	—
224	#107	—	4	2	no	—
225	#106	—	4	4	no	—
226	#106	—	4	2	no	—
227	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
228	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
229	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
230	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
231	#103	—	4	4	no	—
232	#103	—	4	2	no	—
233	#102	—	4	8	no	—
234	#102	—	4	4	no	—
235	#102	—	4	2	no	—
236	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
237	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
238	#97	—	2	2	no	—
239	#97	—	2	1	no	—
240	C₄×C₈	—	2	2	no	—
241	C₄×C₈	—	2	1	no	—
242	C₄×C₈	—	2	1	no	—
243	C₄×C₈	—	2	1	no	—
244	C₄×C₈	—	2	1	no	—
245	C₄×C₈	—	2	1	no	—
246	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
247	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
248	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
250	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂⁴	—	4	4	no	—
252	C₂⁴	—	4	2	no	—
253	#41	—	2	2	no	—
254	#41	—	4	16	no	—
255	#41	—	4	4	no	—
256	#41	—	4	4	no	—
257	#41	—	8	4	no	—
258	#41	—	8	4	no	—
259	#41	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
260	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
261	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
262	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
263	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
264	C₂×Q₈	#127	1	1	yes	characteristic
265	C₂×D₄	—	2	1	no	—
266	C₂×D₄	—	2	4	no	—
267	C₂×D₄	—	2	2	no	—
268	C₂×D₄	—	2	2	no	—
269	C₂×D₄	—	2	2	no	—
270	C₂×D₄	—	2	4	no	—
271	C₂×D₄	—	2	4	no	—
272	C₂×D₄	—	4	16	no	—
273	C₂×D₄	—	4	4	no	—
274	C₂×D₄	—	4	4	no	—
275	C₂×D₄	—	4	4	no	—
276	C₂×D₄	—	4	4	no	—
277	C₂×D₄	—	4	2	no	—
278	C₂×D₄	—	4	2	no	—
279	C₂×D₄	—	4	2	no	—
280	C₂×D₄	—	4	2	no	—
281	C₂×D₄	—	4	4	no	—
282	C₂×D₄	—	4	4	no	—
283	C₂×D₄	—	8	4	no	—
284	C₂×D₄	—	8	4	no	—
285	C₂×D₄	—	8	16	no	—
286	C₂×D₄	—	8	4	no	—
287	C₂×D₄	—	8	4	no	—
288	C₂×D₄	—	16	4	no	—
289	C₂×D₄	—	16	4	no	—
290	C₂×D₄	#127	1	1	yes	characteristic
291	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
292	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
293	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
299	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
300	Q₁₆	—	4	4	no	—
301	SD₁₆	—	4	16	no	—
302	SD₁₆	—	4	8	no	—
303	SD₁₆	—	8	16	no	—
304	SD₁₆	—	16	4	no	—
305	D₈	—	4	16	no	—
306	D₈	—	4	4	no	—
307	D₈	—	4	8	no	—
308	D₈	—	4	8	no	—
309	M₁₆	—	2	2	no	—
310	M₁₆	—	2	8	no	—
311	M₁₆	—	4	4	no	—
312	M₁₆	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
313	C₂×C₈	—	2	4	no	—
314	C₂×C₈	—	2	2	no	—
315	C₂×C₈	—	2	2	no	—
316	C₂×C₈	—	2	8	no	—
317	C₂×C₈	—	2	2	no	—
318	C₂×C₈	—	2	2	no	—
319	C₂×C₈	—	2	2	no	—
320	C₂×C₈	—	4	2	no	—
321	C₂×C₈	—	4	2	no	—
322	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
323	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
324	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
325	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
326	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
327	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
328	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
329	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
330	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
331	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
332	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
333	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
334	C₄⋊C₄	#127	1	1	yes	characteristic
335	C₄⋊C₄	#127	1	1	yes	characteristic
336	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
337	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
338	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
339	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
340	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
341	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
342	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
343	C₄²	—	2	1	no	—
344	C₄²	—	2	1	no	—
345	C₄²	—	2	1	no	—
346	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
347	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
348	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
349	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
350	C₂³	—	2	1	no	—
351	C₂³	—	4	2	no	—
352	C₂³	—	4	4	no	—
353	C₂³	—	8	8	no	—
354	C₂³	—	8	4	no	—
355	C₂³	—	16	2	no	—
356	C₂³	—	16	2	no	—
357	C₂³	—	16	4	no	—
358	C₂³	—	16	4	no	—
359	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
360	Q₈	—	2	1	no	—
361	Q₈	—	4	4	no	—
362	Q₈	—	8	4	no	—
363	Q₈	—	8	4	no	—
364	Q₈	#492	1	2	yes	—
365	D₄	—	2	4	no	—
366	D₄	—	2	1	no	—
367	D₄	—	4	4	no	—
368	D₄	—	4	8	no	—
369	D₄	—	4	4	no	—
370	D₄	—	4	4	no	—
371	D₄	—	8	4	no	—
372	D₄	—	8	4	no	—
373	D₄	—	8	8	no	—
374	D₄	—	8	8	no	—
375	D₄	—	8	4	no	—
376	D₄	—	8	2	no	—
377	D₄	—	8	2	no	—
378	D₄	—	8	4	no	—
379	D₄	—	8	4	no	—
380	D₄	—	16	4	no	—
381	D₄	—	16	4	no	—
382	D₄	#492	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	—	2	1	no	—
384	C₂×C₄	—	2	4	no	—
385	C₂×C₄	—	2	2	no	—
386	C₂×C₄	—	2	2	no	—
387	C₂×C₄	—	2	1	no	—
388	C₂×C₄	—	2	1	no	—
389	C₂×C₄	—	4	2	no	—
390	C₂×C₄	—	4	2	no	—
391	C₂×C₄	—	4	2	no	—
392	C₂×C₄	—	8	8	no	—
393	C₂×C₄	—	8	2	no	—
394	C₂×C₄	—	8	2	no	—
395	C₂×C₄	—	8	2	no	—
396	C₂×C₄	—	16	2	no	—
397	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
398	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
399	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
400	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
401	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
402	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
403	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
404	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
405	C₈	—	2	4	no	—
406	C₈	—	2	4	no	—
407	C₈	—	4	2	no	—
408	C₈	—	4	2	no	—
409	C₈	—	4	2	no	—
410	C₈	—	8	2	no	—
411	C₈	#450	1	4	yes	—
412	C₈	#450	1	4	yes	—
413	C₂²	—	2	1	no	—
414	C₂²	—	2	1	no	—
415	C₂²	—	2	2	no	—
416	C₂²	—	4	1	no	—
417	C₂²	—	4	1	no	—
418	C₂²	—	8	4	no	—
419	C₂²	—	8	2	no	—
420	C₂²	—	8	2	no	—
421	C₂²	—	8	4	no	—
422	C₂²	—	8	2	no	—
423	C₂²	—	8	4	no	—
424	C₂²	—	32	4	no	—
425	C₂²	—	32	8	no	—
426	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
427	C₂²	#3208	1	2	yes	—
428	C₄	—	2	2	no	—
429	C₄	—	2	1	no	—
430	C₄	—	2	1	no	—
431	C₄	—	4	1	no	—
432	C₄	—	4	1	no	—
433	C₄	—	8	2	no	—
434	C₄	—	16	2	no	—
435	C₄	C₂×#450	1	2	yes	—
436	C₄	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
437	C₄	#3151	1	1	yes	characteristic
438	C₄	#3290	1	2	yes	—
439	C₄	#3292	1	2	yes	—
440	C₂	—	2	2	no	—
441	C₂	—	4	2	no	—
442	C₂	—	16	2	no	—
443	C₂	—	16	4	no	—
444	C₂	#25717	1	1	yes	characteristic
445	C₂	#25804	1	1	yes	characteristic
446	C₂	#25805	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2433
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#60647	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33222	C₂	semidirect
3. #19655	C₂	semidirect
4. C₂×#1706	C₂	semidirect
5. #18631	C₂	semidirect
6. #18621	C₂	semidirect
7. #10148	C₂	semidirect
8. #10146	C₂	semidirect
9. #9856	C₂	semidirect
10. #9773	C₂	semidirect
11. #8184	C₂	semidirect
14. #3227	C₂²	semidirect
15. #3206	C₂²	semidirect
16. C₂×#500	C₂²	semidirect
25. C₂×#492	C₂²	semidirect
26. C₂×#486	C₂²	semidirect
29. #1997	C₂²	semidirect
31. #1848	C₂²	semidirect
41. #1545	C₂²	semidirect
42. #1545	C₂²	semidirect
43. #1492	C₂²	semidirect
44. #1492	C₂²	semidirect
47. #1450	C₂²	semidirect
48. C₂×C₈²	C₂²	semidirect
49. #1278	C₂²	semidirect
50. #1278	C₂²	semidirect
171. #131	SD₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60647	2
#33222	2
#19655	2
C₂×#1706	2
#18631	2
#18621	2
#10148	2
#10146	2
#9856	2
#9773	2
#8184	2