Subgroups — #299279

Order 512.

1025 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 428 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60718	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#33190	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#19661	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#18646	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#18626	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10160	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10152	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9856	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9771	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8184	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3511	C₂²	1	2	yes	—
13	#3205	C₂²	1	2	yes	—
14	#3205	C₂²	1	2	yes	—
15	#3182	—	2	2	no	—
16	#3175	—	2	4	no	—
17	#3170	—	2	1	no	—
18	#3169	—	2	1	no	—
19	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#3147	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
23	#3141	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#472	—	2	2	no	—
26	#3061	—	2	2	no	—
27	#3038	C₂²	1	2	yes	—
28	#2951	—	2	2	no	—
29	C₄×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1978	—	2	2	no	—
31	#1965	C₂²	1	2	yes	—
32	#1848	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1721	—	2	2	no	—
34	#1712	—	2	1	no	—
35	#1709	—	2	1	no	—
36	#1706	—	2	4	no	—
37	#1628	—	2	4	no	—
38	#1625	—	2	4	no	—
39	#1624	—	2	4	no	—
40	#1622	—	2	4	no	—
41	#1549	C₂²	1	2	yes	—
42	#1548	C₂²	1	2	yes	—
43	#1492	C₂²	1	2	yes	—
44	#1492	C₂²	1	2	yes	—
45	#1476	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1476	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1450	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	#1278	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	#1278	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
52	C₂×#135	—	2	2	no	—
53	C₂²×SD₁₆	—	4	2	no	—
54	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
55	C₂×#131	D₄	1	2	yes	—
56	#556	—	2	2	no	—
57	#555	—	2	2	no	—
58	#554	—	2	2	no	—
59	#553	—	4	2	no	—
60	#548	—	4	2	no	—
61	#547	—	2	2	no	—
62	#542	—	2	4	no	—
63	#537	—	2	2	no	—
64	#533	—	2	2	no	—
65	#532	—	2	2	no	—
66	#532	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
69	#520	—	2	2	no	—
70	C₄×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#500	—	2	1	no	—
72	#500	—	2	1	no	—
73	#500	D₄	1	4	yes	—
74	#495	—	2	2	no	—
75	#494	D₄	1	1	yes	characteristic
76	#493	—	2	2	no	—
77	#493	—	2	2	no	—
78	#493	—	2	2	no	—
79	#493	—	2	1	no	—
80	#493	—	2	1	no	—
81	#493	D₄	1	1	yes	characteristic
82	#492	—	2	4	no	—
83	#492	—	2	4	no	—
84	#492	D₄	1	2	yes	—
85	#489	—	2	4	no	—
86	#487	—	2	2	no	—
87	#486	—	2	2	no	—
88	#486	—	2	4	no	—
89	#486	—	2	2	no	—
90	#486	—	2	2	no	—
91	#486	—	2	4	no	—
92	#472	—	4	8	no	—
93	#468	—	2	8	no	—
94	#467	—	2	4	no	—
95	#466	—	2	4	no	—
96	#460	—	2	2	no	—
97	#460	—	2	2	no	—
98	#459	—	2	2	no	—
99	#459	—	2	2	no	—
100	#459	—	2	4	no	—
101	#459	—	2	4	no	—
102	#447	—	4	2	no	—
103	#447	—	4	2	no	—
104	#440	—	2	8	no	—
105	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
106	C₄×D₈	—	2	4	no	—
107	#431	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	#431	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₂×#108	—	2	2	no	—
110	C₂×#107	—	2	2	no	—
111	#423	C₂³	1	2	yes	—
112	#418	—	2	2	no	—
113	#417	—	2	4	no	—
114	C₂×#102	—	4	2	no	—
115	C₂×#100	—	2	4	no	—
116	#405	—	2	2	no	—
117	#405	D₄	1	2	yes	—
118	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
119	C₄×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
121	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
124	#333	—	2	4	no	—
125	#332	—	2	4	no	—
126	Q₈⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
127	Q₈⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
128	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
129	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
130	D₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
131	D₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
132	#322	—	2	1	no	—
133	C₈²	—	2	2	no	—
134	C₈²	—	2	1	no	—
135	C₂×#41	—	2	2	no	—
136	C₂×#41	—	4	2	no	—
137	C₂×#41	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
140	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
141	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
142	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
143	#135	—	4	4	no	—
144	#135	—	4	4	no	—
145	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
147	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
148	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
149	C₂×SD₁₆	—	8	8	no	—
150	C₂×D₈	—	2	2	no	—
151	C₂×D₈	—	4	4	no	—
152	C₂×D₈	—	4	4	no	—
153	C₂×D₈	—	4	2	no	—
154	C₂×D₈	—	4	2	no	—
155	C₂×D₈	—	4	2	no	—
156	C₂×D₈	—	4	4	no	—
157	C₂×D₈	—	4	4	no	—
158	#131	—	2	4	no	—
159	#131	—	2	4	no	—
160	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
161	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
162	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
164	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
168	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
169	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
170	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
171	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	#127	—	2	2	no	—
173	#127	—	2	2	no	—
174	#127	—	2	2	no	—
175	#127	—	2	2	no	—
176	#127	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	#126	—	4	4	no	—
178	#125	—	4	2	no	—
179	#124	—	2	2	no	—
180	#124	—	4	2	no	—
181	#124	—	4	4	no	—
182	#123	—	4	4	no	—
183	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
184	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
185	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
186	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
187	#121	—	2	4	no	—
188	#121	—	2	2	no	—
189	#121	—	2	2	no	—
190	#121	—	4	2	no	—
191	#121	—	4	4	no	—
192	#121	—	4	2	no	—
193	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
194	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
195	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₄×D₄	—	2	1	no	—
198	C₄×D₄	—	2	1	no	—
199	C₄×D₄	—	2	4	no	—
200	C₄×D₄	—	2	2	no	—
201	C₄×D₄	—	2	2	no	—
202	C₄×D₄	—	4	2	no	—
203	C₄×D₄	—	4	4	no	—
204	C₄×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₄×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
206	#117	—	2	1	no	—
207	#117	—	4	2	no	—
208	#117	—	4	2	no	—
209	#117	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
213	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
214	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
215	#108	—	4	4	no	—
216	#107	—	2	4	no	—
217	#107	—	2	4	no	—
218	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
219	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
220	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
221	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
222	#103	—	2	8	no	—
223	#102	—	2	8	no	—
224	#102	—	4	8	no	—
225	#102	—	4	4	no	—
226	#102	—	4	4	no	—
227	#102	—	4	2	no	—
228	#102	—	4	2	no	—
229	#100	—	4	8	no	—
230	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
231	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
232	#97	—	2	2	no	—
233	#97	—	2	1	no	—
234	C₄×C₈	—	2	2	no	—
235	C₄×C₈	—	2	1	no	—
236	C₄×C₈	—	2	1	no	—
237	C₄×C₈	—	2	1	no	—
238	C₄×C₈	—	2	1	no	—
239	C₄×C₈	—	2	1	no	—
240	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
241	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
242	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
244	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂⁴	—	4	2	no	—
246	#41	—	2	2	no	—
247	#41	—	2	2	no	—
248	#41	—	4	4	no	—
249	#41	—	4	4	no	—
250	#41	—	16	4	no	—
251	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
252	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
253	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
254	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
255	C₂×Q₈	#127	1	1	yes	characteristic
256	C₂×D₄	—	2	1	no	—
257	C₂×D₄	—	2	2	no	—
258	C₂×D₄	—	2	2	no	—
259	C₂×D₄	—	2	2	no	—
260	C₂×D₄	—	4	2	no	—
261	C₂×D₄	—	4	4	no	—
262	C₂×D₄	—	4	2	no	—
263	C₂×D₄	—	4	2	no	—
264	C₂×D₄	—	4	2	no	—
265	C₂×D₄	—	4	2	no	—
266	C₂×D₄	—	4	2	no	—
267	C₂×D₄	—	4	2	no	—
268	C₂×D₄	—	4	4	no	—
269	C₂×D₄	—	4	4	no	—
270	C₂×D₄	—	8	4	no	—
271	C₂×D₄	—	8	4	no	—
272	C₂×D₄	#127	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
282	Q₁₆	—	4	4	no	—
283	SD₁₆	—	4	8	no	—
284	SD₁₆	—	8	16	no	—
285	SD₁₆	—	8	4	no	—
286	D₈	—	4	4	no	—
287	D₈	—	8	4	no	—
288	D₈	—	8	4	no	—
289	D₈	—	8	4	no	—
290	D₈	—	16	4	no	—
291	D₈	—	16	4	no	—
292	M₁₆	—	2	2	no	—
293	M₁₆	—	2	2	no	—
294	M₁₆	—	4	4	no	—
295	M₁₆	—	4	4	no	—
296	C₂×C₈	—	2	4	no	—
297	C₂×C₈	—	2	2	no	—
298	C₂×C₈	—	2	2	no	—
299	C₂×C₈	—	2	2	no	—
300	C₂×C₈	—	2	2	no	—
301	C₂×C₈	—	2	2	no	—
302	C₂×C₈	—	4	2	no	—
303	C₂×C₈	—	4	4	no	—
304	C₂×C₈	—	4	2	no	—
305	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
306	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
307	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
308	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
309	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
313	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
314	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
316	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
319	C₄⋊C₄	#127	1	1	yes	characteristic
320	C₄⋊C₄	#127	1	1	yes	characteristic
321	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
324	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
325	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
326	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
329	C₄²	—	2	1	no	—
330	C₄²	—	2	1	no	—
331	C₄²	—	2	1	no	—
332	C₄²	—	4	4	no	—
333	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
334	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
335	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
336	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
337	C₂³	—	2	1	no	—
338	C₂³	—	4	2	no	—
339	C₂³	—	8	2	no	—
340	C₂³	—	8	4	no	—
341	C₂³	—	16	2	no	—
342	C₂³	—	16	2	no	—
343	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
344	Q₈	—	2	1	no	—
345	Q₈	—	2	1	no	—
346	Q₈	—	4	4	no	—
347	Q₈	—	8	4	no	—
348	Q₈	—	8	4	no	—
349	D₄	—	2	1	no	—
350	D₄	—	2	1	no	—
351	D₄	—	4	2	no	—
352	D₄	—	4	4	no	—
353	D₄	—	4	4	no	—
354	D₄	—	4	4	no	—
355	D₄	—	8	4	no	—
356	D₄	—	8	4	no	—
357	D₄	—	8	4	no	—
358	D₄	—	8	2	no	—
359	D₄	—	8	2	no	—
360	D₄	—	8	4	no	—
361	D₄	—	8	4	no	—
362	D₄	—	8	4	no	—
363	D₄	—	16	4	no	—
364	C₂×C₄	—	2	2	no	—
365	C₂×C₄	—	2	2	no	—
366	C₂×C₄	—	2	1	no	—
367	C₂×C₄	—	2	1	no	—
368	C₂×C₄	—	2	1	no	—
369	C₂×C₄	—	4	2	no	—
370	C₂×C₄	—	4	2	no	—
371	C₂×C₄	—	4	2	no	—
372	C₂×C₄	—	4	2	no	—
373	C₂×C₄	—	4	4	no	—
374	C₂×C₄	—	8	2	no	—
375	C₂×C₄	—	8	2	no	—
376	C₂×C₄	—	16	4	no	—
377	C₂×C₄	—	16	2	no	—
378	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
386	C₈	—	2	4	no	—
387	C₈	—	4	2	no	—
388	C₈	—	4	2	no	—
389	C₈	—	4	2	no	—
390	C₈	—	4	2	no	—
391	C₈	—	8	2	no	—
392	C₈	#449	1	4	yes	—
393	C₈	#449	1	4	yes	—
394	C₂²	—	2	1	no	—
395	C₂²	—	2	1	no	—
396	C₂²	—	4	1	no	—
397	C₂²	—	4	1	no	—
398	C₂²	—	4	1	no	—
399	C₂²	—	8	2	no	—
400	C₂²	—	8	2	no	—
401	C₂²	—	8	2	no	—
402	C₂²	—	16	2	no	—
403	C₂²	—	16	2	no	—
404	C₂²	—	16	2	no	—
405	C₂²	—	32	4	no	—
406	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
407	C₂²	#3207	1	2	yes	—
408	C₄	—	2	1	no	—
409	C₄	—	2	1	no	—
410	C₄	—	4	1	no	—
411	C₄	—	4	1	no	—
412	C₄	—	4	1	no	—
413	C₄	—	8	2	no	—
414	C₄	—	8	4	no	—
415	C₄	C₂×#449	1	2	yes	—
416	C₄	#3147	1	1	yes	characteristic
417	C₄	#3151	1	1	yes	characteristic
418	C₄	#3290	1	2	yes	—
419	C₄	#3292	1	2	yes	—
420	C₂	—	2	2	no	—
421	C₂	—	8	1	no	—
422	C₂	—	16	2	no	—
423	C₂	—	32	2	no	—
424	C₂	#25720	1	1	yes	characteristic
425	C₂	#25803	1	1	yes	characteristic
426	C₂	#25805	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2433
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #60718	C₂	semidirect
2. #33190	C₂	semidirect
3. #19661	C₂	semidirect
4. C₂×#1706	C₂	semidirect
5. #18646	C₂	semidirect
6. #18626	C₂	semidirect
7. #10160	C₂	semidirect
8. #10152	C₂	semidirect
9. #9856	C₂	semidirect
10. #9771	C₂	semidirect
11. #8184	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60718	2
#33190	2
#19661	2
C₂×#1706	2
#18646	2
#18626	2
#10160	2
#10152	2
#9856	2
#9771	2
#8184	2