Subgroups — #299876

Order 512.

924 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 396 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#62416	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#33242	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#25829	C₂	1	2	yes	maximal
4	#19633	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#19272	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#18633	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10297	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10163	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9845	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9798	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#104	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	#3503	C₂²	1	2	yes	—
13	#3395	—	2	2	no	—
14	D₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
15	D₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
16	#3209	—	2	2	no	—
17	#3209	C₂²	1	2	yes	—
18	#3209	C₂²	1	2	yes	—
19	#3170	—	2	1	no	—
20	#3170	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#3165	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#494	—	2	1	no	—
24	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
26	#3079	C₂²	1	2	yes	—
27	C₈×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#2862	C₂²	1	2	yes	—
29	#2061	—	2	4	no	—
30	#1997	C₂²	1	2	yes	—
31	#1994	C₂²	1	2	yes	—
32	#1969	—	2	4	no	—
33	#1860	—	2	4	no	—
34	C₄×#104	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1723	—	2	2	no	—
37	#1713	—	2	1	no	—
38	#1707	—	2	1	no	—
39	#1676	—	2	2	no	—
40	#1675	—	2	2	no	—
41	#1645	—	2	4	no	—
42	#1644	—	2	4	no	—
43	#1567	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1548	C₂²	1	2	yes	—
45	#1548	C₂²	1	2	yes	—
46	#1493	C₂²	1	2	yes	—
47	#1476	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₈×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	#1278	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	#1276	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
52	C₂²×Q₁₆	D₄	1	4	yes	—
53	Q₈²	—	2	2	no	—
54	#557	—	2	2	no	—
55	#554	—	2	2	no	—
56	#554	—	4	2	no	—
57	D₄×Q₈	—	2	4	no	—
58	D₄×Q₈	—	2	2	no	—
59	#544	—	2	2	no	—
60	#544	—	4	2	no	—
61	#533	—	2	2	no	—
62	#533	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
66	#520	—	2	2	no	—
67	C₄×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#501	—	4	2	no	—
69	#500	—	2	2	no	—
70	#500	—	2	2	no	—
71	#500	—	2	1	no	—
72	#500	—	2	1	no	—
73	#500	D₄	1	1	yes	characteristic
74	#498	—	2	2	no	—
75	#494	—	2	4	no	—
76	#494	—	2	2	no	—
77	#494	—	2	2	no	—
78	#494	—	2	2	no	—
79	#494	—	2	1	no	—
80	#494	—	2	1	no	—
81	#494	D₄	1	1	yes	characteristic
82	#487	—	2	2	no	—
83	#487	—	2	2	no	—
84	#487	—	2	4	no	—
85	#487	—	4	2	no	—
86	#487	D₄	1	2	yes	—
87	#477	—	2	2	no	—
88	#476	—	2	2	no	—
89	#475	—	2	2	no	—
90	#474	—	2	2	no	—
91	#467	—	2	4	no	—
92	#467	—	2	2	no	—
93	#462	—	2	8	no	—
94	#462	—	2	4	no	—
95	#462	—	2	4	no	—
96	#451	—	2	8	no	—
97	#451	—	2	4	no	—
98	#451	—	4	2	no	—
99	C₈×Q₈	D₄	1	2	yes	—
100	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
101	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
102	C₈×D₄	—	2	2	no	—
103	C₈×D₄	D₄	1	2	yes	—
104	#431	—	2	1	no	—
105	#431	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	#431	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	#428	—	2	4	no	—
108	#428	—	2	2	no	—
109	C₂×#107	—	2	2	no	—
110	#423	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×#104	D₄	1	2	yes	—
112	#417	—	2	2	no	—
113	C₂×#103	—	2	4	no	—
114	C₄×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
116	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	#391	—	2	4	no	—
120	#391	—	4	2	no	—
121	#382	—	2	4	no	—
122	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
123	#343	—	2	4	no	—
124	#339	—	2	4	no	—
125	#339	D₄	1	2	yes	—
126	#335	—	2	2	no	—
127	#333	—	2	4	no	—
128	#333	—	2	4	no	—
129	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
130	Q₈⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
131	D₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
132	#322	—	2	1	no	—
133	C₈²	—	2	1	no	—
134	C₂×#41	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
136	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
137	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
139	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
142	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
143	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
144	C₂×Q₁₆	—	8	8	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
161	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
162	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
163	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	#125	—	2	2	no	—
166	#125	—	4	2	no	—
167	#125	—	4	4	no	—
168	#125	—	4	2	no	—
169	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
170	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
171	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
172	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
173	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
174	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
175	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
176	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
177	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
178	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
179	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
180	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
181	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₄×D₄	—	2	1	no	—
184	C₄×D₄	—	2	1	no	—
185	C₄×D₄	—	4	4	no	—
186	C₄×D₄	—	4	2	no	—
187	C₄×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₄×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	#117	—	2	1	no	—
190	#117	—	2	2	no	—
191	#117	—	4	2	no	—
192	#117	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
200	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
202	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
204	#107	—	2	2	no	—
205	#107	—	4	4	no	—
206	#107	—	4	2	no	—
207	#107	—	4	2	no	—
208	#107	—	4	2	no	—
209	#106	—	4	4	no	—
210	#106	—	4	2	no	—
211	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
212	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
213	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
214	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
215	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
216	#104	Q₁₆	1	8	yes	complemented
217	#103	—	2	8	no	—
218	#103	—	2	4	no	—
219	#103	—	4	4	no	—
220	#103	—	4	8	no	—
221	#103	—	4	2	no	—
222	#102	—	4	2	no	—
223	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
224	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
225	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
226	#97	—	2	1	no	—
227	C₄×C₈	—	2	2	no	—
228	C₄×C₈	—	2	1	no	—
229	C₄×C₈	—	2	1	no	—
230	C₄×C₈	—	2	1	no	—
231	C₄×C₈	—	2	1	no	—
232	C₄×C₈	—	4	4	no	—
233	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
234	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
237	#95	—	4	8	no	—
238	#41	—	2	2	no	—
239	#41	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
240	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
241	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
242	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
243	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
244	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
245	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
246	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
247	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
248	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
249	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
250	C₂×Q₈	#127	1	1	yes	characteristic
251	C₂×D₄	—	2	1	no	—
252	C₂×D₄	#127	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
263	Q₁₆	—	4	8	no	—
264	Q₁₆	—	4	4	no	—
265	Q₁₆	—	8	4	no	—
266	Q₁₆	—	8	8	no	—
267	Q₁₆	—	16	4	no	—
268	M₁₆	—	2	2	no	—
269	M₁₆	—	4	4	no	—
270	M₁₆	C₂×Q₁₆	1	4	yes	complemented
271	C₂×C₈	—	2	2	no	—
272	C₂×C₈	—	2	4	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	2	no	—
275	C₂×C₈	—	2	2	no	—
276	C₂×C₈	—	4	2	no	—
277	C₂×C₈	—	4	4	no	—
278	C₂×C₈	—	4	2	no	—
279	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
280	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
281	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
301	C₄⋊C₄	#127	1	1	yes	characteristic
302	C₄⋊C₄	#127	1	1	yes	characteristic
303	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
308	C₄²	—	2	1	no	—
309	C₄²	—	2	1	no	—
310	C₄²	—	2	1	no	—
311	C₄²	—	2	2	no	—
312	C₄²	—	4	2	no	—
313	C₄²	—	4	2	no	—
314	C₄²	—	4	4	no	—
315	C₄²	—	4	2	no	—
316	C₄²	C₂×Q₁₆	1	4	yes	complemented
317	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
318	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
319	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
320	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
321	C₂³	—	2	1	no	—
322	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
323	Q₈	—	2	1	no	—
324	Q₈	—	4	8	no	—
325	Q₈	—	4	4	no	—
326	Q₈	—	4	4	no	—
327	Q₈	—	8	4	no	—
328	Q₈	—	8	4	no	—
329	Q₈	—	16	2	no	—
330	Q₈	—	16	4	no	—
331	Q₈	#494	1	2	yes	—
332	D₄	—	2	4	no	—
333	D₄	—	2	1	no	—
334	D₄	#494	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	—	2	1	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	1	no	—
340	C₂×C₄	—	2	1	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	8	4	no	—
350	C₂×C₄	—	8	4	no	—
351	C₂×C₄	—	8	2	no	—
352	C₂×C₄	—	16	4	no	—
353	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
361	C₈	—	2	2	no	—
362	C₈	—	2	4	no	—
363	C₈	—	4	2	no	—
364	C₈	—	4	2	no	—
365	C₈	—	4	2	no	—
366	C₈	—	8	2	no	—
367	C₈	#455	1	4	yes	—
368	C₂²	—	2	1	no	—
369	C₂²	—	2	1	no	—
370	C₂²	—	2	2	no	—
371	C₂²	—	4	1	no	—
372	C₂²	—	4	1	no	—
373	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	D₄×Q₁₆	1	2	yes	—
375	C₄	—	2	1	no	—
376	C₄	—	2	2	no	—
377	C₄	—	2	1	no	—
378	C₄	—	4	4	no	—
379	C₄	—	4	1	no	—
380	C₄	—	4	1	no	—
381	C₄	—	8	4	no	—
382	C₄	—	8	2	no	—
383	C₄	—	8	2	no	—
384	C₄	—	16	2	no	—
385	C₄	C₂×#455	1	2	yes	—
386	C₄	C₂×#494	1	1	yes	characteristic
387	C₄	#3156	1	1	yes	characteristic
388	C₄	D₄×Q₁₆	1	2	yes	—
389	C₄	#3290	1	2	yes	—
390	C₂	—	2	2	no	—
391	C₂	—	4	2	no	—
392	C₂	#25744	1	1	yes	characteristic
393	C₂	#25780	1	1	yes	characteristic
394	C₂	#25803	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2433
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#41	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33242	C₂	semidirect
4. #19633	C₂	semidirect
7. #10297	C₂	semidirect
8. #10163	C₂	semidirect
9. #9845	C₂	semidirect
10. #9798	C₂	semidirect
216. #104	Q₁₆	semidirect
270. M₁₆	C₂×Q₁₆	semidirect
316. C₄²	C₂×Q₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#62416	2
#33242	2
#25829	2
#19633	2
#19272	2
#18633	2
#10297	2
#10163	2
#9845	2
#9798	2
C₈×#104	2