Subgroups — #299887

Order 512.

1168 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 443 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#62471	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#33241	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#25745	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#19629	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#19267	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#18640	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10284	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10150	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9844	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9799	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#104	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3499	C₂²	1	2	yes	—
13	Q₈×D₈	—	2	2	no	—
14	#3334	—	2	2	no	—
15	#3334	—	2	4	no	—
16	#3226	—	2	2	no	—
17	#3226	C₂²	1	2	yes	—
18	#3205	C₂²	1	2	yes	—
19	#3169	—	2	1	no	—
20	#3169	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#500	—	2	1	no	—
22	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#3151	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
26	#3038	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#454	—	2	4	no	—
28	C₈×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#2858	C₂²	1	2	yes	—
30	#2003	—	2	4	no	—
31	#1970	—	2	4	no	—
32	#1966	C₂²	1	2	yes	—
33	#1962	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄×#104	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1721	—	2	2	no	—
37	#1712	—	2	1	no	—
38	#1706	—	2	1	no	—
39	#1668	—	2	2	no	—
40	#1667	—	2	2	no	—
41	#1627	—	2	4	no	—
42	#1625	—	2	4	no	—
43	#1567	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1546	C₂²	1	2	yes	—
45	#1545	C₂²	1	2	yes	—
46	#1492	C₂²	1	2	yes	—
47	#1476	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₈×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	#1278	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	#1276	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	2	no	—
52	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
53	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
54	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
55	D₄×Q₈	—	2	2	no	—
56	D₄×Q₈	—	2	2	no	—
57	#547	—	2	2	no	—
58	#547	—	2	4	no	—
59	#547	—	2	2	no	—
60	#547	—	4	2	no	—
61	#536	—	2	2	no	—
62	#536	—	4	2	no	—
63	#532	—	2	2	no	—
64	#532	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#124	—	2	4	no	—
69	C₄×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#500	—	2	4	no	—
71	#500	—	2	2	no	—
72	#500	—	2	2	no	—
73	#500	—	2	1	no	—
74	#500	—	2	1	no	—
75	#500	D₄	1	1	yes	characteristic
76	#496	—	4	2	no	—
77	#493	—	2	2	no	—
78	#493	—	2	2	no	—
79	#493	—	2	2	no	—
80	#493	—	2	1	no	—
81	#493	—	2	1	no	—
82	#493	D₄	1	1	yes	characteristic
83	#492	—	2	2	no	—
84	#486	—	2	2	no	—
85	#486	—	2	2	no	—
86	#486	—	2	4	no	—
87	#486	—	4	2	no	—
88	#486	D₄	1	2	yes	—
89	#480	—	2	8	no	—
90	#480	—	2	4	no	—
91	#474	—	2	8	no	—
92	#474	—	2	4	no	—
93	#466	—	2	4	no	—
94	#466	—	2	2	no	—
95	#460	—	2	2	no	—
96	#460	—	2	2	no	—
97	#459	—	2	2	no	—
98	#459	—	2	2	no	—
99	#459	—	2	4	no	—
100	#454	—	4	16	no	—
101	#447	—	4	2	no	—
102	C₈×Q₈	D₄	1	2	yes	—
103	C₄×D₈	—	2	4	no	—
104	C₄×D₈	—	2	2	no	—
105	C₈×D₄	—	2	2	no	—
106	C₈×D₄	D₄	1	2	yes	—
107	#431	—	2	1	no	—
108	#431	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	#431	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂×#107	—	2	4	no	—
111	C₂×#107	D₄	1	4	yes	—
112	#423	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×#104	—	2	4	no	—
114	C₂×#104	D₄	1	2	yes	—
115	#418	—	2	2	no	—
116	C₂×#102	—	2	4	no	—
117	C₂×#101	—	2	4	no	—
118	C₄×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
120	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
123	#390	—	2	4	no	—
124	#390	—	4	2	no	—
125	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
126	#339	D₄	1	2	yes	—
127	#335	—	2	2	no	—
128	#332	—	2	4	no	—
129	#331	—	2	4	no	—
130	Q₈⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
131	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
132	D₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
133	#322	—	2	1	no	—
134	C₈²	—	2	1	no	—
135	2₋¹⁺⁴	—	4	8	no	—
136	2₋¹⁺⁴	—	8	4	no	—
137	C₂×#41	—	2	2	no	—
138	C₂×#41	—	4	2	no	—
139	C₂×#41	—	4	4	no	—
140	C₂×#41	—	4	2	no	—
141	C₂×#41	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
144	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
145	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
146	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
147	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
148	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
149	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
150	AGL(1,ℤ/8)	—	8	4	no	—
151	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
152	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
153	C₂×D₈	—	2	2	no	—
154	C₂×D₈	—	4	4	no	—
155	C₂×D₈	—	4	8	no	—
156	C₂×D₈	—	4	4	no	—
157	C₂×D₈	—	4	2	no	—
158	C₂×D₈	—	4	2	no	—
159	C₂×D₈	—	4	2	no	—
160	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
161	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
166	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
167	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
168	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
169	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
170	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
171	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
172	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	#127	—	2	2	no	—
174	#127	—	2	2	no	—
175	#127	—	2	2	no	—
176	#127	—	2	2	no	—
177	#127	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	#124	—	2	2	no	—
179	#124	—	4	2	no	—
180	#124	—	4	8	no	—
181	#124	—	8	4	no	—
182	#123	—	4	4	no	—
183	#123	—	4	4	no	—
184	#123	—	4	4	no	—
185	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
186	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
187	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
188	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
189	#121	—	2	4	no	—
190	#121	—	2	2	no	—
191	#121	—	2	2	no	—
192	#121	—	4	2	no	—
193	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₄×D₄	—	2	1	no	—
196	C₄×D₄	—	2	1	no	—
197	C₄×D₄	—	2	4	no	—
198	C₄×D₄	—	2	2	no	—
199	C₄×D₄	—	2	2	no	—
200	C₄×D₄	—	4	2	no	—
201	C₄×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₄×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
203	#117	—	2	1	no	—
204	#117	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
210	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
211	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
212	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
213	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
214	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
215	#107	—	2	8	no	—
216	#107	—	2	2	no	—
217	#107	—	2	4	no	—
218	#107	—	2	4	no	—
219	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
220	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
221	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
222	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
223	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
224	#104	—	4	8	no	—
225	#104	D₈	1	8	yes	complemented
226	#102	—	2	8	no	—
227	#102	—	2	4	no	—
228	#102	—	4	8	no	—
229	#102	—	4	4	no	—
230	#102	—	4	2	no	—
231	#102	—	4	2	no	—
232	#101	—	4	8	no	—
233	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
234	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
235	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
236	#97	—	2	1	no	—
237	C₄×C₈	—	2	2	no	—
238	C₄×C₈	—	2	1	no	—
239	C₄×C₈	—	2	1	no	—
240	C₄×C₈	—	2	1	no	—
241	C₄×C₈	—	2	1	no	—
242	C₄×C₈	—	4	4	no	—
243	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
244	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
247	C₂⁴	—	4	2	no	—
248	#41	—	2	2	no	—
249	#41	—	4	4	no	—
250	#41	—	4	4	no	—
251	#41	—	8	8	no	—
252	#41	—	8	16	no	—
253	#41	—	8	4	no	—
254	#41	—	8	4	no	—
255	#41	C₂×D₈	1	4	yes	—
256	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
257	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
258	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
259	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
260	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
261	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
262	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
263	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
264	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
265	C₂×Q₈	#127	1	1	yes	characteristic
266	C₂×D₄	—	2	1	no	—
267	C₂×D₄	—	2	2	no	—
268	C₂×D₄	—	2	2	no	—
269	C₂×D₄	—	2	2	no	—
270	C₂×D₄	—	4	8	no	—
271	C₂×D₄	—	4	4	no	—
272	C₂×D₄	—	4	2	no	—
273	C₂×D₄	—	4	2	no	—
274	C₂×D₄	—	4	2	no	—
275	C₂×D₄	—	4	2	no	—
276	C₂×D₄	—	4	2	no	—
277	C₂×D₄	—	4	2	no	—
278	C₂×D₄	—	4	2	no	—
279	C₂×D₄	—	4	4	no	—
280	C₂×D₄	—	4	4	no	—
281	C₂×D₄	—	8	4	no	—
282	C₂×D₄	#127	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
294	SD₁₆	—	8	8	no	—
295	SD₁₆	—	8	4	no	—
296	D₈	—	4	4	no	—
297	D₈	—	8	8	no	—
298	D₈	—	8	4	no	—
299	D₈	—	8	4	no	—
300	D₈	—	8	4	no	—
301	D₈	—	16	4	no	—
302	M₁₆	—	2	2	no	—
303	M₁₆	—	4	4	no	—
304	M₁₆	C₂×D₈	1	4	yes	—
305	C₂×C₈	—	2	2	no	—
306	C₂×C₈	—	2	4	no	—
307	C₂×C₈	—	2	2	no	—
308	C₂×C₈	—	2	2	no	—
309	C₂×C₈	—	2	2	no	—
310	C₂×C₈	—	4	2	no	—
311	C₂×C₈	—	4	4	no	—
312	C₂×C₈	—	4	2	no	—
313	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
314	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
315	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
316	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
317	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
319	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
320	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
321	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
322	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
323	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
324	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
325	C₄⋊C₄	#127	1	1	yes	characteristic
326	C₄⋊C₄	#127	1	1	yes	characteristic
327	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
329	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
330	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
331	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
332	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
333	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
334	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
335	C₄²	—	2	1	no	—
336	C₄²	—	2	1	no	—
337	C₄²	—	2	1	no	—
338	C₄²	—	2	2	no	—
339	C₄²	—	4	2	no	—
340	C₄²	—	4	2	no	—
341	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
342	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
343	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
344	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
345	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
346	C₂³	—	2	1	no	—
347	C₂³	—	4	2	no	—
348	C₂³	—	8	4	no	—
349	C₂³	—	8	4	no	—
350	C₂³	—	8	2	no	—
351	C₂³	—	8	4	no	—
352	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
353	Q₈	—	2	1	no	—
354	Q₈	—	4	4	no	—
355	Q₈	—	8	8	no	—
356	Q₈	—	8	2	no	—
357	Q₈	—	8	2	no	—
358	Q₈	—	8	4	no	—
359	Q₈	#493	1	2	yes	—
360	D₄	—	2	4	no	—
361	D₄	—	2	1	no	—
362	D₄	—	4	4	no	—
363	D₄	—	4	4	no	—
364	D₄	—	4	4	no	—
365	D₄	—	8	4	no	—
366	D₄	—	8	8	no	—
367	D₄	—	8	4	no	—
368	D₄	—	8	2	no	—
369	D₄	—	8	2	no	—
370	D₄	—	8	4	no	—
371	D₄	—	8	4	no	—
372	D₄	—	8	4	no	—
373	D₄	—	16	2	no	—
374	D₄	#493	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	—	2	1	no	—
376	C₂×C₄	—	2	2	no	—
377	C₂×C₄	—	2	4	no	—
378	C₂×C₄	—	2	2	no	—
379	C₂×C₄	—	2	1	no	—
380	C₂×C₄	—	2	1	no	—
381	C₂×C₄	—	2	4	no	—
382	C₂×C₄	—	4	2	no	—
383	C₂×C₄	—	4	2	no	—
384	C₂×C₄	—	4	2	no	—
385	C₂×C₄	—	4	2	no	—
386	C₂×C₄	—	4	4	no	—
387	C₂×C₄	—	4	2	no	—
388	C₂×C₄	—	4	8	no	—
389	C₂×C₄	—	8	8	no	—
390	C₂×C₄	—	8	8	no	—
391	C₂×C₄	—	8	2	no	—
392	C₂×C₄	—	8	2	no	—
393	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
395	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
396	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
397	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
398	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
399	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
400	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
401	C₈	—	2	2	no	—
402	C₈	—	2	4	no	—
403	C₈	—	4	2	no	—
404	C₈	—	4	2	no	—
405	C₈	—	4	2	no	—
406	C₈	—	8	2	no	—
407	C₈	#454	1	4	yes	complemented
408	C₂²	—	2	1	no	—
409	C₂²	—	2	1	no	—
410	C₂²	—	2	2	no	—
411	C₂²	—	4	1	no	—
412	C₂²	—	4	1	no	—
413	C₂²	—	8	2	no	—
414	C₂²	—	8	2	no	—
415	C₂²	—	8	2	no	—
416	C₂²	—	16	8	no	—
417	C₂²	—	16	2	no	—
418	C₂²	—	16	2	no	—
419	C₂²	—	16	2	no	—
420	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
421	C₂²	D₄×D₈	1	2	yes	—
422	C₄	—	2	1	no	—
423	C₄	—	2	2	no	—
424	C₄	—	2	1	no	—
425	C₄	—	4	4	no	—
426	C₄	—	4	1	no	—
427	C₄	—	4	1	no	—
428	C₄	—	8	4	no	—
429	C₄	—	8	2	no	—
430	C₄	C₂×#454	1	2	yes	—
431	C₄	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
432	C₄	#3155	1	1	yes	characteristic
433	C₄	D₄×D₈	1	2	yes	—
434	C₄	#3290	1	2	yes	—
435	C₂	—	2	2	no	—
436	C₂	—	4	2	no	—
437	C₂	—	16	2	no	—
438	C₂	—	32	2	no	—
439	C₂	#25745	1	1	yes	characteristic
440	C₂	#25779	1	1	yes	characteristic
441	C₂	#25803	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2433
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #62471	C₂	semidirect
2. #33241	C₂	semidirect
3. #25745	C₂	semidirect
4. #19629	C₂	semidirect
5. #19267	C₂	semidirect
6. #18640	C₂	semidirect
7. #10284	C₂	semidirect
8. #10150	C₂	semidirect
9. #9844	C₂	semidirect
10. #9799	C₂	semidirect
11. C₈×#104	C₂	semidirect
225. #104	D₈	semidirect
407. C₈	#454	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#62471	2
#33241	2
#25745	2
#19629	2
#19267	2
#18640	2
#10284	2
#10150	2
#9844	2
#9799	2
C₈×#104	2