Subgroups — #299899

Order 512.

1120 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 427 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#62471	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#33312	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#25746	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#19630	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#19271	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#18650	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10289	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10174	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9844	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9799	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#104	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3499	C₂²	1	2	yes	—
13	Q₈×D₈	—	2	2	no	—
14	#3334	—	2	2	no	—
15	#3334	—	2	4	no	—
16	#3226	—	2	2	no	—
17	#3226	C₂²	1	2	yes	—
18	#3226	C₂²	1	2	yes	—
19	#3169	—	2	1	no	—
20	#3169	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#500	—	2	1	no	—
22	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#3152	C₂²	1	2	yes	—
26	#3039	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#456	—	2	4	no	—
28	C₈×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#2868	C₂²	1	2	yes	—
30	#2005	—	2	4	no	—
31	#1966	C₂²	1	2	yes	—
32	#1962	C₂²	1	2	yes	—
33	#1845	—	2	4	no	—
34	C₄×#104	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1722	—	2	2	no	—
37	#1713	—	2	1	no	—
38	#1706	—	2	1	no	—
39	#1674	—	2	2	no	—
40	#1673	—	2	2	no	—
41	#1649	—	2	4	no	—
42	#1647	—	2	4	no	—
43	#1567	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1546	C₂²	1	2	yes	—
45	#1546	C₂²	1	2	yes	—
46	#1492	C₂²	1	2	yes	—
47	#1476	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₈×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	#1278	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	#1276	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	2	no	—
52	C₂×#137	—	2	2	no	—
53	C₂×#137	—	2	4	no	—
54	D₄×Q₈	—	2	2	no	—
55	D₄×Q₈	—	2	2	no	—
56	#547	—	2	2	no	—
57	#547	—	2	4	no	—
58	#547	—	2	2	no	—
59	#547	—	4	2	no	—
60	#536	—	2	2	no	—
61	#536	—	4	2	no	—
62	#532	—	2	2	no	—
63	#532	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₄×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	#500	—	2	4	no	—
70	#500	—	2	2	no	—
71	#500	—	2	2	no	—
72	#500	—	2	2	no	—
73	#500	—	2	1	no	—
74	#500	—	2	1	no	—
75	#500	—	2	4	no	—
76	#500	—	2	2	no	—
77	#500	—	2	1	no	—
78	#500	—	2	1	no	—
79	#500	—	4	2	no	—
80	#500	D₄	1	1	yes	characteristic
81	#497	—	4	2	no	—
82	#494	—	2	2	no	—
83	#493	D₄	1	1	yes	characteristic
84	#492	—	2	2	no	—
85	#486	—	2	2	no	—
86	#486	—	2	2	no	—
87	#486	D₄	1	2	yes	—
88	#480	—	2	8	no	—
89	#480	—	2	4	no	—
90	#480	—	4	2	no	—
91	#474	—	2	8	no	—
92	#474	—	2	4	no	—
93	#474	—	2	4	no	—
94	#466	—	2	4	no	—
95	#466	—	2	2	no	—
96	#462	—	2	2	no	—
97	#462	—	2	2	no	—
98	#461	—	2	2	no	—
99	#461	—	2	2	no	—
100	#456	—	4	16	no	—
101	C₈×Q₈	D₄	1	2	yes	—
102	C₄×D₈	—	2	4	no	—
103	C₄×D₈	—	2	2	no	—
104	C₈×D₄	—	2	2	no	—
105	C₈×D₄	D₄	1	2	yes	—
106	#431	—	2	1	no	—
107	#431	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	#431	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₂×#107	—	2	4	no	—
110	C₂×#107	—	2	2	no	—
111	C₂×#107	—	2	4	no	—
112	C₂×#107	D₄	1	4	yes	—
113	#423	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×#104	—	2	4	no	—
115	C₂×#104	D₄	1	2	yes	—
116	#419	—	2	2	no	—
117	C₂×#101	—	2	4	no	—
118	C₄×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
121	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
123	#384	—	2	4	no	—
124	#384	—	4	2	no	—
125	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
126	#339	D₄	1	2	yes	—
127	#335	—	2	2	no	—
128	#332	—	2	4	no	—
129	#332	—	2	4	no	—
130	Q₈⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
131	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
132	D₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
133	#322	—	2	1	no	—
134	C₈²	—	2	1	no	—
135	2₋¹⁺⁴	—	4	8	no	—
136	2₋¹⁺⁴	—	8	4	no	—
137	C₂×#41	—	2	2	no	—
138	C₂×#41	—	4	2	no	—
139	C₂×#41	—	4	4	no	—
140	C₂×#41	—	4	2	no	—
141	C₂×#41	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
145	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
146	#137	—	4	8	no	—
147	#137	—	4	8	no	—
148	#137	—	8	4	no	—
149	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
150	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
151	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
152	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
153	C₂×D₈	—	2	2	no	—
154	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
155	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
161	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
162	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
163	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
164	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
165	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
166	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
167	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
168	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
169	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
170	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
171	C₄⋊Q₈	—	8	4	no	—
172	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	#127	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	#124	—	2	2	no	—
175	#124	—	4	2	no	—
176	#123	—	4	4	no	—
177	#123	—	4	4	no	—
178	#123	—	4	4	no	—
179	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
180	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
181	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
182	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
183	#121	—	2	4	no	—
184	#121	—	2	2	no	—
185	#121	—	2	2	no	—
186	#121	—	4	2	no	—
187	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₄×D₄	—	2	1	no	—
190	C₄×D₄	—	2	1	no	—
191	C₄×D₄	—	2	4	no	—
192	C₄×D₄	—	2	2	no	—
193	C₄×D₄	—	2	2	no	—
194	C₄×D₄	—	4	2	no	—
195	C₄×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₄×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
197	#117	—	2	1	no	—
198	#117	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
206	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
207	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
208	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
209	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
210	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
211	#107	—	2	8	no	—
212	#107	—	2	2	no	—
213	#107	—	2	4	no	—
214	#107	—	2	4	no	—
215	#107	—	4	8	no	—
216	#107	—	4	4	no	—
217	#107	—	4	2	no	—
218	#107	—	4	2	no	—
219	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
220	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
221	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
222	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
223	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
224	#104	—	4	8	no	—
225	#104	D₈	1	8	yes	complemented
226	#103	—	4	2	no	—
227	#103	—	4	2	no	—
228	#102	—	2	8	no	—
229	#102	—	2	4	no	—
230	#102	—	4	4	no	—
231	#101	—	4	8	no	—
232	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
233	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
234	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
235	#97	—	2	1	no	—
236	C₄×C₈	—	2	8	no	—
237	C₄×C₈	—	2	2	no	—
238	C₄×C₈	—	2	1	no	—
239	C₄×C₈	—	2	1	no	—
240	C₄×C₈	—	2	1	no	—
241	C₄×C₈	—	2	1	no	—
242	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
243	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
246	#41	—	2	2	no	—
247	#41	—	4	4	no	—
248	#41	—	4	4	no	—
249	#41	—	8	8	no	—
250	#41	—	8	16	no	—
251	#41	—	8	4	no	—
252	#41	—	8	4	no	—
253	#41	C₂×D₈	1	4	yes	—
254	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
255	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
256	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
257	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
258	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
259	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
260	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
261	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
262	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
263	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
264	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
265	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
266	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
267	C₂×Q₈	#127	1	1	yes	characteristic
268	C₂×D₄	—	2	1	no	—
269	C₂×D₄	—	2	2	no	—
270	C₂×D₄	—	2	2	no	—
271	C₂×D₄	—	2	2	no	—
272	C₂×D₄	—	4	4	no	—
273	C₂×D₄	—	4	2	no	—
274	C₂×D₄	#127	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
277	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
281	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
283	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
284	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
287	Q₁₆	—	8	8	no	—
288	Q₁₆	—	8	4	no	—
289	SD₁₆	—	8	8	no	—
290	SD₁₆	—	8	4	no	—
291	D₈	—	4	4	no	—
292	M₁₆	—	2	2	no	—
293	M₁₆	—	4	4	no	—
294	M₁₆	C₂×D₈	1	4	yes	—
295	C₂×C₈	—	2	4	no	—
296	C₂×C₈	—	2	2	no	—
297	C₂×C₈	—	2	2	no	—
298	C₂×C₈	—	2	4	no	—
299	C₂×C₈	—	2	2	no	—
300	C₂×C₈	—	2	2	no	—
301	C₂×C₈	—	4	4	no	—
302	C₂×C₈	—	4	2	no	—
303	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
304	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
305	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
306	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
307	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
309	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
312	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
313	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
314	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
316	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
319	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
320	C₄⋊C₄	#127	1	1	yes	characteristic
321	C₄⋊C₄	#127	1	1	yes	characteristic
322	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
324	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
325	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
326	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
329	C₄²	—	2	4	no	—
330	C₄²	—	2	4	no	—
331	C₄²	—	2	1	no	—
332	C₄²	—	2	1	no	—
333	C₄²	—	2	1	no	—
334	C₄²	—	2	2	no	—
335	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
336	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
337	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
338	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
339	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
340	C₂³	—	2	1	no	—
341	C₂³	—	4	2	no	—
342	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
343	Q₈	—	2	1	no	—
344	Q₈	—	4	4	no	—
345	Q₈	—	8	8	no	—
346	Q₈	—	8	2	no	—
347	Q₈	—	8	2	no	—
348	Q₈	—	8	4	no	—
349	Q₈	—	8	2	no	—
350	Q₈	—	8	2	no	—
351	Q₈	—	8	4	no	—
352	Q₈	#493	1	2	yes	—
353	D₄	—	2	4	no	—
354	D₄	—	2	1	no	—
355	D₄	—	4	4	no	—
356	D₄	—	4	4	no	—
357	D₄	—	4	4	no	—
358	D₄	—	8	8	no	—
359	D₄	—	8	4	no	—
360	D₄	#493	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	—	2	4	no	—
362	C₂×C₄	—	2	4	no	—
363	C₂×C₄	—	2	1	no	—
364	C₂×C₄	—	2	4	no	—
365	C₂×C₄	—	2	2	no	—
366	C₂×C₄	—	2	4	no	—
367	C₂×C₄	—	2	2	no	—
368	C₂×C₄	—	2	1	no	—
369	C₂×C₄	—	2	1	no	—
370	C₂×C₄	—	4	2	no	—
371	C₂×C₄	—	4	2	no	—
372	C₂×C₄	—	4	4	no	—
373	C₂×C₄	—	4	2	no	—
374	C₂×C₄	—	4	8	no	—
375	C₂×C₄	—	8	8	no	—
376	C₂×C₄	—	8	8	no	—
377	C₂×C₄	—	8	2	no	—
378	C₂×C₄	—	8	2	no	—
379	C₂×C₄	—	8	2	no	—
380	C₂×C₄	—	8	4	no	—
381	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
389	C₈	—	2	4	no	—
390	C₈	—	2	2	no	—
391	C₈	—	2	4	no	—
392	C₈	—	4	2	no	—
393	C₈	—	4	2	no	—
394	C₈	—	8	2	no	—
395	C₈	#456	1	4	yes	complemented
396	C₂²	—	2	1	no	—
397	C₂²	—	2	1	no	—
398	C₂²	—	2	2	no	—
399	C₂²	—	4	1	no	—
400	C₂²	—	4	1	no	—
401	C₂²	—	8	2	no	—
402	C₂²	—	8	2	no	—
403	C₂²	—	8	2	no	—
404	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
405	C₂²	D₄×D₈	1	2	yes	—
406	C₄	—	2	8	no	—
407	C₄	—	2	1	no	—
408	C₄	—	2	2	no	—
409	C₄	—	2	1	no	—
410	C₄	—	4	1	no	—
411	C₄	—	4	1	no	—
412	C₄	—	8	4	no	—
413	C₄	—	8	2	no	—
414	C₄	—	16	2	no	—
415	C₄	C₂×#456	1	2	yes	—
416	C₄	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
417	C₄	#3155	1	1	yes	characteristic
418	C₄	D₄×D₈	1	2	yes	—
419	C₄	#3293	1	2	yes	—
420	C₂	—	2	2	no	—
421	C₂	—	4	2	no	—
422	C₂	—	16	2	no	—
423	C₂	#25746	1	1	yes	characteristic
424	C₂	#25779	1	1	yes	characteristic
425	C₂	#25806	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2433
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#62471	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33312	C₂	semidirect
3. #25746	C₂	semidirect
4. #19630	C₂	semidirect
5. #19271	C₂	semidirect
6. #18650	C₂	semidirect
7. #10289	C₂	semidirect
8. #10174	C₂	semidirect
9. #9844	C₂	semidirect
10. #9799	C₂	semidirect
11. C₈×#104	C₂	semidirect
225. #104	D₈	semidirect
395. C₈	#456	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#62471	2
#33312	2
#25746	2
#19630	2
#19271	2
#18650	2
#10289	2
#10174	2
#9844	2
#9799	2
C₈×#104	2