Subgroups — #300537

Order 512.

1222 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 442 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3287	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#28532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#25627	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1673	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1642	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10268	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10053	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9734	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9656	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#102	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#135	—	2	1	no	—
13	C₂×#550	C₂²	1	2	yes	—
14	#3287	—	2	4	no	—
15	#3287	—	2	4	no	—
16	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#475	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#466	—	2	1	no	—
22	C₂×#460	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#461	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#449	—	2	2	no	—
25	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2568	C₂²	1	2	yes	—
28	#2097	—	2	2	no	—
29	#2014	—	2	4	no	—
30	#1984	C₂²	1	2	yes	—
31	#1982	C₂²	1	2	yes	—
32	#1969	—	2	1	no	—
33	#1877	—	2	4	no	—
34	#1846	—	2	1	no	—
35	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1706	—	2	4	no	—
38	#1673	—	2	4	no	—
39	#1642	—	2	8	no	—
40	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×#41	—	2	2	no	—
49	C₂×#135	—	2	8	no	—
50	C₂×#135	—	4	4	no	—
51	C₂×#135	—	4	4	no	—
52	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
54	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
55	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
56	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
57	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
58	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
59	#550	—	2	4	no	—
60	#550	—	2	4	no	—
61	#550	—	2	4	no	—
62	#550	—	4	2	no	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×#127	—	2	2	no	—
65	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#121	—	2	2	no	—
67	C₂×#121	—	4	2	no	—
68	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#500	—	2	2	no	—
72	#500	—	2	2	no	—
73	#493	—	2	2	no	—
74	#493	D₄	1	4	yes	—
75	#492	—	2	4	no	—
76	#492	—	4	2	no	—
77	#486	—	2	4	no	—
78	#486	—	2	4	no	—
79	#475	—	2	4	no	—
80	#475	—	4	2	no	—
81	#466	—	2	8	no	—
82	#461	—	2	4	no	—
83	#461	—	2	4	no	—
84	#460	—	2	4	no	—
85	#460	—	2	4	no	—
86	#449	—	2	16	no	—
87	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
88	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
89	C₈×D₄	—	2	2	no	—
90	C₈×D₄	D₄	1	4	yes	—
91	C₂×#107	—	2	1	no	—
92	C₂×#107	—	2	1	no	—
93	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×#106	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×#103	—	2	2	no	—
99	C₂×#103	—	2	2	no	—
100	C₂×#103	D₄	1	2	yes	—
101	C₂×#102	—	2	2	no	—
102	C₂×#102	—	2	4	no	—
103	C₂×#102	—	4	2	no	—
104	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
105	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
106	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
107	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	#400	—	4	2	no	—
111	#391	—	2	2	no	—
112	#391	—	2	4	no	—
113	#382	—	2	2	no	—
114	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
115	#340	D₄	1	2	yes	—
116	#336	—	2	1	no	—
117	#336	—	2	4	no	—
118	#335	—	2	2	no	—
119	#332	—	2	4	no	—
120	#331	—	2	4	no	—
121	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
122	D₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
123	C₈²	—	2	2	no	—
124	C₂×#41	—	2	8	no	—
125	C₂×#41	—	4	4	no	—
126	C₂×#41	—	4	4	no	—
127	C₂×#41	—	4	4	no	—
128	C₂×#41	—	8	2	no	—
129	C₂×#41	—	8	2	no	—
130	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
133	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
134	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
135	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
136	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
137	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
139	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
140	#135	—	4	32	no	—
141	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×Q₁₆	SD₁₆	1	4	yes	complemented
144	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
145	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
146	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
147	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
148	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
149	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
150	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
151	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
152	C₂×D₈	—	2	4	no	—
153	C₂×D₈	—	2	4	no	—
154	C₂×D₈	—	4	2	no	—
155	C₂×D₈	—	4	2	no	—
156	C₂×D₈	—	8	1	no	—
157	C₂×D₈	—	8	1	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
164	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
165	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
169	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
170	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
171	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
172	#127	—	2	2	no	—
173	#127	—	2	2	no	—
174	#127	—	2	2	no	—
175	#127	—	4	4	no	—
176	#127	—	4	4	no	—
177	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	#121	—	2	8	no	—
179	#121	—	4	8	no	—
180	#121	—	4	8	no	—
181	#121	—	4	4	no	—
182	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
183	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
184	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
185	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
186	C₄×D₄	—	2	1	no	—
187	C₄×D₄	—	2	1	no	—
188	C₄×D₄	—	4	4	no	—
189	C₄×D₄	—	4	4	no	—
190	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
200	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
202	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
203	#107	—	2	2	no	—
204	#107	—	4	2	no	—
205	#107	—	4	2	no	—
206	#106	—	4	4	no	—
207	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
208	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
209	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
210	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
211	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
212	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	#103	—	2	4	no	—
214	#103	—	4	4	no	—
215	#103	—	4	4	no	—
216	#102	—	2	8	no	—
217	#102	—	2	4	no	—
218	#102	—	4	8	no	—
219	#102	—	8	4	no	—
220	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
221	C₄×C₈	—	2	1	no	—
222	C₄×C₈	—	2	1	no	—
223	C₄×C₈	—	2	1	no	—
224	C₄×C₈	—	4	2	no	—
225	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
226	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
227	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
228	#95	—	2	1	no	—
229	#95	—	4	4	no	—
230	#95	—	4	4	no	—
231	C₂⁴	—	2	1	no	—
232	C₂⁴	—	4	2	no	—
233	#41	—	4	16	no	—
234	#41	—	8	8	no	—
235	#41	—	8	8	no	—
236	#41	—	8	8	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
238	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
241	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
242	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
243	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
244	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
245	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
246	C₂×Q₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
247	C₂×D₄	—	2	4	no	—
248	C₂×D₄	—	2	1	no	—
249	C₂×D₄	—	2	4	no	—
250	C₂×D₄	—	2	4	no	—
251	C₂×D₄	—	2	2	no	—
252	C₂×D₄	—	2	2	no	—
253	C₂×D₄	—	4	8	no	—
254	C₂×D₄	—	4	8	no	—
255	C₂×D₄	—	4	2	no	—
256	C₂×D₄	—	4	2	no	—
257	C₂×D₄	—	4	2	no	—
258	C₂×D₄	—	4	2	no	—
259	C₂×D₄	—	4	4	no	—
260	C₂×D₄	—	4	2	no	—
261	C₂×D₄	—	4	4	no	—
262	C₂×D₄	—	4	2	no	—
263	C₂×D₄	—	4	2	no	—
264	C₂×D₄	—	8	4	no	—
265	C₂×D₄	—	8	4	no	—
266	C₂×D₄	—	8	4	no	—
267	C₂×D₄	—	16	4	no	—
268	C₂×D₄	#127	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
279	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
280	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
281	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
282	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
283	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
286	Q₁₆	—	2	8	no	—
287	SD₁₆	—	4	16	no	—
288	SD₁₆	—	8	16	no	—
289	SD₁₆	—	8	8	no	—
290	D₈	—	4	8	no	—
291	D₈	—	8	4	no	—
292	C₂×C₈	—	2	2	no	—
293	C₂×C₈	—	2	2	no	—
294	C₂×C₈	—	2	1	no	—
295	C₂×C₈	—	2	1	no	—
296	C₂×C₈	—	2	2	no	—
297	C₂×C₈	—	2	2	no	—
298	C₂×C₈	—	2	2	no	—
299	C₂×C₈	—	4	2	no	—
300	C₂×C₈	—	4	1	no	—
301	C₂×C₈	—	4	1	no	—
302	C₂×C₈	—	4	1	no	—
303	C₂×C₈	—	4	1	no	—
304	C₂×C₈	—	4	8	no	—
305	C₂×C₈	—	4	2	no	—
306	C₂×C₈	—	4	4	no	—
307	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
308	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
309	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
310	C₂×C₈	#135	1	4	yes	complemented
311	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
312	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
313	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
314	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
315	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
316	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
319	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
320	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
321	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
322	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
323	C₄⋊C₄	#127	1	2	yes	—
324	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
325	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
326	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
327	C₄²	—	4	2	no	—
328	C₄²	—	4	2	no	—
329	C₄²	—	4	1	no	—
330	C₄²	—	4	1	no	—
331	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
332	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
333	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
334	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
335	C₂³	—	2	2	no	—
336	C₂³	—	4	1	no	—
337	C₂³	—	4	1	no	—
338	C₂³	—	4	2	no	—
339	C₂³	—	4	2	no	—
340	C₂³	—	4	4	no	—
341	C₂³	—	8	2	no	—
342	C₂³	—	8	2	no	—
343	C₂³	—	8	4	no	—
344	C₂³	—	8	4	no	—
345	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
346	Q₈	—	2	4	no	—
347	Q₈	—	2	4	no	—
348	Q₈	—	4	2	no	—
349	Q₈	—	4	2	no	—
350	Q₈	—	8	2	no	—
351	Q₈	—	8	2	no	—
352	Q₈	—	8	4	no	—
353	D₄	—	2	2	no	—
354	D₄	—	2	2	no	—
355	D₄	—	4	4	no	—
356	D₄	—	4	4	no	—
357	D₄	—	4	2	no	—
358	D₄	—	4	8	no	—
359	D₄	—	8	4	no	—
360	D₄	—	8	16	no	—
361	D₄	—	8	2	no	—
362	D₄	—	8	2	no	—
363	D₄	—	8	2	no	—
364	D₄	—	8	2	no	—
365	D₄	—	16	2	no	—
366	D₄	—	16	8	no	—
367	C₂×C₄	—	2	2	no	—
368	C₂×C₄	—	2	2	no	—
369	C₂×C₄	—	2	4	no	—
370	C₂×C₄	—	4	2	no	—
371	C₂×C₄	—	4	1	no	—
372	C₂×C₄	—	4	2	no	—
373	C₂×C₄	—	4	1	no	—
374	C₂×C₄	—	4	2	no	—
375	C₂×C₄	—	4	2	no	—
376	C₂×C₄	—	4	2	no	—
377	C₂×C₄	—	4	2	no	—
378	C₂×C₄	—	4	2	no	—
379	C₂×C₄	—	4	2	no	—
380	C₂×C₄	—	4	2	no	—
381	C₂×C₄	—	4	2	no	—
382	C₂×C₄	—	4	4	no	—
383	C₂×C₄	—	8	16	no	—
384	C₂×C₄	—	8	2	no	—
385	C₂×C₄	—	8	4	no	—
386	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
388	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
391	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
392	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
393	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
394	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
395	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
396	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
397	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
398	C₈	—	2	2	no	—
399	C₈	—	2	4	no	—
400	C₈	—	4	2	no	—
401	C₈	—	4	2	no	—
402	C₈	—	4	2	no	—
403	C₈	—	8	2	no	—
404	C₈	#450	1	4	yes	—
405	C₂²	—	4	2	no	—
406	C₂²	—	4	2	no	—
407	C₂²	—	4	2	no	—
408	C₂²	—	8	2	no	—
409	C₂²	—	8	2	no	—
410	C₂²	—	8	4	no	—
411	C₂²	—	8	4	no	—
412	C₂²	—	8	4	no	—
413	C₂²	—	16	4	no	—
414	C₂²	—	16	4	no	—
415	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
416	C₂²	#3272	1	1	yes	characteristic
417	C₂²	D₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
418	C₂²	#3287	1	2	yes	—
419	C₂²	#3290	1	2	yes	—
420	C₄	—	2	1	no	—
421	C₄	—	2	1	no	—
422	C₄	—	4	2	no	—
423	C₄	—	4	4	no	—
424	C₄	—	8	2	no	—
425	C₄	—	8	2	no	—
426	C₄	—	16	2	no	—
427	C₄	C₂×#450	1	1	yes	characteristic
428	C₄	#3009	1	1	yes	characteristic
429	C₄	#3147	1	1	yes	characteristic
430	C₄	#3155	1	1	yes	characteristic
431	C₄	#3272	1	1	yes	characteristic
432	C₄	#3280	1	2	yes	—
433	C₄	D₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
434	C₂	—	8	2	no	—
435	C₂	—	16	4	no	—
436	C₂	#19960	1	2	yes	—
437	C₂	#19985	1	2	yes	—
438	C₂	#25753	1	1	yes	characteristic
439	C₂	#25777	1	1	yes	characteristic
440	C₂	#25804	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#3287	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #28532	C₂	semidirect
3. #25627	C₂	semidirect
4. C₂×#1706	C₂	semidirect
5. C₂×#1673	C₂	semidirect
6. C₂×#1642	C₂	semidirect
7. #10268	C₂	semidirect
8. #10053	C₂	semidirect
9. #9734	C₂	semidirect
10. #9656	C₂	semidirect
11. C₈×#102	C₂	semidirect
143. C₂×Q₁₆	SD₁₆	semidirect
310. C₂×C₈	#135	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3287	2
#28532	2
#25627	2
C₂×#1706	2
C₂×#1673	2
C₂×#1642	2
#10268	2
#10053	2
#9734	2
#9656	2
C₈×#102	2