Subgroups — #300540

Order 512.

1132 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 418 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#28531	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#25834	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1707	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1675	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×#1637	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10273	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10065	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9733	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9656	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#102	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂³×Q₁₆	—	2	1	no	—
13	C₂×D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
14	D₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
15	D₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
16	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#477	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#476	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#467	—	2	1	no	—
23	C₂×#462	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#451	—	2	2	no	—
25	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2567	C₂²	1	2	yes	—
28	#2095	—	2	2	no	—
29	#2058	—	2	4	no	—
30	#1988	C₂²	1	2	yes	—
31	#1984	C₂²	1	2	yes	—
32	#1969	—	2	1	no	—
33	#1864	—	2	4	no	—
34	#1845	—	2	1	no	—
35	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1707	—	2	4	no	—
38	#1675	—	2	4	no	—
39	#1637	—	2	8	no	—
40	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
49	C₂²×Q₁₆	—	2	8	no	—
50	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
51	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
52	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
53	C₂²×Q₁₆	—	4	4	no	—
54	C₂²×Q₁₆	—	4	4	no	—
55	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
57	D₄×Q₈	—	2	4	no	—
58	D₄×Q₈	—	2	4	no	—
59	D₄×Q₈	—	2	4	no	—
60	D₄×Q₈	—	4	2	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
66	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	#500	—	2	2	no	—
70	#500	—	2	2	no	—
71	#498	—	2	4	no	—
72	#498	—	4	2	no	—
73	#494	—	2	2	no	—
74	#494	D₄	1	4	yes	—
75	#487	—	2	4	no	—
76	#487	—	2	4	no	—
77	#477	—	2	4	no	—
78	#477	—	4	2	no	—
79	#476	—	2	4	no	—
80	#476	—	2	4	no	—
81	#467	—	2	8	no	—
82	#462	—	2	4	no	—
83	#462	—	2	4	no	—
84	#451	—	2	16	no	—
85	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
86	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
87	C₈×D₄	—	2	2	no	—
88	C₈×D₄	D₄	1	4	yes	—
89	C₂×#107	—	2	1	no	—
90	C₂×#107	—	2	1	no	—
91	C₂×#107	—	2	2	no	—
92	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂×#106	—	2	4	no	—
94	C₂×#106	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×#103	—	2	2	no	—
99	C₂×#103	—	2	2	no	—
100	C₂×#103	—	4	2	no	—
101	C₂×#103	D₄	1	2	yes	—
102	C₂×#102	—	2	2	no	—
103	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
105	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	#395	—	4	2	no	—
110	#391	—	2	2	no	—
111	#389	—	2	4	no	—
112	#384	—	2	2	no	—
113	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	#340	—	2	4	no	—
115	#340	D₄	1	2	yes	—
116	#336	—	2	4	no	—
117	#336	—	2	1	no	—
118	#335	—	2	2	no	—
119	#333	—	2	4	no	—
120	#332	—	2	4	no	—
121	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
122	D₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
123	C₈²	—	2	2	no	—
124	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
125	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
127	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
128	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
129	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
130	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
131	C₂²×Q₈	—	8	2	no	—
132	C₂²×Q₈	—	8	2	no	—
133	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
136	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
137	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
138	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
140	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×Q₁₆	—	4	32	no	—
143	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
144	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
145	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
146	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
147	C₂×Q₁₆	—	8	1	no	—
148	C₂×Q₁₆	—	8	1	no	—
149	C₂×Q₁₆	SD₁₆	1	4	yes	—
150	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
156	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
157	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
161	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
162	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
163	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
164	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
165	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
166	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
167	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
168	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
169	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
170	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
171	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
172	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
173	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
174	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
175	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
176	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
177	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
178	C₄×D₄	—	2	1	no	—
179	C₄×D₄	—	2	1	no	—
180	C₄×D₄	—	4	4	no	—
181	C₄×D₄	—	4	4	no	—
182	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
196	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
198	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
199	#107	—	2	2	no	—
200	#107	—	4	4	no	—
201	#107	—	4	2	no	—
202	#107	—	4	2	no	—
203	#106	—	4	8	no	—
204	#106	—	4	4	no	—
205	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
206	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
207	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
208	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
209	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
210	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
211	#103	—	2	8	no	—
212	#103	—	2	4	no	—
213	#103	—	4	8	no	—
214	#103	—	4	4	no	—
215	#102	—	4	4	no	—
216	#102	Q₁₆	1	8	yes	complemented
217	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
218	C₄×C₈	—	2	1	no	—
219	C₄×C₈	—	2	1	no	—
220	C₄×C₈	—	2	1	no	—
221	C₄×C₈	—	4	2	no	—
222	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
223	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
224	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
225	#95	—	2	1	no	—
226	#95	—	4	4	no	—
227	C₂⁴	—	2	1	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
237	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
239	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
240	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
242	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
243	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
244	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
245	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
246	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
247	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
248	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
249	C₂×Q₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
250	C₂×D₄	—	2	1	no	—
251	C₂×D₄	—	2	2	no	—
252	C₂×D₄	#127	1	2	yes	—
253	C₂×D₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
272	Q₁₆	—	2	8	no	—
273	Q₁₆	—	4	16	no	—
274	Q₁₆	—	4	8	no	—
275	Q₁₆	—	8	4	no	—
276	C₂×C₈	—	2	2	no	—
277	C₂×C₈	—	2	1	no	—
278	C₂×C₈	—	2	1	no	—
279	C₂×C₈	—	2	2	no	—
280	C₂×C₈	—	2	2	no	—
281	C₂×C₈	—	2	2	no	—
282	C₂×C₈	—	2	2	no	—
283	C₂×C₈	—	4	2	no	—
284	C₂×C₈	—	4	1	no	—
285	C₂×C₈	—	4	1	no	—
286	C₂×C₈	—	4	1	no	—
287	C₂×C₈	—	4	1	no	—
288	C₂×C₈	—	4	8	no	—
289	C₂×C₈	—	4	2	no	—
290	C₂×C₈	—	4	4	no	—
291	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
292	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
293	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
294	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	4	yes	complemented
295	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
296	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
310	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
311	C₄⋊C₄	—	16	4	no	—
312	C₄⋊C₄	#127	1	2	yes	—
313	C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	complemented
314	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
317	C₄²	—	4	2	no	—
318	C₄²	—	4	2	no	—
319	C₄²	—	4	1	no	—
320	C₄²	—	4	1	no	—
321	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
322	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
323	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
324	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
325	C₂³	—	2	2	no	—
326	C₂³	—	2	4	no	—
327	C₂³	—	4	1	no	—
328	C₂³	—	4	1	no	—
329	C₂³	—	4	2	no	—
330	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
331	Q₈	—	2	4	no	—
332	Q₈	—	2	4	no	—
333	Q₈	—	4	2	no	—
334	Q₈	—	4	2	no	—
335	Q₈	—	4	4	no	—
336	Q₈	—	4	4	no	—
337	Q₈	—	8	4	no	—
338	Q₈	—	8	16	no	—
339	Q₈	—	8	2	no	—
340	Q₈	—	8	2	no	—
341	Q₈	—	16	2	no	—
342	D₄	—	2	2	no	—
343	D₄	—	2	4	no	—
344	D₄	#494	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	4	no	—
348	C₂×C₄	—	2	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	1	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	1	no	—
354	C₂×C₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	4	no	—
362	C₂×C₄	—	8	16	no	—
363	C₂×C₄	—	8	2	no	—
364	C₂×C₄	—	8	2	no	—
365	C₂×C₄	—	8	2	no	—
366	C₂×C₄	—	8	4	no	—
367	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
379	C₈	—	2	2	no	—
380	C₈	—	2	4	no	—
381	C₈	—	4	2	no	—
382	C₈	—	4	2	no	—
383	C₈	—	4	2	no	—
384	C₈	—	8	2	no	—
385	C₈	#450	1	4	yes	—
386	C₂²	—	2	4	no	—
387	C₂²	—	4	4	no	—
388	C₂²	—	4	2	no	—
389	C₂²	—	4	2	no	—
390	C₂²	—	4	4	no	—
391	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
392	C₂²	#3272	1	1	yes	characteristic
393	C₂²	D₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
394	C₂²	D₄×Q₁₆	1	2	yes	—
395	C₂²	#3290	1	2	yes	—
396	C₄	—	2	1	no	—
397	C₄	—	2	1	no	—
398	C₄	—	4	2	no	—
399	C₄	—	4	4	no	—
400	C₄	—	4	4	no	—
401	C₄	—	8	4	no	—
402	C₄	—	8	2	no	—
403	C₄	—	16	2	no	—
404	C₄	C₂×#450	1	1	yes	characteristic
405	C₄	#3009	1	1	yes	characteristic
406	C₄	C₂×#494	1	1	yes	characteristic
407	C₄	#3156	1	1	yes	characteristic
408	C₄	#3272	1	1	yes	characteristic
409	C₄	D₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
410	C₄	D₄×Q₁₆	1	2	yes	—
411	C₂	—	4	4	no	—
412	C₂	#19926	1	2	yes	—
413	C₂	SD₁₆×Q₁₆	1	2	yes	—
414	C₂	#25753	1	1	yes	characteristic
415	C₂	#25780	1	1	yes	characteristic
416	C₂	#25803	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₄	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #28531	C₂	semidirect
4. C₂×#1707	C₂	semidirect
7. #10273	C₂	semidirect
8. #10065	C₂	semidirect
9. #9733	C₂	semidirect
10. #9656	C₂	semidirect
216. #102	Q₁₆	semidirect
294. C₂×C₈	C₂×Q₁₆	semidirect
313. C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄×Q₁₆	2
#28531	2
#25834	2
C₂×#1707	2
C₂×#1675	2
C₂×#1637	2
#10273	2
#10065	2
#9733	2
#9656	2
C₈×#102	2