Subgroups — #300550

Order 512.

1004 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 419 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#28459	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#25700	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1707	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1669	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1646	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10271	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10058	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9730	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9657	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#102	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#555	C₂²	1	2	yes	—
13	#3341	—	2	4	no	—
14	#3341	—	2	4	no	—
15	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#495	—	2	1	no	—
18	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#482	—	2	2	no	—
21	C₂×#476	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#474	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#466	—	2	1	no	—
24	C₂×#461	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#427	—	2	1	no	—
28	#2547	C₂²	1	2	yes	—
29	#2034	—	2	4	no	—
30	#2015	—	2	2	no	—
31	#1987	C₂²	1	2	yes	—
32	#1969	—	2	1	no	—
33	#1954	C₂²	1	2	yes	—
34	#1854	—	2	4	no	—
35	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1707	—	2	4	no	—
38	#1669	—	2	4	no	—
39	#1646	—	2	8	no	—
40	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
49	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
50	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
51	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
53	#555	—	2	4	no	—
54	#555	—	2	4	no	—
55	#555	—	2	4	no	—
56	#555	—	4	2	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×#124	—	2	2	no	—
60	C₂×#124	—	4	2	no	—
61	C₂×#121	—	2	2	no	—
62	C₂×#121	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#117	—	2	2	no	—
66	C₂×#117	—	2	2	no	—
67	#500	—	2	2	no	—
68	#500	D₄	1	4	yes	—
69	#498	—	2	4	no	—
70	#498	—	4	2	no	—
71	#495	—	4	4	no	—
72	#494	—	2	2	no	—
73	#494	—	2	2	no	—
74	#487	—	2	4	no	—
75	#487	—	2	4	no	—
76	#482	—	2	16	no	—
77	#476	—	2	4	no	—
78	#476	—	2	4	no	—
79	#474	—	2	4	no	—
80	#474	—	2	4	no	—
81	#466	—	2	8	no	—
82	#461	—	2	4	no	—
83	#461	—	4	2	no	—
84	C₄×D₈	—	2	2	no	—
85	C₄×D₈	—	2	2	no	—
86	C₈×D₄	—	2	2	no	—
87	C₈×D₄	D₄	1	4	yes	—
88	#427	—	2	8	no	—
89	C₂×#107	—	2	1	no	—
90	C₂×#107	—	2	1	no	—
91	C₂×#107	—	2	2	no	—
92	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂×#106	—	2	2	no	—
94	C₂×#106	—	2	4	no	—
95	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×#103	—	2	2	no	—
99	C₂×#103	—	4	2	no	—
100	C₂×#102	—	2	2	no	—
101	C₂×#102	—	2	2	no	—
102	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
103	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
105	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
106	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
107	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	#397	—	4	2	no	—
111	#391	—	2	2	no	—
112	#380	—	2	4	no	—
113	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	#340	—	2	4	no	—
115	#340	D₄	1	2	yes	—
116	#336	—	2	1	no	—
117	#335	—	2	2	no	—
118	#333	—	2	4	no	—
119	#332	—	2	4	no	—
120	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
121	D₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
122	C₈²	—	2	2	no	—
123	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
126	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
131	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
132	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
133	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
134	C₂×Q₁₆	—	8	1	no	—
135	C₂×Q₁₆	—	8	1	no	—
136	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
137	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
138	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
139	C₂×D₈	—	2	2	no	—
140	C₂×D₈	—	2	2	no	—
141	C₂×D₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
148	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
159	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
160	#124	—	4	8	no	—
161	#124	—	4	8	no	—
162	#124	—	4	4	no	—
163	#124	—	8	2	no	—
164	#121	—	2	8	no	—
165	#121	—	4	4	no	—
166	#121	—	4	4	no	—
167	#121	—	4	4	no	—
168	C₄×D₄	—	2	1	no	—
169	C₄×D₄	—	2	2	no	—
170	C₄×D₄	—	2	2	no	—
171	C₄×D₄	—	2	2	no	—
172	C₄×D₄	—	2	1	no	—
173	C₄×D₄	—	2	2	no	—
174	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	#117	—	2	8	no	—
177	#117	—	4	4	no	—
178	#117	—	4	4	no	—
179	#117	—	4	4	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
192	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
193	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
194	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
195	#107	—	2	4	no	—
196	#107	—	2	4	no	—
197	#107	—	2	2	no	—
198	#107	—	4	4	no	—
199	#106	—	2	8	no	—
200	#106	—	4	8	no	—
201	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
202	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
203	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
204	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
205	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	#103	—	4	4	no	—
208	#103	—	4	8	no	—
209	#102	—	2	8	no	—
210	#102	—	2	4	no	—
211	#102	—	2	4	no	—
212	#102	—	4	4	no	—
213	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
214	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
215	C₄×C₈	—	2	1	no	—
216	C₄×C₈	—	2	1	no	—
217	C₄×C₈	—	2	1	no	—
218	C₄×C₈	—	4	2	no	—
219	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
220	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
221	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
222	#95	—	2	1	no	—
223	#95	—	4	4	no	—
224	C₂⁴	—	2	1	no	—
225	C₂⁴	—	2	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
235	C₂×D₄	—	2	2	no	—
236	C₂×D₄	—	2	1	no	—
237	C₂×D₄	—	2	2	no	—
238	C₂×D₄	—	2	2	no	—
239	C₂×D₄	—	2	2	no	—
240	C₂×D₄	—	2	2	no	—
241	C₂×D₄	—	2	2	no	—
242	C₂×D₄	—	2	2	no	—
243	C₂×D₄	—	2	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	8	no	—
245	C₂×D₄	—	16	4	no	—
246	C₂×D₄	#127	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
265	Q₁₆	—	8	4	no	—
266	Q₁₆	—	8	4	no	—
267	SD₁₆	—	8	8	no	—
268	D₈	—	4	4	no	—
269	C₂×C₈	—	2	2	no	—
270	C₂×C₈	—	2	1	no	—
271	C₂×C₈	—	2	1	no	—
272	C₂×C₈	—	2	2	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	2	no	—
275	C₂×C₈	—	2	2	no	—
276	C₂×C₈	—	4	2	no	—
277	C₂×C₈	—	4	1	no	—
278	C₂×C₈	—	4	1	no	—
279	C₂×C₈	—	4	1	no	—
280	C₂×C₈	—	4	1	no	—
281	C₂×C₈	—	4	8	no	—
282	C₂×C₈	—	4	2	no	—
283	C₂×C₈	—	4	4	no	—
284	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
285	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
286	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
287	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
288	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
289	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
302	C₄⋊C₄	#127	1	2	yes	—
303	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
310	C₄²	—	4	8	no	—
311	C₄²	—	4	1	no	—
312	C₄²	—	4	1	no	—
313	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
314	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
315	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
316	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
317	C₂³	—	2	2	no	—
318	C₂³	—	4	1	no	—
319	C₂³	—	4	2	no	—
320	C₂³	—	4	1	no	—
321	C₂³	—	4	2	no	—
322	C₂³	—	4	2	no	—
323	C₂³	—	4	2	no	—
324	C₂³	—	4	4	no	—
325	C₂³	—	4	2	no	—
326	C₂³	—	4	4	no	—
327	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
328	Q₈	—	8	4	no	—
329	Q₈	—	8	2	no	—
330	Q₈	—	8	2	no	—
331	Q₈	—	8	2	no	—
332	Q₈	—	8	2	no	—
333	Q₈	—	16	2	no	—
334	D₄	—	2	2	no	—
335	D₄	—	2	2	no	—
336	D₄	—	4	2	no	—
337	D₄	—	4	2	no	—
338	D₄	—	4	2	no	—
339	D₄	—	4	2	no	—
340	D₄	—	4	2	no	—
341	D₄	—	16	8	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	1	no	—
345	C₂×C₄	—	4	1	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	8	4	no	—
357	C₂×C₄	—	8	2	no	—
358	C₂×C₄	—	8	2	no	—
359	C₂×C₄	—	8	4	no	—
360	C₂×C₄	—	8	2	no	—
361	C₂×C₄	—	8	2	no	—
362	C₂×C₄	—	8	2	no	—
363	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
375	C₈	—	2	2	no	—
376	C₈	—	2	4	no	—
377	C₈	—	4	2	no	—
378	C₈	—	4	2	no	—
379	C₈	—	4	2	no	—
380	C₈	—	8	2	no	—
381	C₈	#449	1	4	yes	—
382	C₂²	—	4	2	no	—
383	C₂²	—	4	2	no	—
384	C₂²	—	4	2	no	—
385	C₂²	—	8	2	no	—
386	C₂²	—	8	2	no	—
387	C₂²	—	8	4	no	—
388	C₂²	—	8	2	no	—
389	C₂²	—	8	2	no	—
390	C₂²	—	8	2	no	—
391	C₂²	—	8	4	no	—
392	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
393	C₂²	#3272	1	1	yes	characteristic
394	C₂²	#3283	1	2	yes	—
395	C₂²	#3284	1	1	yes	characteristic
396	C₂²	#3290	1	2	yes	—
397	C₄	—	2	1	no	—
398	C₄	—	2	1	no	—
399	C₄	—	4	2	no	—
400	C₄	—	8	2	no	—
401	C₄	—	8	4	no	—
402	C₄	—	8	2	no	—
403	C₄	—	16	2	no	—
404	C₄	C₂×#449	1	1	yes	characteristic
405	C₄	#3010	1	1	yes	characteristic
406	C₄	#3147	1	1	yes	characteristic
407	C₄	#3156	1	1	yes	characteristic
408	C₄	#3272	1	1	yes	characteristic
409	C₄	#3284	1	1	yes	characteristic
410	C₄	#3285	1	2	yes	—
411	C₂	—	8	2	no	—
412	C₂	—	16	2	no	—
413	C₂	#19953	1	2	yes	—
414	C₂	#20016	1	2	yes	—
415	C₂	#25754	1	1	yes	characteristic
416	C₂	#25778	1	1	yes	characteristic
417	C₂	#25804	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#3341	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #28459	C₂	semidirect
3. #25700	C₂	semidirect
4. C₂×#1707	C₂	semidirect
5. C₂×#1669	C₂	semidirect
6. C₂×#1646	C₂	semidirect
7. #10271	C₂	semidirect
8. #10058	C₂	semidirect
9. #9730	C₂	semidirect
10. #9657	C₂	semidirect
11. C₈×#102	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3341	2
#28459	2
#25700	2
C₂×#1707	2
C₂×#1669	2
C₂×#1646	2
#10271	2
#10058	2
#9730	2
#9657	2
C₈×#102	2