Subgroups — #300551

Order 512.

1284 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 456 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3334	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#28458	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#25754	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1667	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1625	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10266	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10070	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9731	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9657	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#102	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#547	C₂²	1	2	yes	—
13	#3334	—	2	4	no	—
14	#3334	—	2	4	no	—
15	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#493	—	2	1	no	—
17	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#480	—	2	2	no	—
21	C₂×#474	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#466	—	2	1	no	—
23	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#449	—	2	4	no	—
26	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×#107	—	2	1	no	—
29	#2541	C₂²	1	2	yes	—
30	#2011	—	2	2	no	—
31	#2000	—	2	4	no	—
32	#1981	C₂²	1	2	yes	—
33	#1970	—	2	1	no	—
34	#1954	C₂²	1	2	yes	—
35	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1706	—	2	4	no	—
38	#1667	—	2	4	no	—
39	#1625	—	2	8	no	—
40	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×#41	—	2	2	no	—
49	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
50	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
51	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
52	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
53	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
54	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
56	#547	—	2	4	no	—
57	#547	—	2	4	no	—
58	#547	—	2	4	no	—
59	#547	—	4	2	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#127	—	2	2	no	—
62	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#123	—	4	2	no	—
64	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
65	C₂×#121	—	2	2	no	—
66	C₂×#121	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
70	#500	—	2	2	no	—
71	#500	D₄	1	4	yes	complemented
72	#493	—	2	2	no	—
73	#493	—	2	2	no	—
74	#493	—	4	4	no	—
75	#492	—	2	4	no	—
76	#492	—	4	2	no	—
77	#486	—	2	4	no	—
78	#486	—	2	4	no	—
79	#480	—	2	16	no	—
80	#474	—	2	4	no	—
81	#474	—	2	4	no	—
82	#466	—	2	8	no	—
83	#459	—	2	4	no	—
84	#459	—	2	4	no	—
85	#459	—	2	4	no	—
86	#459	—	4	2	no	—
87	#449	—	4	16	no	—
88	C₄×D₈	—	2	2	no	—
89	C₄×D₈	—	2	2	no	—
90	C₈×D₄	—	2	2	no	—
91	C₈×D₄	D₄	1	4	yes	complemented
92	C₂×#107	—	2	8	no	—
93	C₂×#107	—	2	1	no	—
94	C₂×#107	—	2	1	no	—
95	C₂×#107	—	2	2	no	—
96	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×#103	—	2	4	no	—
101	C₂×#102	—	2	2	no	—
102	C₂×#102	—	2	2	no	—
103	C₂×#102	—	2	2	no	—
104	C₂×#102	—	4	2	no	—
105	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
106	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
108	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
109	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
110	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	#392	—	4	2	no	—
114	#390	—	2	2	no	—
115	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	#340	D₄	1	2	yes	—
117	#336	—	2	1	no	—
118	#335	—	2	2	no	—
119	#332	—	2	4	no	—
120	#331	—	2	4	no	—
121	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
122	D₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	complemented
123	C₈²	—	2	2	no	—
124	C₂×#41	—	4	4	no	—
125	C₂×#41	—	4	4	no	—
126	C₂×#41	—	4	8	no	—
127	C₂×#41	—	8	4	no	—
128	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
133	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
134	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
137	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
139	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
140	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
141	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
142	C₂×D₈	—	2	2	no	—
143	C₂×D₈	—	2	2	no	—
144	C₂×D₈	—	2	2	no	—
145	C₂×D₈	—	4	4	no	—
146	C₂×D₈	—	4	4	no	—
147	C₂×D₈	—	4	4	no	—
148	C₂×D₈	—	4	8	no	—
149	C₂×D₈	—	4	2	no	—
150	C₂×D₈	—	4	2	no	—
151	C₂×D₈	—	4	2	no	—
152	C₂×D₈	—	4	2	no	—
153	C₂×D₈	—	8	1	no	—
154	C₂×D₈	—	8	1	no	—
155	C₂×D₈	—	8	2	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
162	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
163	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
167	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
168	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
169	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
170	#127	—	2	2	no	—
171	#127	—	2	2	no	—
172	#127	—	2	2	no	—
173	#127	—	2	2	no	—
174	#127	—	4	4	no	—
175	#127	—	8	2	no	—
176	#123	—	4	8	no	—
177	#123	—	4	8	no	—
178	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
179	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
180	#121	—	2	8	no	—
181	#121	—	4	4	no	—
182	#121	—	4	8	no	—
183	#121	—	8	4	no	—
184	C₄×D₄	—	2	1	no	—
185	C₄×D₄	—	2	2	no	—
186	C₄×D₄	—	2	2	no	—
187	C₄×D₄	—	2	2	no	—
188	C₄×D₄	—	2	1	no	—
189	C₄×D₄	—	2	2	no	—
190	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
204	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
205	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
206	#107	—	2	8	no	—
207	#107	—	2	2	no	—
208	#107	—	2	4	no	—
209	#107	—	2	4	no	—
210	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
211	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
212	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
213	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
214	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
215	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
216	#103	—	4	8	no	—
217	#102	—	2	8	no	—
218	#102	—	2	4	no	—
219	#102	—	4	4	no	—
220	#102	—	4	8	no	—
221	#102	—	4	4	no	—
222	#102	D₈	1	8	yes	complemented
223	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
224	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
225	C₄×C₈	—	2	1	no	—
226	C₄×C₈	—	2	1	no	—
227	C₄×C₈	—	2	1	no	—
228	C₄×C₈	—	4	2	no	—
229	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
230	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
231	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
232	#95	—	2	1	no	—
233	C₂⁴	—	2	1	no	—
234	C₂⁴	—	2	2	no	—
235	C₂⁴	—	4	2	no	—
236	#41	—	8	16	no	—
237	#41	—	8	8	no	—
238	#41	—	8	8	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
240	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
242	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
243	C₂×D₄	—	2	2	no	—
244	C₂×D₄	—	2	1	no	—
245	C₂×D₄	—	2	2	no	—
246	C₂×D₄	—	2	2	no	—
247	C₂×D₄	—	2	2	no	—
248	C₂×D₄	—	2	2	no	—
249	C₂×D₄	—	2	2	no	—
250	C₂×D₄	—	2	2	no	—
251	C₂×D₄	—	4	8	no	—
252	C₂×D₄	—	4	2	no	—
253	C₂×D₄	—	4	2	no	—
254	C₂×D₄	—	4	2	no	—
255	C₂×D₄	—	4	2	no	—
256	C₂×D₄	—	4	2	no	—
257	C₂×D₄	—	4	2	no	—
258	C₂×D₄	—	4	4	no	—
259	C₂×D₄	—	4	2	no	—
260	C₂×D₄	—	4	2	no	—
261	C₂×D₄	—	4	4	no	—
262	C₂×D₄	—	4	2	no	—
263	C₂×D₄	—	4	2	no	—
264	C₂×D₄	—	8	4	no	—
265	C₂×D₄	—	8	8	no	—
266	C₂×D₄	—	8	8	no	—
267	C₂×D₄	—	8	8	no	—
268	C₂×D₄	—	16	4	no	—
269	C₂×D₄	#127	1	2	yes	—
270	C₂×D₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
271	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
279	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
280	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
281	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
282	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
283	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
284	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
287	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
290	SD₁₆	—	8	16	no	—
291	D₈	—	4	4	no	—
292	D₈	—	8	4	no	—
293	D₈	—	8	8	no	—
294	D₈	—	8	8	no	—
295	D₈	—	8	4	no	—
296	C₂×C₈	—	2	2	no	—
297	C₂×C₈	—	2	2	no	—
298	C₂×C₈	—	2	1	no	—
299	C₂×C₈	—	2	1	no	—
300	C₂×C₈	—	2	2	no	—
301	C₂×C₈	—	2	2	no	—
302	C₂×C₈	—	2	2	no	—
303	C₂×C₈	—	4	2	no	—
304	C₂×C₈	—	4	1	no	—
305	C₂×C₈	—	4	1	no	—
306	C₂×C₈	—	4	1	no	—
307	C₂×C₈	—	4	1	no	—
308	C₂×C₈	—	4	8	no	—
309	C₂×C₈	—	4	2	no	—
310	C₂×C₈	—	4	4	no	—
311	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
312	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
313	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
314	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
315	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
316	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
317	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
319	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
320	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
321	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
322	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
323	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
324	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
325	C₄⋊C₄	#127	1	2	yes	—
326	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
327	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
329	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
330	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
331	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
332	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
333	C₄²	—	4	1	no	—
334	C₄²	—	4	1	no	—
335	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
336	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
337	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
338	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
339	C₂³	—	2	2	no	—
340	C₂³	—	2	4	no	—
341	C₂³	—	4	1	no	—
342	C₂³	—	4	1	no	—
343	C₂³	—	4	2	no	—
344	C₂³	—	4	2	no	—
345	C₂³	—	4	2	no	—
346	C₂³	—	4	4	no	—
347	C₂³	—	4	2	no	—
348	C₂³	—	4	4	no	—
349	C₂³	—	8	2	no	—
350	C₂³	—	8	2	no	—
351	C₂³	—	8	4	no	—
352	C₂³	—	8	2	no	—
353	C₂³	—	8	4	no	—
354	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
355	Q₈	—	4	8	no	—
356	Q₈	—	8	2	no	—
357	Q₈	—	8	2	no	—
358	D₄	—	2	2	no	—
359	D₄	—	2	4	no	—
360	D₄	—	4	2	no	—
361	D₄	—	4	2	no	—
362	D₄	—	4	2	no	—
363	D₄	—	4	2	no	—
364	D₄	—	8	4	no	—
365	D₄	—	8	16	no	—
366	D₄	—	8	2	no	—
367	D₄	—	8	2	no	—
368	D₄	—	8	2	no	—
369	D₄	—	8	2	no	—
370	D₄	—	8	2	no	—
371	D₄	—	8	4	no	—
372	D₄	—	8	2	no	—
373	D₄	—	16	2	no	—
374	D₄	—	16	16	no	—
375	D₄	#493	1	4	yes	complemented
376	C₂×C₄	—	2	2	no	—
377	C₂×C₄	—	2	2	no	—
378	C₂×C₄	—	2	4	no	—
379	C₂×C₄	—	4	2	no	—
380	C₂×C₄	—	4	1	no	—
381	C₂×C₄	—	4	1	no	—
382	C₂×C₄	—	4	2	no	—
383	C₂×C₄	—	4	2	no	—
384	C₂×C₄	—	4	2	no	—
385	C₂×C₄	—	4	2	no	—
386	C₂×C₄	—	4	2	no	—
387	C₂×C₄	—	4	2	no	—
388	C₂×C₄	—	4	4	no	—
389	C₂×C₄	—	4	4	no	—
390	C₂×C₄	—	8	16	no	—
391	C₂×C₄	—	8	4	no	—
392	C₂×C₄	—	8	2	no	—
393	C₂×C₄	—	8	2	no	—
394	C₂×C₄	—	8	4	no	—
395	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
396	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
397	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
398	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
399	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
400	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
401	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
402	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
403	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
404	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
405	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
406	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
407	C₈	—	2	2	no	—
408	C₈	—	2	4	no	—
409	C₈	—	4	2	no	—
410	C₈	—	4	2	no	—
411	C₈	—	4	2	no	—
412	C₈	—	8	2	no	—
413	C₈	#449	1	4	yes	complemented
414	C₂²	—	2	4	no	—
415	C₂²	—	4	4	no	—
416	C₂²	—	4	2	no	—
417	C₂²	—	4	4	no	—
418	C₂²	—	4	2	no	—
419	C₂²	—	8	4	no	—
420	C₂²	—	8	2	no	—
421	C₂²	—	8	4	no	—
422	C₂²	—	8	2	no	—
423	C₂²	—	8	2	no	—
424	C₂²	—	16	4	no	—
425	C₂²	—	16	2	no	—
426	C₂²	—	16	4	no	—
427	C₂²	—	16	2	no	—
428	C₂²	—	16	2	no	—
429	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
430	C₂²	#3272	1	1	yes	characteristic
431	C₂²	D₄×D₈	1	2	yes	—
432	C₂²	#3284	1	1	yes	characteristic
433	C₂²	#3290	1	2	yes	—
434	C₄	—	2	1	no	—
435	C₄	—	2	1	no	—
436	C₄	—	4	2	no	—
437	C₄	—	4	4	no	—
438	C₄	—	8	2	no	—
439	C₄	—	8	4	no	—
440	C₄	C₂×#449	1	1	yes	characteristic
441	C₄	#3010	1	1	yes	characteristic
442	C₄	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
443	C₄	#3155	1	1	yes	characteristic
444	C₄	#3272	1	1	yes	characteristic
445	C₄	D₄×D₈	1	2	yes	—
446	C₄	#3284	1	1	yes	characteristic
447	C₂	—	4	4	no	—
448	C₂	—	16	2	no	—
449	C₂	—	32	2	no	—
450	C₂	#19883	1	2	yes	—
451	C₂	#19972	1	2	yes	—
452	C₂	#25754	1	1	yes	characteristic
453	C₂	#25779	1	1	yes	characteristic
454	C₂	#25803	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3334	C₂	semidirect
2. #28458	C₂	semidirect
3. #25754	C₂	semidirect
4. C₂×#1706	C₂	semidirect
5. C₂×#1667	C₂	semidirect
6. C₂×#1625	C₂	semidirect
7. #10266	C₂	semidirect
8. #10070	C₂	semidirect
9. #9731	C₂	semidirect
10. #9657	C₂	semidirect
11. C₈×#102	C₂	semidirect
71. #500	D₄	semidirect
91. C₈×D₄	D₄	semidirect
122. D₄⋊C₈	D₄	semidirect
222. #102	D₈	semidirect
375. D₄	#493	semidirect
413. C₈	#449	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3334	2
#28458	2
#25754	2
C₂×#1706	2
C₂×#1667	2
C₂×#1625	2
#10266	2
#10070	2
#9731	2
#9657	2
C₈×#102	2