Subgroups — #300554

Order 512.

1138 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 444 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#28458	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#25572	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1667	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1624	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10267	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10054	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9730	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9657	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#102	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#555	C₂²	1	2	yes	—
13	#3341	—	2	4	no	—
14	#3341	—	2	4	no	—
15	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#493	—	2	1	no	—
17	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#482	—	2	2	no	—
21	C₂×#476	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#466	—	2	1	no	—
23	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#427	—	2	1	no	—
28	#2541	C₂²	1	2	yes	—
29	#2011	—	2	2	no	—
30	#1999	—	2	4	no	—
31	#1987	C₂²	1	2	yes	—
32	#1970	—	2	1	no	—
33	#1954	C₂²	1	2	yes	—
34	#1875	—	2	4	no	—
35	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1706	—	2	4	no	—
38	#1667	—	2	4	no	—
39	#1624	—	2	8	no	—
40	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×SD₁₆	—	4	2	no	—
49	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
50	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
51	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
52	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
53	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
55	#555	—	2	4	no	—
56	#555	—	2	4	no	—
57	#555	—	2	4	no	—
58	#555	—	4	2	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×#127	—	2	2	no	—
61	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#124	—	4	2	no	—
63	C₂×#121	—	2	2	no	—
64	C₂×#121	—	2	2	no	—
65	C₂×#121	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂×#117	—	2	2	no	—
69	C₂×#117	—	2	2	no	—
70	#500	—	2	2	no	—
71	#500	D₄	1	4	yes	complemented
72	#493	—	2	2	no	—
73	#493	—	2	2	no	—
74	#493	—	4	4	no	—
75	#492	—	2	4	no	—
76	#492	—	2	4	no	—
77	#486	—	2	4	no	—
78	#486	—	4	2	no	—
79	#482	—	2	16	no	—
80	#476	—	2	4	no	—
81	#476	—	2	4	no	—
82	#466	—	2	8	no	—
83	#459	—	2	4	no	—
84	#459	—	2	4	no	—
85	#459	—	2	4	no	—
86	#459	—	4	2	no	—
87	C₄×D₈	—	2	2	no	—
88	C₄×D₈	—	2	2	no	—
89	C₈×D₄	—	2	2	no	—
90	C₈×D₄	D₄	1	4	yes	complemented
91	#427	—	2	8	no	—
92	C₂×#107	—	2	1	no	—
93	C₂×#107	—	2	1	no	—
94	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×#106	—	2	2	no	—
96	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×#102	—	2	2	no	—
100	C₂×#102	—	2	4	no	—
101	C₂×#102	—	2	2	no	—
102	C₂×#102	—	2	2	no	—
103	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
104	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
105	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
106	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
107	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
108	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	#392	—	4	2	no	—
112	#390	—	2	2	no	—
113	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	#340	—	2	4	no	—
115	#340	D₄	1	2	yes	—
116	#336	—	2	1	no	—
117	#335	—	2	2	no	—
118	#333	—	2	4	no	—
119	#331	—	2	4	no	—
120	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
121	D₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	complemented
122	C₈²	—	2	2	no	—
123	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
128	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
129	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
132	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
134	C₂×SD₁₆	—	8	8	no	—
135	C₂×D₈	—	2	2	no	—
136	C₂×D₈	—	2	2	no	—
137	C₂×D₈	—	2	2	no	—
138	C₂×D₈	—	4	4	no	—
139	C₂×D₈	—	4	4	no	—
140	C₂×D₈	—	4	4	no	—
141	C₂×D₈	—	4	2	no	—
142	C₂×D₈	—	4	2	no	—
143	C₂×D₈	—	4	2	no	—
144	C₂×D₈	—	4	2	no	—
145	C₂×D₈	—	8	1	no	—
146	C₂×D₈	—	8	1	no	—
147	C₂×D₈	—	8	2	no	—
148	C₂×D₈	—	8	4	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
155	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
156	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
161	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
162	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
163	#127	—	2	2	no	—
164	#127	—	2	2	no	—
165	#127	—	2	2	no	—
166	#127	—	2	2	no	—
167	#127	—	4	4	no	—
168	#127	—	8	2	no	—
169	#124	—	4	8	no	—
170	#124	—	4	8	no	—
171	#121	—	2	8	no	—
172	#121	—	4	4	no	—
173	#121	—	4	4	no	—
174	#121	—	4	4	no	—
175	#121	—	4	8	no	—
176	#121	—	8	4	no	—
177	C₄×D₄	—	2	1	no	—
178	C₄×D₄	—	2	2	no	—
179	C₄×D₄	—	2	2	no	—
180	C₄×D₄	—	2	2	no	—
181	C₄×D₄	—	2	1	no	—
182	C₄×D₄	—	2	2	no	—
183	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	#117	—	2	8	no	—
186	#117	—	4	4	no	—
187	#117	—	4	4	no	—
188	#117	—	4	4	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
200	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
201	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
202	#107	—	2	4	no	—
203	#107	—	2	4	no	—
204	#107	—	2	2	no	—
205	#106	—	2	8	no	—
206	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
207	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
208	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
209	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
210	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
211	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
212	#102	—	2	8	no	—
213	#102	—	2	4	no	—
214	#102	—	2	4	no	—
215	#102	—	4	4	no	—
216	#102	—	4	8	no	—
217	#102	—	4	4	no	—
218	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
219	C₂²⋊C₈	—	8	4	no	—
220	C₄×C₈	—	2	1	no	—
221	C₄×C₈	—	2	1	no	—
222	C₄×C₈	—	2	1	no	—
223	C₄×C₈	—	4	2	no	—
224	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
225	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
226	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
227	#95	—	2	1	no	—
228	C₂⁴	—	2	1	no	—
229	C₂⁴	—	2	2	no	—
230	C₂⁴	—	4	2	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
233	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
234	C₂×D₄	—	2	2	no	—
235	C₂×D₄	—	2	1	no	—
236	C₂×D₄	—	2	2	no	—
237	C₂×D₄	—	2	2	no	—
238	C₂×D₄	—	2	2	no	—
239	C₂×D₄	—	2	2	no	—
240	C₂×D₄	—	2	2	no	—
241	C₂×D₄	—	2	2	no	—
242	C₂×D₄	—	2	2	no	—
243	C₂×D₄	—	4	8	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×D₄	—	4	2	no	—
247	C₂×D₄	—	4	2	no	—
248	C₂×D₄	—	4	2	no	—
249	C₂×D₄	—	4	2	no	—
250	C₂×D₄	—	4	4	no	—
251	C₂×D₄	—	4	2	no	—
252	C₂×D₄	—	4	2	no	—
253	C₂×D₄	—	4	4	no	—
254	C₂×D₄	—	4	2	no	—
255	C₂×D₄	—	4	2	no	—
256	C₂×D₄	—	8	4	no	—
257	C₂×D₄	—	8	8	no	—
258	C₂×D₄	—	8	8	no	—
259	C₂×D₄	—	16	4	no	—
260	C₂×D₄	—	16	4	no	—
261	C₂×D₄	#127	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
279	SD₁₆	—	8	16	no	—
280	D₈	—	4	4	no	—
281	D₈	—	8	4	no	—
282	D₈	—	8	8	no	—
283	D₈	—	8	8	no	—
284	D₈	—	8	4	no	—
285	C₂×C₈	—	2	4	no	—
286	C₂×C₈	—	2	2	no	—
287	C₂×C₈	—	2	1	no	—
288	C₂×C₈	—	2	1	no	—
289	C₂×C₈	—	2	2	no	—
290	C₂×C₈	—	2	2	no	—
291	C₂×C₈	—	2	2	no	—
292	C₂×C₈	—	2	2	no	—
293	C₂×C₈	—	2	2	no	—
294	C₂×C₈	—	4	1	no	—
295	C₂×C₈	—	4	1	no	—
296	C₂×C₈	—	4	1	no	—
297	C₂×C₈	—	4	1	no	—
298	C₂×C₈	—	4	8	no	—
299	C₂×C₈	—	4	2	no	—
300	C₂×C₈	—	4	4	no	—
301	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
302	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
303	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
304	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
305	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
306	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
307	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
309	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
311	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
312	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
313	C₄⋊C₄	#127	1	2	yes	—
314	C₄⋊C₄	#135	1	4	yes	—
315	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
322	C₄²	—	4	8	no	—
323	C₄²	—	4	1	no	—
324	C₄²	—	4	1	no	—
325	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
327	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
328	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
329	C₂³	—	2	2	no	—
330	C₂³	—	4	1	no	—
331	C₂³	—	4	2	no	—
332	C₂³	—	4	1	no	—
333	C₂³	—	4	2	no	—
334	C₂³	—	4	2	no	—
335	C₂³	—	4	2	no	—
336	C₂³	—	4	4	no	—
337	C₂³	—	4	2	no	—
338	C₂³	—	4	4	no	—
339	C₂³	—	8	2	no	—
340	C₂³	—	8	2	no	—
341	C₂³	—	8	4	no	—
342	C₂³	—	8	2	no	—
343	C₂³	—	8	4	no	—
344	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
345	Q₈	—	8	4	no	—
346	Q₈	—	16	2	no	—
347	D₄	—	2	2	no	—
348	D₄	—	2	2	no	—
349	D₄	—	4	2	no	—
350	D₄	—	4	2	no	—
351	D₄	—	4	2	no	—
352	D₄	—	4	2	no	—
353	D₄	—	4	2	no	—
354	D₄	—	8	4	no	—
355	D₄	—	8	2	no	—
356	D₄	—	8	2	no	—
357	D₄	—	8	2	no	—
358	D₄	—	8	2	no	—
359	D₄	—	8	2	no	—
360	D₄	—	8	2	no	—
361	D₄	—	8	4	no	—
362	D₄	—	16	2	no	—
363	D₄	—	16	16	no	—
364	D₄	—	16	8	no	—
365	C₂×C₄	—	2	2	no	—
366	C₂×C₄	—	2	2	no	—
367	C₂×C₄	—	2	4	no	—
368	C₂×C₄	—	4	2	no	—
369	C₂×C₄	—	4	1	no	—
370	C₂×C₄	—	4	1	no	—
371	C₂×C₄	—	4	2	no	—
372	C₂×C₄	—	4	2	no	—
373	C₂×C₄	—	4	2	no	—
374	C₂×C₄	—	4	2	no	—
375	C₂×C₄	—	4	2	no	—
376	C₂×C₄	—	4	2	no	—
377	C₂×C₄	—	4	4	no	—
378	C₂×C₄	—	4	4	no	—
379	C₂×C₄	—	8	4	no	—
380	C₂×C₄	—	8	2	no	—
381	C₂×C₄	—	8	2	no	—
382	C₂×C₄	—	8	4	no	—
383	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
388	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
391	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
392	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
395	C₈	—	2	4	no	—
396	C₈	—	2	2	no	—
397	C₈	—	4	2	no	—
398	C₈	—	4	2	no	—
399	C₈	—	4	2	no	—
400	C₈	—	8	2	no	—
401	C₈	#449	1	4	yes	—
402	C₂²	—	4	2	no	—
403	C₂²	—	4	2	no	—
404	C₂²	—	4	2	no	—
405	C₂²	—	8	2	no	—
406	C₂²	—	8	2	no	—
407	C₂²	—	8	4	no	—
408	C₂²	—	8	2	no	—
409	C₂²	—	8	2	no	—
410	C₂²	—	8	4	no	—
411	C₂²	—	8	2	no	—
412	C₂²	—	16	4	no	—
413	C₂²	—	16	2	no	—
414	C₂²	—	16	2	no	—
415	C₂²	—	16	4	no	—
416	C₂²	—	16	2	no	—
417	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
418	C₂²	#3272	1	1	yes	characteristic
419	C₂²	#3280	1	2	yes	—
420	C₂²	#3284	1	1	yes	characteristic
421	C₂²	#3292	1	2	yes	—
422	C₄	—	2	1	no	—
423	C₄	—	2	1	no	—
424	C₄	—	4	2	no	—
425	C₄	—	4	4	no	—
426	C₄	—	8	2	no	—
427	C₄	—	8	4	no	—
428	C₄	C₂×#449	1	1	yes	characteristic
429	C₄	#3010	1	1	yes	characteristic
430	C₄	#3147	1	1	yes	characteristic
431	C₄	#3155	1	1	yes	characteristic
432	C₄	#3272	1	1	yes	characteristic
433	C₄	#3284	1	1	yes	characteristic
434	C₄	#3287	1	2	yes	—
435	C₂	—	8	2	no	—
436	C₂	—	16	2	no	—
437	C₂	—	32	2	no	—
438	C₂	#19898	1	2	yes	—
439	C₂	#19994	1	2	yes	—
440	C₂	#25754	1	1	yes	characteristic
441	C₂	#25777	1	1	yes	characteristic
442	C₂	#25805	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3341	C₂	semidirect
2. #28458	C₂	semidirect
3. #25572	C₂	semidirect
4. C₂×#1706	C₂	semidirect
5. C₂×#1667	C₂	semidirect
6. C₂×#1624	C₂	semidirect
7. #10267	C₂	semidirect
8. #10054	C₂	semidirect
9. #9730	C₂	semidirect
10. #9657	C₂	semidirect
11. C₈×#102	C₂	semidirect
71. #500	D₄	semidirect
90. C₈×D₄	D₄	semidirect
121. D₄⋊C₈	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3341	2
#28458	2
#25572	2
C₂×#1706	2
C₂×#1667	2
C₂×#1624	2
#10267	2
#10054	2
#9730	2
#9657	2
C₈×#102	2