Subgroups — #300563

Order 512.

1226 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 432 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3391	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#28527	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#25755	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1674	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1641	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10266	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10052	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9734	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9657	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#103	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#550	C₂²	1	2	yes	—
13	#3391	—	2	4	no	—
14	#3391	—	2	4	no	—
15	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#493	—	2	1	no	—
17	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#474	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#462	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#459	—	2	2	no	—
23	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#452	—	2	4	no	—
25	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄×D₈	—	2	1	no	—
27	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#2542	C₂²	1	2	yes	—
29	#2093	—	2	2	no	—
30	#2000	—	2	4	no	—
31	#1982	C₂²	1	2	yes	—
32	#1970	—	2	1	no	—
33	#1954	C₂²	1	2	yes	—
34	#1845	—	2	1	no	—
35	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1706	—	2	4	no	—
38	#1674	—	2	4	no	—
39	#1641	—	2	8	no	—
40	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×#41	—	2	2	no	—
49	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
51	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
52	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
53	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
54	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
55	#550	—	2	4	no	—
56	#550	—	2	4	no	—
57	#550	—	2	4	no	—
58	#550	—	4	2	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×#127	—	2	2	no	—
61	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
63	C₂×#121	—	2	2	no	—
64	C₂×#121	—	4	2	no	—
65	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
68	#500	—	2	2	no	—
69	#500	—	2	2	no	—
70	#493	—	2	8	no	—
71	#493	—	2	2	no	—
72	#493	D₄	1	4	yes	—
73	#492	—	2	4	no	—
74	#492	—	4	2	no	—
75	#486	—	2	4	no	—
76	#486	—	2	4	no	—
77	#474	—	2	4	no	—
78	#474	—	4	2	no	—
79	#462	—	2	4	no	—
80	#462	—	2	4	no	—
81	#459	—	2	16	no	—
82	#459	—	2	4	no	—
83	#459	—	2	4	no	—
84	#452	—	4	16	no	—
85	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
86	C₈×Q₈	D₄	1	4	yes	—
87	C₄×D₈	—	2	8	no	—
88	C₄×D₈	—	2	2	no	—
89	C₄×D₈	—	2	2	no	—
90	C₂×#107	—	2	1	no	—
91	C₂×#107	—	2	1	no	—
92	C₂×#107	—	2	2	no	—
93	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
95	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×#103	—	2	2	no	—
99	C₂×#103	D₄	1	2	yes	—
100	C₂×#102	—	2	2	no	—
101	C₂×#102	—	2	2	no	—
102	C₂×#102	—	2	4	no	—
103	C₂×#102	—	4	2	no	—
104	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
105	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
106	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
107	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
108	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	#399	—	4	2	no	—
112	#390	—	2	2	no	—
113	#384	—	2	2	no	—
114	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
115	#340	D₄	1	2	yes	—
116	#336	—	2	1	no	—
117	#335	—	2	2	no	—
118	#332	—	2	4	no	—
119	#331	—	2	4	no	—
120	Q₈⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
121	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
122	C₈²	—	2	2	no	—
123	C₂×#41	—	4	4	no	—
124	C₂×#41	—	4	4	no	—
125	C₂×#41	—	4	8	no	—
126	C₂×#41	—	8	4	no	—
127	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
133	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
134	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
137	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
138	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
139	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
140	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
141	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
142	C₂×D₈	—	2	8	no	—
143	C₂×D₈	—	2	4	no	—
144	C₂×D₈	—	2	2	no	—
145	C₂×D₈	—	2	4	no	—
146	C₂×D₈	—	2	2	no	—
147	C₂×D₈	—	2	2	no	—
148	C₂×D₈	—	4	2	no	—
149	C₂×D₈	—	4	2	no	—
150	C₂×D₈	—	8	1	no	—
151	C₂×D₈	—	8	1	no	—
152	C₂×D₈	—	8	2	no	—
153	C₂×D₈	—	8	2	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
162	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
163	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
164	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
165	#127	—	2	8	no	—
166	#127	—	2	2	no	—
167	#127	—	2	2	no	—
168	#127	—	2	2	no	—
169	#127	—	4	4	no	—
170	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
171	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
172	C₂²⋊Q₈	—	8	4	no	—
173	#121	—	4	4	no	—
174	#121	—	4	8	no	—
175	#121	—	4	8	no	—
176	#121	—	4	4	no	—
177	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
178	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
179	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₄×D₄	—	2	8	no	—
182	C₄×D₄	—	2	2	no	—
183	C₄×D₄	—	2	2	no	—
184	C₄×D₄	—	2	2	no	—
185	C₄×D₄	—	2	2	no	—
186	C₄×D₄	—	4	4	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
197	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
198	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
199	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
200	#107	—	2	2	no	—
201	#107	—	4	4	no	—
202	#107	—	4	2	no	—
203	#107	—	4	2	no	—
204	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
205	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
206	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
207	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
208	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
209	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
210	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
211	#103	—	4	4	no	—
212	#103	D₈	1	8	yes	complemented
213	#102	—	2	8	no	—
214	#102	—	2	4	no	—
215	#102	—	4	4	no	—
216	#102	—	4	8	no	—
217	#102	—	4	8	no	—
218	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
219	C₄×C₈	—	2	4	no	—
220	C₄×C₈	—	2	1	no	—
221	C₄×C₈	—	2	1	no	—
222	C₄×C₈	—	2	1	no	—
223	C₄×C₈	—	4	2	no	—
224	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
225	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
226	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
227	#95	—	2	1	no	—
228	C₂⁴	—	2	2	no	—
229	C₂⁴	—	4	2	no	—
230	#41	—	8	16	no	—
231	#41	—	8	8	no	—
232	#41	—	8	8	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
239	C₂×Q₈	#127	1	2	yes	—
240	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
241	C₂×D₄	—	2	2	no	—
242	C₂×D₄	—	2	4	no	—
243	C₂×D₄	—	2	2	no	—
244	C₂×D₄	—	2	4	no	—
245	C₂×D₄	—	2	4	no	—
246	C₂×D₄	—	2	2	no	—
247	C₂×D₄	—	2	2	no	—
248	C₂×D₄	—	2	2	no	—
249	C₂×D₄	—	2	2	no	—
250	C₂×D₄	—	4	8	no	—
251	C₂×D₄	—	4	8	no	—
252	C₂×D₄	—	4	2	no	—
253	C₂×D₄	—	4	2	no	—
254	C₂×D₄	—	4	2	no	—
255	C₂×D₄	—	4	4	no	—
256	C₂×D₄	—	4	2	no	—
257	C₂×D₄	—	4	2	no	—
258	C₂×D₄	—	4	4	no	—
259	C₂×D₄	—	4	2	no	—
260	C₂×D₄	—	4	2	no	—
261	C₂×D₄	—	8	8	no	—
262	C₂×D₄	—	8	4	no	—
263	C₂×D₄	—	16	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
275	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
278	Q₁₆	—	8	8	no	—
279	SD₁₆	—	8	16	no	—
280	D₈	—	4	4	no	—
281	D₈	—	4	8	no	—
282	D₈	—	8	4	no	—
283	D₈	—	8	8	no	—
284	C₂×C₈	—	2	2	no	—
285	C₂×C₈	—	2	2	no	—
286	C₂×C₈	—	2	1	no	—
287	C₂×C₈	—	2	1	no	—
288	C₂×C₈	—	2	2	no	—
289	C₂×C₈	—	2	2	no	—
290	C₂×C₈	—	2	2	no	—
291	C₂×C₈	—	4	2	no	—
292	C₂×C₈	—	4	1	no	—
293	C₂×C₈	—	4	1	no	—
294	C₂×C₈	—	4	1	no	—
295	C₂×C₈	—	4	1	no	—
296	C₂×C₈	—	4	2	no	—
297	C₂×C₈	—	4	4	no	—
298	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
299	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
300	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
301	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
302	C₂×C₈	#137	1	2	yes	—
303	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
305	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
306	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
307	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
310	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
311	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
312	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
313	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
314	C₄⋊C₄	#127	1	2	yes	—
315	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
316	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
320	C₄²	—	2	2	no	—
321	C₄²	—	2	2	no	—
322	C₄²	—	4	1	no	—
323	C₄²	—	4	1	no	—
324	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
325	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
327	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
328	C₂³	—	4	4	no	—
329	C₂³	—	4	2	no	—
330	C₂³	—	4	2	no	—
331	C₂³	—	4	4	no	—
332	C₂³	—	4	2	no	—
333	C₂³	—	4	4	no	—
334	C₂³	—	8	2	no	—
335	C₂³	—	8	4	no	—
336	C₂³	—	8	2	no	—
337	C₂³	—	8	4	no	—
338	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
339	Q₈	—	2	2	no	—
340	Q₈	—	2	4	no	—
341	Q₈	—	8	2	no	—
342	Q₈	—	8	2	no	—
343	Q₈	—	8	4	no	—
344	Q₈	#493	1	4	yes	—
345	D₄	—	4	2	no	—
346	D₄	—	4	4	no	—
347	D₄	—	4	2	no	—
348	D₄	—	4	4	no	—
349	D₄	—	4	2	no	—
350	D₄	—	4	8	no	—
351	D₄	—	4	2	no	—
352	D₄	—	8	4	no	—
353	D₄	—	8	16	no	—
354	D₄	—	8	2	no	—
355	D₄	—	8	2	no	—
356	D₄	—	8	2	no	—
357	D₄	—	8	2	no	—
358	D₄	—	16	2	no	—
359	D₄	—	16	8	no	—
360	C₂×C₄	—	2	2	no	—
361	C₂×C₄	—	2	4	no	—
362	C₂×C₄	—	2	2	no	—
363	C₂×C₄	—	2	2	no	—
364	C₂×C₄	—	2	4	no	—
365	C₂×C₄	—	4	2	no	—
366	C₂×C₄	—	4	2	no	—
367	C₂×C₄	—	4	2	no	—
368	C₂×C₄	—	4	2	no	—
369	C₂×C₄	—	4	4	no	—
370	C₂×C₄	—	8	16	no	—
371	C₂×C₄	—	8	2	no	—
372	C₂×C₄	—	8	2	no	—
373	C₂×C₄	—	8	4	no	—
374	C₂×C₄	—	8	2	no	—
375	C₂×C₄	—	8	4	no	—
376	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
388	C₈	—	2	2	no	—
389	C₈	—	2	4	no	—
390	C₈	—	4	2	no	—
391	C₈	—	4	2	no	—
392	C₈	—	4	2	no	—
393	C₈	—	8	2	no	—
394	C₈	#452	1	4	yes	complemented
395	C₂²	—	8	4	no	—
396	C₂²	—	8	2	no	—
397	C₂²	—	8	4	no	—
398	C₂²	—	8	4	no	—
399	C₂²	—	8	4	no	—
400	C₂²	—	8	2	no	—
401	C₂²	—	8	4	no	—
402	C₂²	—	8	2	no	—
403	C₂²	—	16	4	no	—
404	C₂²	—	16	4	no	—
405	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
406	C₂²	#3278	1	1	yes	characteristic
407	C₂²	D₄×D₈	1	2	yes	—
408	C₂²	#3284	1	1	yes	characteristic
409	C₂²	#3290	1	2	yes	—
410	C₄	—	2	4	no	—
411	C₄	—	2	1	no	—
412	C₄	—	2	1	no	—
413	C₄	—	4	4	no	—
414	C₄	—	4	2	no	—
415	C₄	—	8	2	no	—
416	C₄	—	16	2	no	—
417	C₄	C₂×#452	1	1	yes	characteristic
418	C₄	#3009	1	1	yes	characteristic
419	C₄	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
420	C₄	#3155	1	1	yes	characteristic
421	C₄	#3278	1	1	yes	characteristic
422	C₄	D₄×D₈	1	2	yes	—
423	C₄	#3284	1	1	yes	characteristic
424	C₂	—	16	2	no	—
425	C₂	—	16	4	no	—
426	C₂	#19889	1	2	yes	—
427	C₂	#19972	1	2	yes	—
428	C₂	#25755	1	1	yes	characteristic
429	C₂	#25779	1	1	yes	characteristic
430	C₂	#25804	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#3391	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #28527	C₂	semidirect
3. #25755	C₂	semidirect
4. C₂×#1706	C₂	semidirect
5. C₂×#1674	C₂	semidirect
6. C₂×#1641	C₂	semidirect
7. #10266	C₂	semidirect
8. #10052	C₂	semidirect
9. #9734	C₂	semidirect
10. #9657	C₂	semidirect
11. C₈×#103	C₂	semidirect
212. #103	D₈	semidirect
394. C₈	#452	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3391	2
#28527	2
#25755	2
C₂×#1706	2
C₂×#1674	2
C₂×#1641	2
#10266	2
#10052	2
#9734	2
#9657	2
C₈×#103	2