Subgroups — #300565

Order 512.

1008 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 401 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3396	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#28531	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#25648	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1676	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1630	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10269	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10049	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9734	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#9656	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#103	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#559	C₂²	1	2	yes	—
13	#3396	—	2	4	no	—
14	#3396	—	2	4	no	—
15	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#495	—	2	1	no	—
17	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#477	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#477	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#460	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#463	—	2	2	no	—
24	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄×D₈	—	2	1	no	—
27	#2567	C₂²	1	2	yes	—
28	#2095	—	2	2	no	—
29	#2042	—	2	4	no	—
30	#1984	C₂²	1	2	yes	—
31	#1982	C₂²	1	2	yes	—
32	#1969	—	2	1	no	—
33	#1862	—	2	4	no	—
34	#1845	—	2	1	no	—
35	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1706	—	2	4	no	—
38	#1676	—	2	4	no	—
39	#1630	—	2	8	no	—
40	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂²×SD₁₆	—	4	2	no	—
51	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
52	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
53	#559	—	2	4	no	—
54	#559	—	2	4	no	—
55	#559	—	2	4	no	—
56	#559	—	4	2	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×#124	—	2	2	no	—
60	C₂×#124	—	2	2	no	—
61	C₂×#123	—	4	2	no	—
62	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
66	#500	—	2	2	no	—
67	#500	—	2	2	no	—
68	#495	—	2	8	no	—
69	#493	—	2	2	no	—
70	#493	D₄	1	4	yes	—
71	#492	—	2	4	no	—
72	#492	—	2	4	no	—
73	#486	—	2	4	no	—
74	#486	—	4	2	no	—
75	#477	—	2	4	no	—
76	#477	—	2	4	no	—
77	#477	—	2	4	no	—
78	#477	—	4	2	no	—
79	#463	—	2	16	no	—
80	#460	—	2	4	no	—
81	#460	—	2	4	no	—
82	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
83	C₈×Q₈	D₄	1	4	yes	—
84	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
85	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
86	C₄×D₈	—	2	8	no	—
87	C₂×#107	—	2	1	no	—
88	C₂×#107	—	2	1	no	—
89	C₂×#107	—	2	2	no	—
90	C₂×#107	—	2	2	no	—
91	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
93	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×#103	—	2	2	no	—
97	C₂×#103	—	2	2	no	—
98	C₂×#103	D₄	1	2	yes	—
99	C₂×#103	D₄	1	2	yes	—
100	C₂×#102	—	2	2	no	—
101	C₂×#102	—	2	4	no	—
102	C₂×#102	—	2	4	no	—
103	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
104	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
105	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	#395	—	4	2	no	—
109	#391	—	2	2	no	—
110	#389	—	2	4	no	—
111	#384	—	2	2	no	—
112	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	#340	D₄	1	2	yes	—
114	#336	—	2	1	no	—
115	#336	—	2	4	no	—
116	#335	—	2	2	no	—
117	#333	—	2	4	no	—
118	#331	—	2	4	no	—
119	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
120	Q₈⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
121	C₈²	—	2	2	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
128	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
129	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
133	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
134	C₂×SD₁₆	—	8	8	no	—
135	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
136	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
137	C₂×D₈	—	2	4	no	—
138	C₂×D₈	—	2	4	no	—
139	C₂×D₈	—	4	2	no	—
140	C₂×D₈	—	4	2	no	—
141	C₂×D₈	—	8	1	no	—
142	C₂×D₈	—	8	1	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
154	#127	—	2	2	no	—
155	#127	—	2	2	no	—
156	#127	—	2	2	no	—
157	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	#124	—	2	8	no	—
159	#124	—	4	4	no	—
160	#124	—	4	4	no	—
161	#124	—	4	4	no	—
162	#123	—	4	8	no	—
163	#123	—	4	8	no	—
164	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
165	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
166	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
167	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
168	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
169	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
170	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₄×D₄	—	2	8	no	—
173	C₄×D₄	—	4	4	no	—
174	C₄×D₄	—	4	4	no	—
175	C₄×D₄	—	4	4	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
190	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
191	#107	—	2	2	no	—
192	#107	—	4	4	no	—
193	#107	—	4	2	no	—
194	#107	—	4	2	no	—
195	#107	—	4	4	no	—
196	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
197	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
198	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
199	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
200	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
201	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	#103	—	2	4	no	—
204	#103	—	2	4	no	—
205	#103	—	4	4	no	—
206	#103	—	4	4	no	—
207	#102	—	2	8	no	—
208	#102	—	4	8	no	—
209	#102	—	4	8	no	—
210	C₄×C₈	—	2	4	no	—
211	C₄×C₈	—	2	1	no	—
212	C₄×C₈	—	2	1	no	—
213	C₄×C₈	—	2	1	no	—
214	C₄×C₈	—	4	2	no	—
215	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
216	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
217	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
218	#95	—	2	1	no	—
219	#95	—	4	4	no	—
220	C₂⁴	—	4	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
233	C₂×Q₈	#127	1	2	yes	—
234	C₂×D₄	—	2	4	no	—
235	C₂×D₄	—	2	4	no	—
236	C₂×D₄	—	2	4	no	—
237	C₂×D₄	—	4	2	no	—
238	C₂×D₄	—	4	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	4	no	—
241	C₂×D₄	—	4	2	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	4	no	—
246	C₂×D₄	—	8	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	16	4	no	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
258	Q₁₆	—	4	4	no	—
259	SD₁₆	—	8	16	no	—
260	SD₁₆	—	8	8	no	—
261	D₈	—	4	8	no	—
262	D₈	—	8	4	no	—
263	C₂×C₈	—	2	4	no	—
264	C₂×C₈	—	2	2	no	—
265	C₂×C₈	—	2	1	no	—
266	C₂×C₈	—	2	1	no	—
267	C₂×C₈	—	2	2	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	2	2	no	—
270	C₂×C₈	—	2	2	no	—
271	C₂×C₈	—	2	2	no	—
272	C₂×C₈	—	4	1	no	—
273	C₂×C₈	—	4	1	no	—
274	C₂×C₈	—	4	1	no	—
275	C₂×C₈	—	4	1	no	—
276	C₂×C₈	—	4	2	no	—
277	C₂×C₈	—	4	4	no	—
278	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
279	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
280	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
281	C₂×C₈	#137	1	2	yes	—
282	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	16	4	no	—
295	C₄⋊C₄	#127	1	2	yes	—
296	C₄⋊C₄	#135	1	4	yes	—
297	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
300	C₄²	—	2	2	no	—
301	C₄²	—	2	2	no	—
302	C₄²	—	4	2	no	—
303	C₄²	—	4	2	no	—
304	C₄²	—	4	1	no	—
305	C₄²	—	4	1	no	—
306	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
308	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
309	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
310	C₂³	—	4	4	no	—
311	C₂³	—	8	2	no	—
312	C₂³	—	8	2	no	—
313	C₂³	—	8	4	no	—
314	C₂³	—	8	4	no	—
315	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
316	Q₈	—	2	2	no	—
317	Q₈	—	2	2	no	—
318	Q₈	—	4	2	no	—
319	Q₈	—	4	2	no	—
320	Q₈	—	4	2	no	—
321	Q₈	—	4	2	no	—
322	Q₈	—	4	2	no	—
323	Q₈	—	8	4	no	—
324	Q₈	—	16	2	no	—
325	D₄	—	4	4	no	—
326	D₄	—	4	4	no	—
327	D₄	—	4	8	no	—
328	D₄	—	8	4	no	—
329	D₄	—	8	2	no	—
330	D₄	—	8	2	no	—
331	D₄	—	8	2	no	—
332	D₄	—	8	2	no	—
333	D₄	—	16	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	8	2	no	—
348	C₂×C₄	—	8	4	no	—
349	C₂×C₄	—	16	8	no	—
350	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
362	C₈	—	2	4	no	—
363	C₈	—	2	2	no	—
364	C₈	—	4	2	no	—
365	C₈	—	4	2	no	—
366	C₈	—	4	2	no	—
367	C₈	—	8	2	no	—
368	C₈	#452	1	4	yes	—
369	C₂²	—	8	4	no	—
370	C₂²	—	8	4	no	—
371	C₂²	—	8	4	no	—
372	C₂²	—	16	4	no	—
373	C₂²	—	16	4	no	—
374	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	#3278	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	#3284	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	#3285	1	2	yes	—
378	C₂²	#3292	1	2	yes	—
379	C₄	—	2	1	no	—
380	C₄	—	2	1	no	—
381	C₄	—	4	4	no	—
382	C₄	—	4	2	no	—
383	C₄	—	4	2	no	—
384	C₄	—	8	2	no	—
385	C₄	—	8	2	no	—
386	C₄	—	16	2	no	—
387	C₄	C₂×#452	1	1	yes	characteristic
388	C₄	#3009	1	1	yes	characteristic
389	C₄	#3147	1	1	yes	characteristic
390	C₄	#3156	1	1	yes	characteristic
391	C₄	#3278	1	1	yes	characteristic
392	C₄	#3283	1	2	yes	—
393	C₄	#3284	1	1	yes	characteristic
394	C₂	—	16	4	no	—
395	C₂	#19942	1	2	yes	—
396	C₂	#20012	1	2	yes	—
397	C₂	#25755	1	1	yes	characteristic
398	C₂	#25778	1	1	yes	characteristic
399	C₂	#25805	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#493	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #28531	C₂	semidirect
3. #25648	C₂	semidirect
5. C₂×#1676	C₂	semidirect
6. C₂×#1630	C₂	semidirect
7. #10269	C₂	semidirect
8. #10049	C₂	semidirect
10. #9656	C₂	semidirect
11. C₈×#103	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3396	2
#28531	2
#25648	2
C₂×#1706	2
C₂×#1676	2
C₂×#1630	2
#10269	2
#10049	2
#9734	2
#9656	2
C₈×#103	2