Subgroups — #300575

Order 512.

1262 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 436 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×Q₈×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#28458	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#25756	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1668	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1627	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10266	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10070	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9731	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9657	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#103	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
13	Q₈×D₈	—	2	4	no	—
14	Q₈×D₈	—	2	4	no	—
15	C₂×#500	—	2	1	no	—
16	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#493	—	2	1	no	—
18	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#474	—	2	2	no	—
22	C₂×#474	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#460	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#448	—	2	4	no	—
26	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄×D₈	—	2	1	no	—
28	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#2541	C₂²	1	2	yes	—
30	#2011	—	2	2	no	—
31	#2000	—	2	4	no	—
32	#1981	C₂²	1	2	yes	—
33	#1970	—	2	1	no	—
34	#1954	C₂²	1	2	yes	—
35	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1706	—	2	4	no	—
38	#1668	—	2	4	no	—
39	#1627	—	2	8	no	—
40	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
49	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
51	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
52	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
53	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
54	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
55	D₄×Q₈	—	2	4	no	—
56	D₄×Q₈	—	2	4	no	—
57	D₄×Q₈	—	2	4	no	—
58	D₄×Q₈	—	4	2	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#127	—	2	2	no	—
62	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
65	C₂×#121	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
69	#500	—	2	8	no	—
70	#500	—	2	2	no	—
71	#500	D₄	1	4	yes	complemented
72	#493	—	2	2	no	—
73	#493	—	2	2	no	—
74	#493	—	4	4	no	—
75	#492	—	2	4	no	—
76	#492	—	4	2	no	—
77	#486	—	2	4	no	—
78	#486	—	2	4	no	—
79	#474	—	2	16	no	—
80	#474	—	2	4	no	—
81	#474	—	2	4	no	—
82	#460	—	2	4	no	—
83	#460	—	2	4	no	—
84	#459	—	2	4	no	—
85	#459	—	4	2	no	—
86	#448	—	4	16	no	—
87	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
88	C₈×Q₈	D₄	1	4	yes	complemented
89	C₄×D₈	—	2	8	no	—
90	C₄×D₈	—	2	2	no	—
91	C₄×D₈	—	2	2	no	—
92	C₂×#107	—	2	1	no	—
93	C₂×#107	—	2	1	no	—
94	C₂×#107	—	2	2	no	—
95	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
97	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×#103	—	2	4	no	—
101	C₂×#103	D₄	1	2	yes	—
102	C₂×#102	—	2	2	no	—
103	C₂×#102	—	2	2	no	—
104	C₂×#102	—	2	2	no	—
105	C₂×#102	—	4	2	no	—
106	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
108	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
109	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
110	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	#392	—	4	2	no	—
114	#390	—	2	2	no	—
115	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	#340	D₄	1	2	yes	—
117	#336	—	2	1	no	—
118	#335	—	2	2	no	—
119	#332	—	2	4	no	—
120	#331	—	2	4	no	—
121	Q₈⋊C₈	D₄	1	4	yes	complemented
122	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
123	C₈²	—	2	2	no	—
124	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
126	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
127	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
128	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
129	C₂²×Q₈	—	8	4	no	—
130	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
133	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
134	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
135	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
137	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
138	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
139	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
140	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
141	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
142	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
143	C₂×D₈	—	2	2	no	—
144	C₂×D₈	—	2	2	no	—
145	C₂×D₈	—	4	4	no	—
146	C₂×D₈	—	4	4	no	—
147	C₂×D₈	—	4	2	no	—
148	C₂×D₈	—	4	2	no	—
149	C₂×D₈	—	4	2	no	—
150	C₂×D₈	—	4	2	no	—
151	C₂×D₈	—	8	1	no	—
152	C₂×D₈	—	8	1	no	—
153	C₂×D₈	—	8	2	no	—
154	C₂×D₈	SD₁₆	1	4	yes	complemented
155	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
163	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
164	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
165	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
166	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
167	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	#127	—	2	2	no	—
169	#127	—	2	2	no	—
170	#127	—	2	2	no	—
171	#127	—	2	2	no	—
172	#127	—	4	4	no	—
173	#127	—	8	2	no	—
174	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
175	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
176	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
177	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
178	#121	—	4	8	no	—
179	#121	—	8	4	no	—
180	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
181	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
182	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₄×D₄	—	2	8	no	—
185	C₄×D₄	—	2	2	no	—
186	C₄×D₄	—	2	2	no	—
187	C₄×D₄	—	2	2	no	—
188	C₄×D₄	—	2	2	no	—
189	C₄×D₄	—	4	4	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
200	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
202	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
203	#107	—	2	8	no	—
204	#107	—	2	4	no	—
205	#107	—	2	4	no	—
206	#107	—	2	2	no	—
207	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
208	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
209	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
210	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
211	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
212	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
214	#103	—	4	8	no	—
215	#103	D₈	1	8	yes	complemented
216	#102	—	2	8	no	—
217	#102	—	2	4	no	—
218	#102	—	4	4	no	—
219	#102	—	4	8	no	—
220	#102	—	4	4	no	—
221	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
222	C₄×C₈	—	2	4	no	—
223	C₄×C₈	—	2	1	no	—
224	C₄×C₈	—	2	1	no	—
225	C₄×C₈	—	2	1	no	—
226	C₄×C₈	—	4	2	no	—
227	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
228	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
229	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
230	#95	—	2	1	no	—
231	C₂⁴	—	2	2	no	—
232	C₂⁴	—	4	2	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
237	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
239	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
240	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
241	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
242	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
243	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
244	C₂×Q₈	#127	1	2	yes	—
245	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
246	C₂×D₄	—	2	2	no	—
247	C₂×D₄	—	2	2	no	—
248	C₂×D₄	—	2	2	no	—
249	C₂×D₄	—	2	2	no	—
250	C₂×D₄	—	2	2	no	—
251	C₂×D₄	—	4	2	no	—
252	C₂×D₄	—	4	2	no	—
253	C₂×D₄	—	4	2	no	—
254	C₂×D₄	—	4	2	no	—
255	C₂×D₄	—	4	2	no	—
256	C₂×D₄	—	4	2	no	—
257	C₂×D₄	—	4	4	no	—
258	C₂×D₄	—	4	2	no	—
259	C₂×D₄	—	4	2	no	—
260	C₂×D₄	—	4	4	no	—
261	C₂×D₄	—	4	2	no	—
262	C₂×D₄	—	4	2	no	—
263	C₂×D₄	—	8	4	no	—
264	C₂×D₄	—	8	8	no	—
265	C₂×D₄	—	8	8	no	—
266	C₂×D₄	—	16	4	no	—
267	C₂×D₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
282	SD₁₆	—	8	16	no	—
283	SD₁₆	—	8	8	no	—
284	D₈	—	2	8	no	—
285	D₈	—	8	4	no	—
286	D₈	—	8	8	no	—
287	D₈	—	8	4	no	—
288	C₂×C₈	—	2	2	no	—
289	C₂×C₈	—	2	2	no	—
290	C₂×C₈	—	2	1	no	—
291	C₂×C₈	—	2	1	no	—
292	C₂×C₈	—	2	2	no	—
293	C₂×C₈	—	2	2	no	—
294	C₂×C₈	—	2	2	no	—
295	C₂×C₈	—	4	2	no	—
296	C₂×C₈	—	4	1	no	—
297	C₂×C₈	—	4	1	no	—
298	C₂×C₈	—	4	1	no	—
299	C₂×C₈	—	4	1	no	—
300	C₂×C₈	—	4	2	no	—
301	C₂×C₈	—	4	4	no	—
302	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
303	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
304	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
305	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
306	C₂×C₈	#137	1	2	yes	—
307	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
309	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
313	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
314	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
316	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
318	C₄⋊C₄	#127	1	2	yes	—
319	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
320	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
324	C₄²	—	2	2	no	—
325	C₄²	—	2	2	no	—
326	C₄²	—	4	1	no	—
327	C₄²	—	4	1	no	—
328	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
329	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
330	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
331	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
332	C₂³	—	2	4	no	—
333	C₂³	—	4	2	no	—
334	C₂³	—	4	2	no	—
335	C₂³	—	4	4	no	—
336	C₂³	—	4	4	no	—
337	C₂³	—	8	2	no	—
338	C₂³	—	8	2	no	—
339	C₂³	—	8	4	no	—
340	C₂³	—	8	2	no	—
341	C₂³	—	8	4	no	—
342	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
343	Q₈	—	2	2	no	—
344	Q₈	—	2	4	no	—
345	Q₈	—	4	8	no	—
346	Q₈	—	8	16	no	—
347	Q₈	—	8	2	no	—
348	Q₈	—	8	2	no	—
349	Q₈	#493	1	4	yes	complemented
350	D₄	—	2	4	no	—
351	D₄	—	2	4	no	—
352	D₄	—	4	2	no	—
353	D₄	—	4	2	no	—
354	D₄	—	8	4	no	—
355	D₄	—	8	2	no	—
356	D₄	—	8	2	no	—
357	D₄	—	8	2	no	—
358	D₄	—	8	2	no	—
359	D₄	—	8	2	no	—
360	D₄	—	8	4	no	—
361	D₄	—	8	2	no	—
362	D₄	—	16	2	no	—
363	D₄	—	16	16	no	—
364	C₂×C₄	—	2	2	no	—
365	C₂×C₄	—	2	4	no	—
366	C₂×C₄	—	2	2	no	—
367	C₂×C₄	—	2	2	no	—
368	C₂×C₄	—	2	4	no	—
369	C₂×C₄	—	4	2	no	—
370	C₂×C₄	—	4	2	no	—
371	C₂×C₄	—	4	2	no	—
372	C₂×C₄	—	4	2	no	—
373	C₂×C₄	—	4	4	no	—
374	C₂×C₄	—	4	4	no	—
375	C₂×C₄	—	8	16	no	—
376	C₂×C₄	—	8	4	no	—
377	C₂×C₄	—	8	2	no	—
378	C₂×C₄	—	8	2	no	—
379	C₂×C₄	—	8	4	no	—
380	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
388	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
391	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
392	C₈	—	2	2	no	—
393	C₈	—	2	4	no	—
394	C₈	—	4	2	no	—
395	C₈	—	4	2	no	—
396	C₈	—	4	2	no	—
397	C₈	—	8	2	no	—
398	C₈	#448	1	4	yes	complemented
399	C₂²	—	4	8	no	—
400	C₂²	—	4	4	no	—
401	C₂²	—	8	4	no	—
402	C₂²	—	8	2	no	—
403	C₂²	—	8	2	no	—
404	C₂²	—	16	4	no	—
405	C₂²	—	16	2	no	—
406	C₂²	—	16	4	no	—
407	C₂²	—	16	2	no	—
408	C₂²	—	16	2	no	—
409	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
410	C₂²	#3278	1	1	yes	characteristic
411	C₂²	D₄×D₈	1	2	yes	—
412	C₂²	D₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
413	C₂²	#3290	1	2	yes	—
414	C₄	—	2	4	no	—
415	C₄	—	2	1	no	—
416	C₄	—	2	1	no	—
417	C₄	—	4	4	no	—
418	C₄	—	4	2	no	—
419	C₄	—	8	2	no	—
420	C₄	—	8	4	no	—
421	C₄	C₂×#448	1	1	yes	characteristic
422	C₄	#3010	1	1	yes	characteristic
423	C₄	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
424	C₄	#3155	1	1	yes	characteristic
425	C₄	#3278	1	1	yes	characteristic
426	C₄	D₄×D₈	1	2	yes	—
427	C₄	D₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
428	C₂	—	8	4	no	—
429	C₂	—	32	2	no	—
430	C₂	#19889	1	2	yes	—
431	C₂	D₈×SD₁₆	1	2	yes	—
432	C₂	#25756	1	1	yes	characteristic
433	C₂	#25779	1	1	yes	characteristic
434	C₂	#25803	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#28458	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×Q₈×D₈	C₂	semidirect
3. #25756	C₂	semidirect
4. C₂×#1706	C₂	semidirect
5. C₂×#1668	C₂	semidirect
6. C₂×#1627	C₂	semidirect
7. #10266	C₂	semidirect
8. #10070	C₂	semidirect
9. #9731	C₂	semidirect
10. #9657	C₂	semidirect
11. C₈×#103	C₂	semidirect
71. #500	D₄	semidirect
88. C₈×Q₈	D₄	semidirect
121. Q₈⋊C₈	D₄	semidirect
154. C₂×D₈	SD₁₆	semidirect
215. #103	D₈	semidirect
349. Q₈	#493	semidirect
398. C₈	#448	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×Q₈×D₈	2
#28458	2
#25756	2
C₂×#1706	2
C₂×#1668	2
C₂×#1627	2
#10266	2
#10070	2
#9731	2
#9657	2
C₈×#103	2