Subgroups — #300576

Order 512.

956 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 386 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×Q₈×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#28462	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#25837	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1707	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1670	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×#1645	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10273	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10059	C₂	1	2	yes	maximal
9	#9730	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#9656	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₈×#103	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×Q₈²	C₂²	1	2	yes	—
13	Q₈×Q₁₆	—	2	4	no	—
14	Q₈×Q₁₆	—	2	4	no	—
15	C₂×#500	—	2	1	no	—
16	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#494	—	2	1	no	—
19	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#477	—	2	2	no	—
22	C₂×#477	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#475	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#462	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄×Q₁₆	—	2	1	no	—
27	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#2546	C₂²	1	2	yes	—
29	#2058	—	2	4	no	—
30	#2016	—	2	2	no	—
31	#1987	C₂²	1	2	yes	—
32	#1984	C₂²	1	2	yes	—
33	#1969	—	2	1	no	—
34	#1865	—	2	4	no	—
35	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1707	—	2	4	no	—
38	#1670	—	2	4	no	—
39	#1645	—	2	8	no	—
40	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
50	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
51	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
52	Q₈²	—	2	4	no	—
53	Q₈²	—	2	4	no	—
54	Q₈²	—	2	4	no	—
55	Q₈²	—	4	2	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#500	—	2	8	no	—
67	#500	—	2	2	no	—
68	#500	D₄	1	4	yes	—
69	#498	—	2	4	no	—
70	#498	—	4	2	no	—
71	#494	—	2	2	no	—
72	#494	—	2	2	no	—
73	#494	—	4	4	no	—
74	#487	—	2	4	no	—
75	#487	—	2	4	no	—
76	#477	—	2	16	no	—
77	#477	—	2	4	no	—
78	#477	—	2	4	no	—
79	#475	—	2	4	no	—
80	#475	—	2	4	no	—
81	#462	—	2	4	no	—
82	#462	—	4	2	no	—
83	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
84	C₈×Q₈	D₄	1	4	yes	—
85	C₄×Q₁₆	—	2	8	no	—
86	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
87	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
88	C₂×#107	—	2	1	no	—
89	C₂×#107	—	2	1	no	—
90	C₂×#107	—	2	2	no	—
91	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×#106	—	2	4	no	—
93	C₂×#106	—	2	2	no	—
94	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
95	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×#103	—	2	2	no	—
99	C₂×#103	—	2	2	no	—
100	C₂×#103	—	2	2	no	—
101	C₂×#103	—	4	2	no	—
102	C₂×#103	D₄	1	2	yes	—
103	C₂×#103	D₄	1	2	yes	—
104	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
105	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	#398	—	4	2	no	—
110	#391	—	2	2	no	—
111	#389	—	2	4	no	—
112	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	#340	—	2	4	no	—
114	#340	D₄	1	2	yes	—
115	#336	—	2	4	no	—
116	#336	—	2	1	no	—
117	#335	—	2	2	no	—
118	#333	—	2	4	no	—
119	#332	—	2	4	no	—
120	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
121	Q₈⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
122	C₈²	—	2	2	no	—
123	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
126	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
131	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
132	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
133	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
134	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
135	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
136	C₂×Q₁₆	—	8	1	no	—
137	C₂×Q₁₆	—	8	1	no	—
138	C₂×Q₁₆	—	8	2	no	—
139	C₂×Q₁₆	SD₁₆	1	4	yes	—
140	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
161	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
162	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
163	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
164	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
165	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
166	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
167	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
168	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
169	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
170	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
171	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
172	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
173	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
190	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
191	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
192	#107	—	2	8	no	—
193	#107	—	2	4	no	—
194	#107	—	2	4	no	—
195	#107	—	2	2	no	—
196	#106	—	4	8	no	—
197	#106	—	4	4	no	—
198	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
199	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
200	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
201	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
202	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
203	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	#103	—	2	8	no	—
206	#103	—	2	4	no	—
207	#103	—	4	4	no	—
208	#103	—	4	8	no	—
209	#103	—	4	4	no	—
210	#103	Q₁₆	1	8	yes	complemented
211	C₄×C₈	—	2	4	no	—
212	C₄×C₈	—	2	1	no	—
213	C₄×C₈	—	2	1	no	—
214	C₄×C₈	—	2	1	no	—
215	C₄×C₈	—	4	2	no	—
216	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
217	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
218	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
219	#95	—	2	1	no	—
220	#95	—	4	4	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
238	C₂×Q₈	—	16	4	no	—
239	C₂×Q₈	#127	1	2	yes	—
240	C₂×Q₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
241	C₂×Q₈	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
252	Q₁₆	—	2	8	no	—
253	Q₁₆	—	8	4	no	—
254	Q₁₆	—	8	8	no	—
255	Q₁₆	—	8	4	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	1	no	—
258	C₂×C₈	—	2	1	no	—
259	C₂×C₈	—	2	2	no	—
260	C₂×C₈	—	2	2	no	—
261	C₂×C₈	—	2	2	no	—
262	C₂×C₈	—	2	2	no	—
263	C₂×C₈	—	4	2	no	—
264	C₂×C₈	—	4	1	no	—
265	C₂×C₈	—	4	1	no	—
266	C₂×C₈	—	4	1	no	—
267	C₂×C₈	—	4	1	no	—
268	C₂×C₈	—	4	2	no	—
269	C₂×C₈	—	4	4	no	—
270	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
271	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
272	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
273	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
274	C₂×C₈	#137	1	2	yes	—
275	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
294	C₄⋊C₄	#127	1	2	yes	—
295	C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
296	C₄²	—	2	2	no	—
297	C₄²	—	2	2	no	—
298	C₄²	—	4	8	no	—
299	C₄²	—	4	2	no	—
300	C₄²	—	4	2	no	—
301	C₄²	—	4	1	no	—
302	C₄²	—	4	1	no	—
303	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
304	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
305	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
306	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
307	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
308	Q₈	—	2	2	no	—
309	Q₈	—	2	4	no	—
310	Q₈	—	2	4	no	—
311	Q₈	—	2	4	no	—
312	Q₈	—	4	2	no	—
313	Q₈	—	4	2	no	—
314	Q₈	—	8	4	no	—
315	Q₈	—	8	2	no	—
316	Q₈	—	8	2	no	—
317	Q₈	—	8	2	no	—
318	Q₈	—	8	2	no	—
319	Q₈	—	16	2	no	—
320	Q₈	—	16	8	no	—
321	Q₈	#494	1	4	yes	complemented
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	4	no	—
336	C₂×C₄	—	8	4	no	—
337	C₂×C₄	—	8	2	no	—
338	C₂×C₄	—	8	2	no	—
339	C₂×C₄	—	8	2	no	—
340	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
352	C₈	—	2	2	no	—
353	C₈	—	2	4	no	—
354	C₈	—	4	2	no	—
355	C₈	—	4	2	no	—
356	C₈	—	4	2	no	—
357	C₈	—	8	2	no	—
358	C₈	#448	1	4	yes	—
359	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	#3278	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	D₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	D₄×Q₁₆	1	2	yes	—
363	C₂²	#3290	1	2	yes	—
364	C₄	—	2	4	no	—
365	C₄	—	2	1	no	—
366	C₄	—	2	1	no	—
367	C₄	—	4	4	no	—
368	C₄	—	4	4	no	—
369	C₄	—	4	2	no	—
370	C₄	—	8	2	no	—
371	C₄	—	8	4	no	—
372	C₄	—	16	2	no	—
373	C₄	C₂×#448	1	1	yes	characteristic
374	C₄	#3010	1	1	yes	characteristic
375	C₄	C₂×#494	1	1	yes	characteristic
376	C₄	#3156	1	1	yes	characteristic
377	C₄	#3278	1	1	yes	characteristic
378	C₄	D₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
379	C₄	D₄×Q₁₆	1	2	yes	—
380	C₂	#19932	1	2	yes	—
381	C₂	SD₁₆×Q₁₆	1	2	yes	—
382	C₂	#25756	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#25780	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#25804	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
210. #103	Q₁₆	semidirect
321. Q₈	#494	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×Q₈×Q₁₆	2
#28462	2
#25837	2
C₂×#1707	2
C₂×#1670	2
C₂×#1645	2
#10273	2
#10059	2
#9730	2
#9656	2
C₈×#103	2