Subgroups — #300580

Order 512.

1038 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 406 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×Q₈×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#28463	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#25932	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1668	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×#1623	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10269	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10055	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9730	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9656	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#103	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×Q₈²	C₂²	1	2	yes	—
13	Q₈×Q₁₆	—	2	4	no	—
14	Q₈×Q₁₆	—	2	4	no	—
15	C₂×#500	—	2	1	no	—
16	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#495	—	2	1	no	—
18	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#477	—	2	2	no	—
22	C₂×#477	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#460	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#460	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄×Q₁₆	—	2	1	no	—
27	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#2548	C₂²	1	2	yes	—
29	#2023	—	2	4	no	—
30	#2012	—	2	2	no	—
31	#1987	C₂²	1	2	yes	—
32	#1984	C₂²	1	2	yes	—
33	#1970	—	2	1	no	—
34	#1880	—	2	4	no	—
35	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1706	—	2	4	no	—
38	#1668	—	2	4	no	—
39	#1623	—	2	8	no	—
40	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
51	C₂²×SD₁₆	—	4	2	no	—
52	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
53	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
54	Q₈²	—	2	4	no	—
55	Q₈²	—	2	4	no	—
56	Q₈²	—	2	4	no	—
57	Q₈²	—	4	2	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#124	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#500	—	2	8	no	—
69	#500	—	2	2	no	—
70	#500	D₄	1	4	yes	—
71	#495	—	4	4	no	—
72	#493	—	2	2	no	—
73	#493	—	2	2	no	—
74	#492	—	2	4	no	—
75	#492	—	2	4	no	—
76	#486	—	2	4	no	—
77	#486	—	4	2	no	—
78	#477	—	2	16	no	—
79	#477	—	2	4	no	—
80	#477	—	2	4	no	—
81	#460	—	2	4	no	—
82	#460	—	2	4	no	—
83	#460	—	2	4	no	—
84	#460	—	4	2	no	—
85	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
86	C₈×Q₈	D₄	1	4	yes	—
87	C₄×Q₁₆	—	2	8	no	—
88	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
89	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
90	C₂×#107	—	2	1	no	—
91	C₂×#107	—	2	1	no	—
92	C₂×#107	—	2	2	no	—
93	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
95	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×#103	—	2	2	no	—
99	C₂×#103	D₄	1	2	yes	—
100	C₂×#103	D₄	1	2	yes	—
101	C₂×#102	—	2	4	no	—
102	C₂×#102	—	2	2	no	—
103	C₂×#102	—	2	2	no	—
104	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
105	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	#394	—	4	2	no	—
110	#390	—	2	4	no	—
111	#390	—	2	2	no	—
112	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	#340	—	2	4	no	—
114	#340	D₄	1	2	yes	—
115	#336	—	2	4	no	—
116	#336	—	2	1	no	—
117	#335	—	2	2	no	—
118	#333	—	2	4	no	—
119	#331	—	2	4	no	—
120	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
121	Q₈⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
122	C₈²	—	2	2	no	—
123	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
125	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
130	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×Q₁₆	SD₁₆	1	4	yes	complemented
133	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
134	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
135	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
136	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
137	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
138	C₂×SD₁₆	—	8	8	no	—
139	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
140	C₂×D₈	—	4	2	no	—
141	C₂×D₈	—	4	2	no	—
142	C₂×D₈	—	4	2	no	—
143	C₂×D₈	—	4	2	no	—
144	C₂×D₈	—	8	1	no	—
145	C₂×D₈	—	8	1	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
161	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
162	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
163	#127	—	2	2	no	—
164	#127	—	2	2	no	—
165	#127	—	2	2	no	—
166	#127	—	2	2	no	—
167	#124	—	4	4	no	—
168	#124	—	8	2	no	—
169	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
170	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
171	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
172	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
173	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
174	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
175	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
176	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
177	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
178	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
179	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
192	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
195	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
196	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
197	#107	—	2	8	no	—
198	#107	—	2	4	no	—
199	#107	—	2	4	no	—
200	#107	—	2	2	no	—
201	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
202	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
203	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
204	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
205	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
206	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	#103	—	2	8	no	—
209	#103	—	2	4	no	—
210	#103	—	2	4	no	—
211	#102	—	4	4	no	—
212	#102	—	4	8	no	—
213	#102	—	4	4	no	—
214	C₄×C₈	—	2	4	no	—
215	C₄×C₈	—	2	1	no	—
216	C₄×C₈	—	2	1	no	—
217	C₄×C₈	—	2	1	no	—
218	C₄×C₈	—	4	2	no	—
219	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
220	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
221	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
222	#95	—	2	1	no	—
223	C₂⁴	—	4	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
235	C₂×Q₈	—	16	4	no	—
236	C₂×Q₈	#127	1	2	yes	—
237	C₂×Q₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
238	C₂×Q₈	#135	1	4	yes	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	2	no	—
241	C₂×D₄	—	4	2	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×D₄	—	4	4	no	—
247	C₂×D₄	—	4	2	no	—
248	C₂×D₄	—	4	2	no	—
249	C₂×D₄	—	4	2	no	—
250	C₂×D₄	—	4	4	no	—
251	C₂×D₄	—	8	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
261	Q₁₆	—	2	8	no	—
262	SD₁₆	—	8	16	no	—
263	SD₁₆	—	8	8	no	—
264	SD₁₆	—	8	8	no	—
265	D₈	—	8	4	no	—
266	D₈	—	8	4	no	—
267	C₂×C₈	—	2	4	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	2	1	no	—
270	C₂×C₈	—	2	1	no	—
271	C₂×C₈	—	2	2	no	—
272	C₂×C₈	—	2	2	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	2	no	—
275	C₂×C₈	—	2	2	no	—
276	C₂×C₈	—	4	1	no	—
277	C₂×C₈	—	4	1	no	—
278	C₂×C₈	—	4	1	no	—
279	C₂×C₈	—	4	1	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	4	no	—
282	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
283	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
284	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
285	C₂×C₈	#137	1	2	yes	—
286	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
301	C₄⋊C₄	#127	1	2	yes	—
302	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
304	C₄²	—	2	2	no	—
305	C₄²	—	2	2	no	—
306	C₄²	—	4	8	no	—
307	C₄²	—	4	2	no	—
308	C₄²	—	4	2	no	—
309	C₄²	—	4	1	no	—
310	C₄²	—	4	1	no	—
311	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
312	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
313	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
314	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
315	C₂³	—	8	2	no	—
316	C₂³	—	8	2	no	—
317	C₂³	—	8	2	no	—
318	C₂³	—	8	4	no	—
319	C₂³	—	8	4	no	—
320	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
321	Q₈	—	2	2	no	—
322	Q₈	—	2	4	no	—
323	Q₈	—	2	4	no	—
324	Q₈	—	2	4	no	—
325	Q₈	—	4	2	no	—
326	Q₈	—	4	2	no	—
327	Q₈	—	8	4	no	—
328	Q₈	—	16	2	no	—
329	Q₈	—	16	8	no	—
330	Q₈	#495	1	4	yes	complemented
331	D₄	—	8	4	no	—
332	D₄	—	8	2	no	—
333	D₄	—	8	2	no	—
334	D₄	—	8	2	no	—
335	D₄	—	8	2	no	—
336	D₄	—	8	2	no	—
337	D₄	—	8	2	no	—
338	D₄	—	8	4	no	—
339	D₄	—	16	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	4	no	—
354	C₂×C₄	—	8	4	no	—
355	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
367	C₈	—	2	4	no	—
368	C₈	—	2	2	no	—
369	C₈	—	4	2	no	—
370	C₈	—	4	2	no	—
371	C₈	—	4	2	no	—
372	C₈	—	8	2	no	—
373	C₈	#448	1	4	yes	—
374	C₂²	—	16	4	no	—
375	C₂²	—	16	2	no	—
376	C₂²	—	16	2	no	—
377	C₂²	—	16	2	no	—
378	C₂²	—	16	4	no	—
379	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
380	C₂²	#3278	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	D₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	#3285	1	2	yes	—
383	C₂²	#3292	1	2	yes	—
384	C₄	—	2	4	no	—
385	C₄	—	2	1	no	—
386	C₄	—	2	1	no	—
387	C₄	—	4	4	no	—
388	C₄	—	4	2	no	—
389	C₄	—	8	2	no	—
390	C₄	—	8	2	no	—
391	C₄	—	8	4	no	—
392	C₄	C₂×#448	1	1	yes	characteristic
393	C₄	#3010	1	1	yes	characteristic
394	C₄	C₂×#495	1	1	yes	characteristic
395	C₄	#3156	1	1	yes	characteristic
396	C₄	#3278	1	1	yes	characteristic
397	C₄	D₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
398	C₄	#3285	1	2	yes	—
399	C₂	—	32	2	no	—
400	C₂	#19942	1	2	yes	—
401	C₂	#19986	1	2	yes	—
402	C₂	#25756	1	1	yes	characteristic
403	C₂	#25782	1	1	yes	characteristic
404	C₂	#25805	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#493	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×Q₈×Q₁₆	C₂	semidirect
3. #25932	C₂	semidirect
6. C₂×#1623	C₂	semidirect
7. #10269	C₂	semidirect
8. #10055	C₂	semidirect
9. #9730	C₂	semidirect
10. #9656	C₂	semidirect
11. C₈×#103	C₂	semidirect
132. C₂×Q₁₆	SD₁₆	semidirect
330. Q₈	#495	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×Q₈×Q₁₆	2
#28463	2
#25932	2
C₂×#1706	2
C₂×#1668	2
C₂×#1623	2
#10269	2
#10055	2
#9730	2
#9656	2
C₈×#103	2