Subgroups — #300588

Order 512.

1184 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 436 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#28462	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#25838	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1713	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1669	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×#1649	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10265	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10067	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9733	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9656	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#102	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂³×Q₁₆	—	2	1	no	—
13	C₂×D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
14	D₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
15	D₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
16	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#494	—	2	1	no	—
19	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#474	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#467	—	2	1	no	—
23	C₂×#462	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#462	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#451	—	2	2	no	—
26	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#2546	C₂²	1	2	yes	—
29	#2057	—	2	4	no	—
30	#2016	—	2	2	no	—
31	#1988	C₂²	1	2	yes	—
32	#1984	C₂²	1	2	yes	—
33	#1969	—	2	1	no	—
34	#1862	—	2	4	no	—
35	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1713	—	2	4	no	—
38	#1669	—	2	4	no	—
39	#1649	—	2	8	no	—
40	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
49	C₂²×Q₁₆	—	2	8	no	—
50	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
51	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
52	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
53	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
54	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
55	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
56	C₂²×Q₁₆	—	4	4	no	—
57	C₂²×Q₁₆	—	4	4	no	—
58	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
60	D₄×Q₈	—	2	4	no	—
61	D₄×Q₈	—	2	4	no	—
62	D₄×Q₈	—	2	4	no	—
63	D₄×Q₈	—	4	2	no	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
70	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	#500	—	2	4	no	—
74	#500	—	2	4	no	—
75	#500	—	2	4	no	—
76	#500	—	4	2	no	—
77	#494	—	2	2	no	—
78	#494	—	2	2	no	—
79	#494	—	2	2	no	—
80	#494	—	4	4	no	—
81	#494	D₄	1	4	yes	—
82	#474	—	2	4	no	—
83	#474	—	2	4	no	—
84	#467	—	2	8	no	—
85	#462	—	2	4	no	—
86	#462	—	2	4	no	—
87	#462	—	2	4	no	—
88	#462	—	4	2	no	—
89	#451	—	2	16	no	—
90	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
91	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
92	C₈×D₄	—	2	2	no	—
93	C₈×D₄	D₄	1	4	yes	—
94	C₂×#107	—	2	4	no	—
95	C₂×#107	—	2	2	no	—
96	C₂×#107	—	4	2	no	—
97	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂×#103	—	2	2	no	—
102	C₂×#103	—	2	2	no	—
103	C₂×#103	D₄	1	2	yes	—
104	C₂×#102	—	2	2	no	—
105	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
106	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
107	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
108	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	#398	—	4	2	no	—
112	#391	—	2	2	no	—
113	#389	—	2	4	no	—
114	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
115	#340	—	2	4	no	—
116	#340	D₄	1	2	yes	—
117	#336	—	2	4	no	—
118	#336	—	2	1	no	—
119	#335	—	2	2	no	—
120	#332	—	2	4	no	—
121	#332	—	2	4	no	—
122	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
123	D₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
124	C₈²	—	2	2	no	—
125	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
126	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
127	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
129	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
130	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
131	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
132	C₂²×Q₈	—	8	2	no	—
133	C₂²×Q₈	—	8	2	no	—
134	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
137	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
138	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
139	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
142	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
144	C₂×Q₁₆	—	4	32	no	—
145	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
146	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
147	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
148	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
149	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
150	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
151	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
152	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
153	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
154	C₂×Q₁₆	—	8	1	no	—
155	C₂×Q₁₆	—	8	1	no	—
156	C₂×Q₁₆	—	8	1	no	—
157	C₂×Q₁₆	—	8	1	no	—
158	C₂×Q₁₆	—	8	2	no	—
159	C₂×Q₁₆	D₈	1	4	yes	—
160	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
162	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
166	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
167	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
171	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
172	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
173	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
174	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
175	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
176	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
177	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
178	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
179	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
180	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
181	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
182	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
183	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
184	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
185	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
186	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
187	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
188	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
189	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
190	C₄×D₄	—	2	1	no	—
191	C₄×D₄	—	2	1	no	—
192	C₄×D₄	—	4	4	no	—
193	C₄×D₄	—	4	4	no	—
194	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
195	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
208	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
210	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
211	#107	—	2	2	no	—
212	#107	—	4	8	no	—
213	#107	—	4	8	no	—
214	#107	—	4	4	no	—
215	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
216	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
217	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
218	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
219	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
220	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
221	#103	—	2	8	no	—
222	#103	—	2	4	no	—
223	#103	—	4	4	no	—
224	#102	—	4	4	no	—
225	#102	Q₁₆	1	8	yes	complemented
226	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
227	C₄×C₈	—	2	1	no	—
228	C₄×C₈	—	2	1	no	—
229	C₄×C₈	—	2	1	no	—
230	C₄×C₈	—	4	2	no	—
231	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
232	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
233	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
234	#95	—	2	1	no	—
235	#95	—	4	4	no	—
236	C₂⁴	—	2	1	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
238	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
241	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
242	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
243	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
244	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
245	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
246	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
247	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
248	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
249	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
250	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
251	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
252	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
253	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
254	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
255	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
256	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
257	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
258	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
259	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
260	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
261	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
262	C₂×D₄	—	2	1	no	—
263	C₂×D₄	—	2	2	no	—
264	C₂×D₄	#127	1	2	yes	—
265	C₂×D₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
279	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
281	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
284	Q₁₆	—	2	8	no	—
285	Q₁₆	—	4	16	no	—
286	Q₁₆	—	4	8	no	—
287	Q₁₆	—	8	4	no	—
288	Q₁₆	—	8	4	no	—
289	Q₁₆	—	8	8	no	—
290	Q₁₆	—	8	4	no	—
291	C₂×C₈	—	2	4	no	—
292	C₂×C₈	—	2	2	no	—
293	C₂×C₈	—	2	2	no	—
294	C₂×C₈	—	2	1	no	—
295	C₂×C₈	—	2	1	no	—
296	C₂×C₈	—	2	2	no	—
297	C₂×C₈	—	2	2	no	—
298	C₂×C₈	—	2	2	no	—
299	C₂×C₈	—	4	1	no	—
300	C₂×C₈	—	4	1	no	—
301	C₂×C₈	—	4	1	no	—
302	C₂×C₈	—	4	1	no	—
303	C₂×C₈	—	4	8	no	—
304	C₂×C₈	—	4	2	no	—
305	C₂×C₈	—	4	4	no	—
306	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
307	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
308	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
309	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	4	yes	complemented
310	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
311	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
312	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
313	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
314	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
315	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
316	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
318	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
319	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
320	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
321	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
322	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
323	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
324	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
325	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
326	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
327	C₄⋊C₄	#127	1	2	yes	—
328	C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	complemented
329	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
330	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
331	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
332	C₄²	—	4	2	no	—
333	C₄²	—	4	2	no	—
334	C₄²	—	4	1	no	—
335	C₄²	—	4	1	no	—
336	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
337	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
338	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
339	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
340	C₂³	—	2	2	no	—
341	C₂³	—	2	4	no	—
342	C₂³	—	4	1	no	—
343	C₂³	—	4	1	no	—
344	C₂³	—	4	2	no	—
345	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
346	Q₈	—	2	4	no	—
347	Q₈	—	2	4	no	—
348	Q₈	—	4	2	no	—
349	Q₈	—	4	2	no	—
350	Q₈	—	4	4	no	—
351	Q₈	—	4	4	no	—
352	Q₈	—	8	16	no	—
353	Q₈	—	8	2	no	—
354	Q₈	—	8	2	no	—
355	Q₈	—	8	2	no	—
356	Q₈	—	8	2	no	—
357	Q₈	—	8	2	no	—
358	Q₈	—	8	2	no	—
359	D₄	—	2	2	no	—
360	D₄	—	2	4	no	—
361	D₄	#494	1	4	yes	complemented
362	C₂×C₄	—	2	2	no	—
363	C₂×C₄	—	2	2	no	—
364	C₂×C₄	—	2	4	no	—
365	C₂×C₄	—	2	4	no	—
366	C₂×C₄	—	4	2	no	—
367	C₂×C₄	—	4	1	no	—
368	C₂×C₄	—	4	2	no	—
369	C₂×C₄	—	4	2	no	—
370	C₂×C₄	—	4	1	no	—
371	C₂×C₄	—	4	2	no	—
372	C₂×C₄	—	4	2	no	—
373	C₂×C₄	—	4	2	no	—
374	C₂×C₄	—	4	2	no	—
375	C₂×C₄	—	4	2	no	—
376	C₂×C₄	—	4	2	no	—
377	C₂×C₄	—	4	4	no	—
378	C₂×C₄	—	4	4	no	—
379	C₂×C₄	—	8	16	no	—
380	C₂×C₄	—	8	2	no	—
381	C₂×C₄	—	8	2	no	—
382	C₂×C₄	—	8	2	no	—
383	C₂×C₄	—	8	2	no	—
384	C₂×C₄	—	8	2	no	—
385	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
388	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
391	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
392	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
395	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
396	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
397	C₈	—	2	4	no	—
398	C₈	—	2	2	no	—
399	C₈	—	2	4	no	—
400	C₈	—	4	2	no	—
401	C₈	—	4	2	no	—
402	C₈	—	8	2	no	—
403	C₈	#447	1	4	yes	—
404	C₂²	—	2	4	no	—
405	C₂²	—	4	4	no	—
406	C₂²	—	4	2	no	—
407	C₂²	—	4	2	no	—
408	C₂²	—	4	4	no	—
409	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
410	C₂²	#3274	1	1	yes	characteristic
411	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
412	C₂²	D₄×Q₁₆	1	2	yes	—
413	C₂²	#3293	1	2	yes	—
414	C₄	—	2	1	no	—
415	C₄	—	2	1	no	—
416	C₄	—	4	4	no	—
417	C₄	—	4	2	no	—
418	C₄	—	4	4	no	—
419	C₄	—	8	4	no	—
420	C₄	—	8	2	no	—
421	C₄	—	16	2	no	—
422	C₄	C₂×#447	1	1	yes	characteristic
423	C₄	#3008	1	1	yes	characteristic
424	C₄	C₂×#494	1	1	yes	characteristic
425	C₄	#3156	1	1	yes	characteristic
426	C₄	#3274	1	1	yes	characteristic
427	C₄	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
428	C₄	D₄×Q₁₆	1	2	yes	—
429	C₂	—	4	4	no	—
430	C₂	#19928	1	2	yes	—
431	C₂	D₈×Q₁₆	1	2	yes	—
432	C₂	#25757	1	1	yes	characteristic
433	C₂	#25780	1	1	yes	characteristic
434	C₂	#25806	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₄	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #28462	C₂	semidirect
4. C₂×#1713	C₂	semidirect
7. #10265	C₂	semidirect
8. #10067	C₂	semidirect
9. #9733	C₂	semidirect
10. #9656	C₂	semidirect
225. #102	Q₁₆	semidirect
309. C₂×C₈	C₂×Q₁₆	semidirect
328. C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	semidirect
361. D₄	#494	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄×Q₁₆	2
#28462	2
#25838	2
C₂×#1713	2
C₂×#1669	2
C₂×#1649	2
#10265	2
#10067	2
#9733	2
#9656	2
C₈×#102	2