Subgroups — #300589

Order 512.

1234 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 454 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3287	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#28462	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#25645	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1709	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1669	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1641	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10263	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10051	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9734	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9656	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#102	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#135	—	2	1	no	—
13	C₂×#550	C₂²	1	2	yes	—
14	#3287	—	2	4	no	—
15	#3287	—	2	4	no	—
16	C₂×#494	—	2	1	no	—
17	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#474	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#466	—	2	1	no	—
23	C₂×#462	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#460	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#449	—	2	2	no	—
26	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#2546	C₂²	1	2	yes	—
29	#2041	—	2	4	no	—
30	#2016	—	2	2	no	—
31	#1984	C₂²	1	2	yes	—
32	#1982	C₂²	1	2	yes	—
33	#1969	—	2	1	no	—
34	#1862	—	2	4	no	—
35	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1709	—	2	4	no	—
38	#1669	—	2	4	no	—
39	#1641	—	2	8	no	—
40	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×#41	—	2	2	no	—
49	C₂×#135	—	2	8	no	—
50	C₂×#135	—	4	4	no	—
51	C₂×#135	—	4	4	no	—
52	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
53	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
54	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
55	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
57	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
58	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
59	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
60	#550	—	2	4	no	—
61	#550	—	2	4	no	—
62	#550	—	2	4	no	—
63	#550	—	4	2	no	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#127	—	2	2	no	—
67	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#121	—	2	2	no	—
69	C₂×#121	—	4	2	no	—
70	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	#494	—	2	2	no	—
74	#494	—	2	2	no	—
75	#494	—	4	4	no	—
76	#493	—	2	2	no	—
77	#493	D₄	1	4	yes	—
78	#486	—	2	4	no	—
79	#486	—	2	4	no	—
80	#486	—	2	4	no	—
81	#486	—	4	2	no	—
82	#474	—	2	4	no	—
83	#474	—	2	4	no	—
84	#466	—	2	8	no	—
85	#462	—	2	4	no	—
86	#462	—	4	2	no	—
87	#460	—	2	4	no	—
88	#460	—	2	4	no	—
89	#449	—	2	16	no	—
90	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
91	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
92	C₈×D₄	—	2	2	no	—
93	C₈×D₄	D₄	1	4	yes	—
94	C₂×#107	—	2	2	no	—
95	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×#103	—	2	2	no	—
100	C₂×#103	D₄	1	2	yes	—
101	C₂×#102	—	2	2	no	—
102	C₂×#102	—	2	2	no	—
103	C₂×#102	—	2	4	no	—
104	C₂×#102	—	2	4	no	—
105	C₂×#102	—	4	2	no	—
106	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
108	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
109	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	#398	—	4	2	no	—
113	#391	—	2	2	no	—
114	#389	—	2	4	no	—
115	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	#340	D₄	1	2	yes	—
117	#336	—	2	4	no	—
118	#336	—	2	1	no	—
119	#335	—	2	2	no	—
120	#332	—	2	4	no	—
121	#331	—	2	4	no	—
122	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
123	D₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
124	C₈²	—	2	2	no	—
125	C₂×#41	—	2	8	no	—
126	C₂×#41	—	4	4	no	—
127	C₂×#41	—	4	4	no	—
128	C₂×#41	—	4	4	no	—
129	C₂×#41	—	8	2	no	—
130	C₂×#41	—	8	2	no	—
131	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
134	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
135	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
136	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
137	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
138	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
140	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
141	#135	—	4	32	no	—
142	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
145	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
146	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
147	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
148	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
149	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
150	C₂×Q₁₆	—	8	1	no	—
151	C₂×Q₁₆	—	8	1	no	—
152	C₂×Q₁₆	—	8	2	no	—
153	C₂×Q₁₆	D₈	1	4	yes	—
154	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
155	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
156	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
157	C₂×D₈	—	2	4	no	—
158	C₂×D₈	—	2	4	no	—
159	C₂×D₈	—	4	2	no	—
160	C₂×D₈	—	4	2	no	—
161	C₂×D₈	—	8	1	no	—
162	C₂×D₈	—	8	1	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
164	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
166	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
169	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
170	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
174	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
175	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
176	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
177	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
178	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
179	#127	—	2	2	no	—
180	#127	—	2	2	no	—
181	#127	—	2	2	no	—
182	#127	—	4	4	no	—
183	#127	—	4	4	no	—
184	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	#121	—	2	8	no	—
186	#121	—	4	8	no	—
187	#121	—	4	8	no	—
188	#121	—	4	4	no	—
189	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
190	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
191	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
192	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
193	C₄×D₄	—	2	1	no	—
194	C₄×D₄	—	2	1	no	—
195	C₄×D₄	—	4	4	no	—
196	C₄×D₄	—	4	4	no	—
197	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
208	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
210	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
211	#107	—	2	2	no	—
212	#107	—	4	4	no	—
213	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
214	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
215	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
216	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
217	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
218	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
219	#103	—	2	4	no	—
220	#103	—	4	4	no	—
221	#102	—	2	8	no	—
222	#102	—	2	4	no	—
223	#102	—	4	8	no	—
224	#102	—	4	8	no	—
225	#102	—	4	4	no	—
226	#102	—	4	8	no	—
227	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
228	C₄×C₈	—	2	1	no	—
229	C₄×C₈	—	2	1	no	—
230	C₄×C₈	—	2	1	no	—
231	C₄×C₈	—	4	2	no	—
232	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
233	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
234	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
235	#95	—	2	1	no	—
236	#95	—	4	4	no	—
237	C₂⁴	—	2	1	no	—
238	C₂⁴	—	4	2	no	—
239	#41	—	4	16	no	—
240	#41	—	8	8	no	—
241	#41	—	8	8	no	—
242	#41	—	8	8	no	—
243	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
244	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
245	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
246	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
247	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
248	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
249	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
250	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
251	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
252	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
253	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
254	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
255	C₂×D₄	—	2	4	no	—
256	C₂×D₄	—	2	1	no	—
257	C₂×D₄	—	2	4	no	—
258	C₂×D₄	—	2	4	no	—
259	C₂×D₄	—	2	2	no	—
260	C₂×D₄	—	2	2	no	—
261	C₂×D₄	—	4	8	no	—
262	C₂×D₄	—	4	8	no	—
263	C₂×D₄	—	4	2	no	—
264	C₂×D₄	—	4	2	no	—
265	C₂×D₄	—	4	2	no	—
266	C₂×D₄	—	4	2	no	—
267	C₂×D₄	—	4	4	no	—
268	C₂×D₄	—	4	2	no	—
269	C₂×D₄	—	4	2	no	—
270	C₂×D₄	—	4	2	no	—
271	C₂×D₄	—	4	4	no	—
272	C₂×D₄	—	8	4	no	—
273	C₂×D₄	—	8	4	no	—
274	C₂×D₄	—	8	4	no	—
275	C₂×D₄	—	16	4	no	—
276	C₂×D₄	#127	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
284	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
285	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
286	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
287	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
288	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
289	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
290	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
291	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
294	Q₁₆	—	2	8	no	—
295	Q₁₆	—	8	4	no	—
296	Q₁₆	—	8	8	no	—
297	Q₁₆	—	8	4	no	—
298	SD₁₆	—	4	16	no	—
299	D₈	—	4	8	no	—
300	D₈	—	8	4	no	—
301	C₂×C₈	—	2	1	no	—
302	C₂×C₈	—	2	1	no	—
303	C₂×C₈	—	2	2	no	—
304	C₂×C₈	—	2	2	no	—
305	C₂×C₈	—	2	2	no	—
306	C₂×C₈	—	2	2	no	—
307	C₂×C₈	—	2	2	no	—
308	C₂×C₈	—	2	2	no	—
309	C₂×C₈	—	4	2	no	—
310	C₂×C₈	—	4	1	no	—
311	C₂×C₈	—	4	1	no	—
312	C₂×C₈	—	4	1	no	—
313	C₂×C₈	—	4	1	no	—
314	C₂×C₈	—	4	8	no	—
315	C₂×C₈	—	4	2	no	—
316	C₂×C₈	—	4	4	no	—
317	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
318	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
319	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
320	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
321	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
322	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
323	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
324	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
325	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
326	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
327	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
328	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
329	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
330	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
331	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
332	C₄⋊C₄	#127	1	2	yes	—
333	C₄⋊C₄	#135	1	4	yes	complemented
334	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
335	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
336	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
337	C₄²	—	4	2	no	—
338	C₄²	—	4	2	no	—
339	C₄²	—	4	1	no	—
340	C₄²	—	4	1	no	—
341	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
342	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
343	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
344	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
345	C₂³	—	2	2	no	—
346	C₂³	—	4	1	no	—
347	C₂³	—	4	1	no	—
348	C₂³	—	4	2	no	—
349	C₂³	—	4	2	no	—
350	C₂³	—	4	4	no	—
351	C₂³	—	8	2	no	—
352	C₂³	—	8	2	no	—
353	C₂³	—	8	4	no	—
354	C₂³	—	8	4	no	—
355	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
356	Q₈	—	2	4	no	—
357	Q₈	—	2	4	no	—
358	Q₈	—	4	2	no	—
359	Q₈	—	4	2	no	—
360	Q₈	—	8	2	no	—
361	Q₈	—	8	2	no	—
362	Q₈	—	8	2	no	—
363	Q₈	—	8	2	no	—
364	D₄	—	2	2	no	—
365	D₄	—	2	2	no	—
366	D₄	—	4	4	no	—
367	D₄	—	4	4	no	—
368	D₄	—	4	2	no	—
369	D₄	—	4	8	no	—
370	D₄	—	8	4	no	—
371	D₄	—	8	16	no	—
372	D₄	—	8	2	no	—
373	D₄	—	8	2	no	—
374	D₄	—	8	2	no	—
375	D₄	—	8	2	no	—
376	D₄	—	16	2	no	—
377	D₄	—	16	8	no	—
378	C₂×C₄	—	2	2	no	—
379	C₂×C₄	—	2	2	no	—
380	C₂×C₄	—	2	4	no	—
381	C₂×C₄	—	2	4	no	—
382	C₂×C₄	—	4	2	no	—
383	C₂×C₄	—	4	1	no	—
384	C₂×C₄	—	4	2	no	—
385	C₂×C₄	—	4	2	no	—
386	C₂×C₄	—	4	1	no	—
387	C₂×C₄	—	4	2	no	—
388	C₂×C₄	—	4	2	no	—
389	C₂×C₄	—	4	2	no	—
390	C₂×C₄	—	4	2	no	—
391	C₂×C₄	—	4	2	no	—
392	C₂×C₄	—	4	2	no	—
393	C₂×C₄	—	4	4	no	—
394	C₂×C₄	—	8	16	no	—
395	C₂×C₄	—	8	2	no	—
396	C₂×C₄	—	8	2	no	—
397	C₂×C₄	—	8	2	no	—
398	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
399	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
400	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
401	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
402	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
403	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
404	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
405	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
406	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
407	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
408	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
409	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
410	C₈	—	2	2	no	—
411	C₈	—	4	2	no	—
412	C₈	—	4	2	no	—
413	C₈	—	4	2	no	—
414	C₈	—	4	2	no	—
415	C₈	—	8	2	no	—
416	C₈	#447	1	4	yes	—
417	C₂²	—	4	2	no	—
418	C₂²	—	4	2	no	—
419	C₂²	—	4	2	no	—
420	C₂²	—	8	2	no	—
421	C₂²	—	8	2	no	—
422	C₂²	—	8	4	no	—
423	C₂²	—	8	4	no	—
424	C₂²	—	8	4	no	—
425	C₂²	—	16	4	no	—
426	C₂²	—	16	4	no	—
427	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
428	C₂²	#3274	1	1	yes	characteristic
429	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
430	C₂²	#3285	1	2	yes	—
431	C₂²	#3290	1	2	yes	—
432	C₄	—	2	1	no	—
433	C₄	—	2	1	no	—
434	C₄	—	4	4	no	—
435	C₄	—	4	2	no	—
436	C₄	—	4	4	no	—
437	C₄	—	8	2	no	—
438	C₄	—	16	2	no	—
439	C₄	C₂×#447	1	1	yes	characteristic
440	C₄	#3008	1	1	yes	characteristic
441	C₄	#3147	1	1	yes	characteristic
442	C₄	#3156	1	1	yes	characteristic
443	C₄	#3274	1	1	yes	characteristic
444	C₄	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
445	C₄	#3283	1	2	yes	—
446	C₂	—	8	2	no	—
447	C₂	—	16	4	no	—
448	C₂	#19943	1	2	yes	—
449	C₂	#19973	1	2	yes	—
450	C₂	#25757	1	1	yes	characteristic
451	C₂	#25778	1	1	yes	characteristic
452	C₂	#25804	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#3287	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #28462	C₂	semidirect
3. #25645	C₂	semidirect
4. C₂×#1709	C₂	semidirect
5. C₂×#1669	C₂	semidirect
6. C₂×#1641	C₂	semidirect
7. #10263	C₂	semidirect
8. #10051	C₂	semidirect
9. #9734	C₂	semidirect
10. #9656	C₂	semidirect
11. C₈×#102	C₂	semidirect
333. C₄⋊C₄	#135	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3287	2
#28462	2
#25645	2
C₂×#1709	2
C₂×#1669	2
C₂×#1641	2
#10263	2
#10051	2
#9734	2
#9656	2
C₈×#102	2