Subgroups — #300597

Order 512.

958 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 395 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3342	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#28532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#25632	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1713	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1673	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×#1650	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10276	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10077	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9731	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9656	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#102	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#556	C₂²	1	2	yes	—
13	#3342	—	2	4	no	—
14	#3342	—	2	4	no	—
15	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#494	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#485	—	2	2	no	—
20	C₂×#475	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#475	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#467	—	2	1	no	—
23	C₂×#461	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#427	—	2	1	no	—
27	#2568	C₂²	1	2	yes	—
28	#2097	—	2	2	no	—
29	#2015	—	2	4	no	—
30	#1984	C₂²	1	2	yes	—
31	#1981	C₂²	1	2	yes	—
32	#1969	—	2	1	no	—
33	#1878	—	2	4	no	—
34	#1846	—	2	1	no	—
35	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1713	—	2	4	no	—
38	#1673	—	2	4	no	—
39	#1650	—	2	8	no	—
40	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
49	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
51	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
52	#556	—	2	4	no	—
53	#556	—	2	4	no	—
54	#556	—	2	4	no	—
55	#556	—	4	2	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×#126	—	4	2	no	—
59	C₂×#124	—	2	2	no	—
60	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#117	—	2	2	no	—
65	#500	—	2	4	no	—
66	#500	—	2	2	no	—
67	#500	—	2	4	no	—
68	#500	—	2	2	no	—
69	#500	—	2	2	no	—
70	#500	D₄	1	4	yes	—
71	#494	—	2	4	no	—
72	#494	—	4	2	no	—
73	#485	—	2	16	no	—
74	#475	—	2	4	no	—
75	#475	—	2	4	no	—
76	#475	—	2	4	no	—
77	#475	—	4	2	no	—
78	#467	—	2	8	no	—
79	#461	—	2	4	no	—
80	#461	—	2	4	no	—
81	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
82	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
83	C₈×D₄	—	2	2	no	—
84	C₈×D₄	D₄	1	4	yes	—
85	#427	—	2	8	no	—
86	C₂×#107	—	2	1	no	—
87	C₂×#107	—	2	1	no	—
88	C₂×#107	—	2	1	no	—
89	C₂×#107	—	2	1	no	—
90	C₂×#107	—	4	2	no	—
91	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×#106	—	2	2	no	—
93	C₂×#106	—	2	2	no	—
94	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×#103	—	2	2	no	—
98	C₂×#103	—	2	2	no	—
99	C₂×#103	—	2	2	no	—
100	C₂×#103	—	2	4	no	—
101	C₂×#103	D₄	1	2	yes	—
102	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
104	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
105	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	#400	—	4	2	no	—
109	#391	—	2	2	no	—
110	#391	—	2	4	no	—
111	#382	—	2	2	no	—
112	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	#340	D₄	1	2	yes	—
114	#336	—	2	1	no	—
115	#336	—	2	4	no	—
116	#335	—	2	2	no	—
117	#332	—	2	4	no	—
118	#332	—	2	4	no	—
119	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
120	D₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
121	C₈²	—	2	2	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
127	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
131	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
132	C₂×Q₁₆	—	8	4	no	—
133	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
134	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
152	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	#126	—	4	8	no	—
154	#126	—	4	8	no	—
155	#124	—	4	4	no	—
156	#124	—	4	4	no	—
157	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
158	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
159	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
160	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
161	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
162	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
163	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
164	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
165	C₄×D₄	—	2	1	no	—
166	C₄×D₄	—	2	1	no	—
167	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	#117	—	2	8	no	—
170	#117	—	4	4	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
185	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
186	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
187	#107	—	2	4	no	—
188	#107	—	2	4	no	—
189	#107	—	2	2	no	—
190	#107	—	4	8	no	—
191	#107	—	4	2	no	—
192	#107	—	4	2	no	—
193	#106	—	2	8	no	—
194	#106	—	4	4	no	—
195	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
196	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
197	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
198	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
199	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	#103	—	2	8	no	—
202	#103	—	2	4	no	—
203	#103	—	4	4	no	—
204	#103	—	4	4	no	—
205	#103	—	8	4	no	—
206	#102	—	2	4	no	—
207	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
208	C₄×C₈	—	2	1	no	—
209	C₄×C₈	—	2	1	no	—
210	C₄×C₈	—	2	1	no	—
211	C₄×C₈	—	4	2	no	—
212	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
214	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
215	#95	—	2	1	no	—
216	#95	—	4	4	no	—
217	#95	—	4	4	no	—
218	C₂⁴	—	2	1	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
233	C₂×D₄	—	2	1	no	—
234	C₂×D₄	—	2	2	no	—
235	C₂×D₄	—	2	2	no	—
236	C₂×D₄	#127	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
252	Q₁₆	—	4	4	no	—
253	Q₁₆	—	8	16	no	—
254	SD₁₆	—	8	8	no	—
255	C₂×C₈	—	2	4	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	2	1	no	—
260	C₂×C₈	—	2	1	no	—
261	C₂×C₈	—	2	2	no	—
262	C₂×C₈	—	2	2	no	—
263	C₂×C₈	—	4	1	no	—
264	C₂×C₈	—	4	1	no	—
265	C₂×C₈	—	4	1	no	—
266	C₂×C₈	—	4	1	no	—
267	C₂×C₈	—	4	8	no	—
268	C₂×C₈	—	4	2	no	—
269	C₂×C₈	—	4	4	no	—
270	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
271	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
272	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
273	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
274	C₂×C₈	#137	1	2	yes	—
275	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
291	C₄⋊C₄	#127	1	2	yes	—
292	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
296	C₄²	—	4	8	no	—
297	C₄²	—	4	2	no	—
298	C₄²	—	4	2	no	—
299	C₄²	—	4	1	no	—
300	C₄²	—	4	1	no	—
301	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
302	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
303	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
304	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
305	C₂³	—	2	2	no	—
306	C₂³	—	4	1	no	—
307	C₂³	—	4	1	no	—
308	C₂³	—	4	2	no	—
309	C₂³	—	4	2	no	—
310	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
311	Q₈	—	4	2	no	—
312	Q₈	—	4	2	no	—
313	Q₈	—	4	2	no	—
314	Q₈	—	4	8	no	—
315	Q₈	—	4	2	no	—
316	Q₈	—	8	2	no	—
317	Q₈	—	8	2	no	—
318	Q₈	—	8	2	no	—
319	Q₈	—	8	2	no	—
320	Q₈	—	8	4	no	—
321	D₄	—	2	2	no	—
322	D₄	—	2	2	no	—
323	D₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	1	no	—
327	C₂×C₄	—	4	1	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	8	4	no	—
342	C₂×C₄	—	8	2	no	—
343	C₂×C₄	—	8	4	no	—
344	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
356	C₈	—	2	4	no	—
357	C₈	—	2	2	no	—
358	C₈	—	2	4	no	—
359	C₈	—	4	2	no	—
360	C₈	—	4	2	no	—
361	C₈	—	8	2	no	—
362	C₈	#452	1	4	yes	—
363	C₂²	—	4	2	no	—
364	C₂²	—	4	2	no	—
365	C₂²	—	4	2	no	—
366	C₂²	—	8	2	no	—
367	C₂²	—	8	2	no	—
368	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	#3276	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#3283	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	#3287	1	2	yes	—
372	C₂²	#3293	1	2	yes	—
373	C₄	—	2	1	no	—
374	C₄	—	2	1	no	—
375	C₄	—	4	2	no	—
376	C₄	—	8	2	no	—
377	C₄	—	8	2	no	—
378	C₄	—	8	4	no	—
379	C₄	—	8	2	no	—
380	C₄	—	16	2	no	—
381	C₄	C₂×#452	1	1	yes	characteristic
382	C₄	#3011	1	1	yes	characteristic
383	C₄	#3147	1	1	yes	characteristic
384	C₄	#3155	1	1	yes	characteristic
385	C₄	#3276	1	1	yes	characteristic
386	C₄	#3280	1	2	yes	—
387	C₄	#3283	1	1	yes	characteristic
388	C₂	—	8	2	no	—
389	C₂	#19964	1	2	yes	—
390	C₂	#20020	1	2	yes	—
391	C₂	#25758	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#25777	1	1	yes	characteristic
393	C₂	#25806	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₄	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #28532	C₂	semidirect
4. C₂×#1713	C₂	semidirect
7. #10276	C₂	semidirect
8. #10077	C₂	semidirect
9. #9731	C₂	semidirect
10. #9656	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3342	2
#28532	2
#25632	2
C₂×#1713	2
C₂×#1673	2
C₂×#1650	2
#10276	2
#10077	2
#9731	2
#9656	2
C₈×#102	2