Subgroups — #300598

Order 512.

984 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 403 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#28528	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#25704	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1713	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1675	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1634	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10278	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10056	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9730	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9657	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#102	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#555	C₂²	1	2	yes	—
13	#3341	—	2	4	no	—
14	#3341	—	2	4	no	—
15	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#494	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#482	—	2	2	no	—
20	C₂×#476	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#476	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#476	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#466	—	2	1	no	—
24	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#427	—	2	1	no	—
27	#2563	C₂²	1	2	yes	—
28	#2092	—	2	2	no	—
29	#2033	—	2	4	no	—
30	#1987	C₂²	1	2	yes	—
31	#1970	—	2	1	no	—
32	#1954	C₂²	1	2	yes	—
33	#1854	—	2	4	no	—
34	#1846	—	2	1	no	—
35	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1713	—	2	4	no	—
38	#1675	—	2	4	no	—
39	#1634	—	2	8	no	—
40	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×Q₁₆	—	4	2	no	—
49	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
51	#555	—	2	4	no	—
52	#555	—	2	4	no	—
53	#555	—	2	4	no	—
54	#555	—	4	2	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×#124	—	4	2	no	—
58	C₂×#121	—	2	2	no	—
59	C₂×#121	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×#117	—	2	2	no	—
63	C₂×#117	—	2	2	no	—
64	#500	—	2	4	no	—
65	#500	—	2	2	no	—
66	#500	—	2	2	no	—
67	#500	—	2	2	no	—
68	#500	—	4	2	no	—
69	#500	D₄	1	4	yes	—
70	#494	—	2	4	no	—
71	#494	—	2	4	no	—
72	#482	—	2	16	no	—
73	#476	—	2	4	no	—
74	#476	—	2	4	no	—
75	#476	—	2	4	no	—
76	#476	—	2	4	no	—
77	#476	—	2	4	no	—
78	#476	—	4	2	no	—
79	#466	—	2	8	no	—
80	C₄×D₈	—	2	2	no	—
81	C₄×D₈	—	2	2	no	—
82	C₈×D₄	—	2	2	no	—
83	C₈×D₄	D₄	1	4	yes	—
84	#427	—	2	8	no	—
85	C₂×#107	—	2	1	no	—
86	C₂×#107	—	2	1	no	—
87	C₂×#107	—	2	1	no	—
88	C₂×#107	—	2	1	no	—
89	C₂×#107	—	2	4	no	—
90	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×#106	—	2	2	no	—
92	C₂×#106	—	2	2	no	—
93	C₂×#106	—	2	2	no	—
94	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×#102	—	2	2	no	—
98	C₂×#102	—	2	2	no	—
99	C₂×#102	—	2	2	no	—
100	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
101	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
103	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
104	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
105	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	#393	—	4	2	no	—
109	#390	—	2	2	no	—
110	#382	—	2	2	no	—
111	#380	—	2	4	no	—
112	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	#340	—	2	4	no	—
114	#340	D₄	1	2	yes	—
115	#336	—	2	1	no	—
116	#335	—	2	2	no	—
117	#333	—	2	4	no	—
118	#333	—	2	4	no	—
119	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
120	D₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
121	C₈²	—	2	2	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
125	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
130	C₂×Q₁₆	—	8	8	no	—
131	C₂×D₈	—	2	2	no	—
132	C₂×D₈	—	2	2	no	—
133	C₂×D₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	#124	—	4	8	no	—
153	#124	—	4	8	no	—
154	#121	—	2	8	no	—
155	#121	—	4	4	no	—
156	#121	—	4	4	no	—
157	#121	—	4	4	no	—
158	C₄×D₄	—	2	1	no	—
159	C₄×D₄	—	2	2	no	—
160	C₄×D₄	—	2	2	no	—
161	C₄×D₄	—	2	2	no	—
162	C₄×D₄	—	2	1	no	—
163	C₄×D₄	—	2	2	no	—
164	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	#117	—	2	8	no	—
167	#117	—	4	4	no	—
168	#117	—	4	4	no	—
169	#117	—	4	4	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
183	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
184	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
185	#107	—	2	4	no	—
186	#107	—	2	4	no	—
187	#107	—	2	2	no	—
188	#107	—	4	8	no	—
189	#107	—	4	2	no	—
190	#107	—	4	2	no	—
191	#106	—	2	8	no	—
192	#106	—	4	4	no	—
193	#106	—	4	4	no	—
194	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
195	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
196	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
197	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
198	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	#102	—	2	8	no	—
201	#102	—	2	4	no	—
202	#102	—	2	4	no	—
203	#102	—	4	4	no	—
204	#102	—	4	4	no	—
205	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
206	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
207	C₄×C₈	—	2	1	no	—
208	C₄×C₈	—	2	1	no	—
209	C₄×C₈	—	2	1	no	—
210	C₄×C₈	—	4	2	no	—
211	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
212	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
214	#95	—	2	1	no	—
215	#95	—	4	4	no	—
216	C₂⁴	—	2	1	no	—
217	C₂⁴	—	2	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
220	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
223	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
224	C₂×D₄	—	2	2	no	—
225	C₂×D₄	—	2	1	no	—
226	C₂×D₄	—	2	2	no	—
227	C₂×D₄	—	2	2	no	—
228	C₂×D₄	—	2	2	no	—
229	C₂×D₄	—	2	2	no	—
230	C₂×D₄	—	2	2	no	—
231	C₂×D₄	—	2	2	no	—
232	C₂×D₄	—	2	2	no	—
233	C₂×D₄	—	4	8	no	—
234	C₂×D₄	—	16	4	no	—
235	C₂×D₄	#127	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
254	Q₁₆	—	8	16	no	—
255	D₈	—	4	4	no	—
256	C₂×C₈	—	2	4	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	2	1	no	—
260	C₂×C₈	—	2	1	no	—
261	C₂×C₈	—	2	2	no	—
262	C₂×C₈	—	2	2	no	—
263	C₂×C₈	—	2	2	no	—
264	C₂×C₈	—	4	1	no	—
265	C₂×C₈	—	4	1	no	—
266	C₂×C₈	—	4	1	no	—
267	C₂×C₈	—	4	1	no	—
268	C₂×C₈	—	4	8	no	—
269	C₂×C₈	—	4	2	no	—
270	C₂×C₈	—	4	4	no	—
271	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
272	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
273	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
274	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
275	C₂×C₈	#137	1	2	yes	—
276	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
289	C₄⋊C₄	#127	1	2	yes	—
290	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
297	C₄²	—	4	8	no	—
298	C₄²	—	4	1	no	—
299	C₄²	—	4	1	no	—
300	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
301	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
302	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
303	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
304	C₂³	—	2	2	no	—
305	C₂³	—	4	1	no	—
306	C₂³	—	4	1	no	—
307	C₂³	—	4	2	no	—
308	C₂³	—	4	2	no	—
309	C₂³	—	4	2	no	—
310	C₂³	—	4	2	no	—
311	C₂³	—	4	4	no	—
312	C₂³	—	4	2	no	—
313	C₂³	—	4	4	no	—
314	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
315	Q₈	—	8	4	no	—
316	Q₈	—	8	4	no	—
317	Q₈	—	16	2	no	—
318	Q₈	—	16	2	no	—
319	D₄	—	2	2	no	—
320	D₄	—	2	2	no	—
321	D₄	—	4	2	no	—
322	D₄	—	4	2	no	—
323	D₄	—	4	2	no	—
324	D₄	—	4	2	no	—
325	D₄	—	4	2	no	—
326	D₄	—	16	8	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	1	no	—
330	C₂×C₄	—	4	1	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	2	no	—
341	C₂×C₄	—	8	4	no	—
342	C₂×C₄	—	8	2	no	—
343	C₂×C₄	—	8	2	no	—
344	C₂×C₄	—	8	4	no	—
345	C₂×C₄	—	8	2	no	—
346	C₂×C₄	—	8	4	no	—
347	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
359	C₈	—	2	4	no	—
360	C₈	—	2	2	no	—
361	C₈	—	2	4	no	—
362	C₈	—	4	2	no	—
363	C₈	—	4	2	no	—
364	C₈	—	8	2	no	—
365	C₈	#452	1	4	yes	—
366	C₂²	—	4	2	no	—
367	C₂²	—	4	2	no	—
368	C₂²	—	4	2	no	—
369	C₂²	—	8	2	no	—
370	C₂²	—	8	2	no	—
371	C₂²	—	8	4	no	—
372	C₂²	—	8	2	no	—
373	C₂²	—	8	2	no	—
374	C₂²	—	8	2	no	—
375	C₂²	—	8	4	no	—
376	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	#3276	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	#3283	1	1	yes	characteristic
379	C₂²	#3283	1	2	yes	—
380	C₂²	#3292	1	2	yes	—
381	C₄	—	2	1	no	—
382	C₄	—	2	1	no	—
383	C₄	—	4	2	no	—
384	C₄	—	8	2	no	—
385	C₄	—	8	2	no	—
386	C₄	—	8	4	no	—
387	C₄	—	16	2	no	—
388	C₄	C₂×#452	1	1	yes	characteristic
389	C₄	#3011	1	1	yes	characteristic
390	C₄	#3147	1	1	yes	characteristic
391	C₄	#3156	1	1	yes	characteristic
392	C₄	#3276	1	1	yes	characteristic
393	C₄	#3283	1	1	yes	characteristic
394	C₄	#3285	1	2	yes	—
395	C₂	—	8	2	no	—
396	C₂	—	16	2	no	—
397	C₂	#19957	1	2	yes	—
398	C₂	#20019	1	2	yes	—
399	C₂	#25758	1	1	yes	characteristic
400	C₂	#25778	1	1	yes	characteristic
401	C₂	#25805	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#3341	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #28528	C₂	semidirect
3. #25704	C₂	semidirect
4. C₂×#1713	C₂	semidirect
5. C₂×#1675	C₂	semidirect
6. C₂×#1634	C₂	semidirect
7. #10278	C₂	semidirect
8. #10056	C₂	semidirect
9. #9730	C₂	semidirect
10. #9657	C₂	semidirect
11. C₈×#102	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3341	2
#28528	2
#25704	2
C₂×#1713	2
C₂×#1675	2
C₂×#1634	2
#10278	2
#10056	2
#9730	2
#9657	2
C₈×#102	2