Subgroups — #300609

Order 512.

1142 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 440 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3396	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#28463	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#25633	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1712	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1668	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1620	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10262	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10047	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9734	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#9656	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#103	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#559	C₂²	1	2	yes	—
13	#3396	—	2	4	no	—
14	#3396	—	2	4	no	—
15	C₂×#495	—	2	1	no	—
16	C₂×#495	—	2	1	no	—
17	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#460	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#460	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#460	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#463	—	2	2	no	—
25	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄×D₈	—	2	1	no	—
28	#2548	C₂²	1	2	yes	—
29	#2012	—	2	4	no	—
30	#2012	—	2	2	no	—
31	#1984	C₂²	1	2	yes	—
32	#1982	C₂²	1	2	yes	—
33	#1970	—	2	1	no	—
34	#1879	—	2	4	no	—
35	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1712	—	2	4	no	—
38	#1668	—	2	4	no	—
39	#1620	—	2	8	no	—
40	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
51	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
52	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
53	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
54	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
55	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
56	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
57	C₂²×D₈	—	4	2	no	—
58	#559	—	2	4	no	—
59	#559	—	2	4	no	—
60	#559	—	2	4	no	—
61	#559	—	4	2	no	—
62	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×#124	—	2	2	no	—
65	C₂×#124	—	2	2	no	—
66	C₂×#124	—	2	2	no	—
67	C₂×#123	—	4	2	no	—
68	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
72	#495	—	2	8	no	—
73	#495	—	4	4	no	—
74	#493	—	2	4	no	—
75	#493	—	2	4	no	—
76	#493	—	2	2	no	—
77	#493	—	2	4	no	—
78	#493	—	2	2	no	—
79	#493	—	2	2	no	—
80	#493	—	4	2	no	—
81	#493	D₄	1	4	yes	—
82	#463	—	2	16	no	—
83	#460	—	2	4	no	—
84	#460	—	2	4	no	—
85	#460	—	2	4	no	—
86	#460	—	2	4	no	—
87	#460	—	2	4	no	—
88	#460	—	4	2	no	—
89	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
90	C₈×Q₈	D₄	1	4	yes	—
91	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
92	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
93	C₄×D₈	—	2	8	no	—
94	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
96	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×#103	D₄	1	2	yes	—
100	C₂×#103	D₄	1	2	yes	—
101	C₂×#102	—	2	2	no	—
102	C₂×#102	—	2	2	no	—
103	C₂×#102	—	2	2	no	—
104	C₂×#102	—	2	4	no	—
105	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
106	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
107	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	#394	—	4	2	no	—
111	#390	—	2	4	no	—
112	#390	—	2	2	no	—
113	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	#340	D₄	1	2	yes	—
115	#336	—	2	4	no	—
116	#336	—	2	1	no	—
117	#335	—	2	2	no	—
118	#331	—	2	4	no	—
119	#331	—	2	4	no	—
120	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
121	Q₈⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
122	C₈²	—	2	2	no	—
123	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
131	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
132	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
136	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
137	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
138	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
139	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
140	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
141	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
142	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
143	C₂×D₈	—	2	4	no	—
144	C₂×D₈	—	2	4	no	—
145	C₂×D₈	—	4	8	no	—
146	C₂×D₈	—	4	8	no	—
147	C₂×D₈	—	4	2	no	—
148	C₂×D₈	—	4	2	no	—
149	C₂×D₈	—	4	2	no	—
150	C₂×D₈	—	4	8	no	—
151	C₂×D₈	—	4	2	no	—
152	C₂×D₈	—	4	2	no	—
153	C₂×D₈	—	4	2	no	—
154	C₂×D₈	—	8	1	no	—
155	C₂×D₈	—	8	1	no	—
156	C₂×D₈	—	8	4	no	—
157	C₂×D₈	—	8	1	no	—
158	C₂×D₈	—	8	1	no	—
159	C₂×D₈	—	8	8	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
162	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	#127	—	2	2	no	—
168	#127	—	2	2	no	—
169	#127	—	2	2	no	—
170	#127	—	2	2	no	—
171	#127	—	2	2	no	—
172	#127	—	2	2	no	—
173	#127	—	2	2	no	—
174	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	#124	—	2	8	no	—
176	#124	—	4	4	no	—
177	#124	—	4	4	no	—
178	#124	—	4	4	no	—
179	#124	—	4	4	no	—
180	#124	—	8	2	no	—
181	#123	—	4	8	no	—
182	#123	—	4	8	no	—
183	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
184	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
185	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
186	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
187	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
188	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
189	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₄×D₄	—	2	8	no	—
192	C₄×D₄	—	4	4	no	—
193	C₄×D₄	—	4	4	no	—
194	C₄×D₄	—	4	4	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
205	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
206	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
207	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
208	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
209	#107	—	2	2	no	—
210	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
211	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
212	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
213	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
214	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
215	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
216	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
217	#103	—	2	4	no	—
218	#103	—	2	4	no	—
219	#102	—	2	8	no	—
220	#102	—	4	4	no	—
221	#102	—	4	4	no	—
222	#102	—	8	4	no	—
223	C₄×C₈	—	2	4	no	—
224	C₄×C₈	—	2	1	no	—
225	C₄×C₈	—	2	1	no	—
226	C₄×C₈	—	2	1	no	—
227	C₄×C₈	—	4	2	no	—
228	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
229	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
230	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
231	#95	—	2	1	no	—
232	C₂⁴	—	4	2	no	—
233	C₂⁴	—	4	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
238	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
241	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
242	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
243	C₂×Q₈	#127	1	2	yes	—
244	C₂×D₄	—	2	4	no	—
245	C₂×D₄	—	2	4	no	—
246	C₂×D₄	—	2	4	no	—
247	C₂×D₄	—	4	2	no	—
248	C₂×D₄	—	4	2	no	—
249	C₂×D₄	—	4	2	no	—
250	C₂×D₄	—	4	2	no	—
251	C₂×D₄	—	4	2	no	—
252	C₂×D₄	—	4	2	no	—
253	C₂×D₄	—	4	2	no	—
254	C₂×D₄	—	4	2	no	—
255	C₂×D₄	—	4	2	no	—
256	C₂×D₄	—	4	4	no	—
257	C₂×D₄	—	4	2	no	—
258	C₂×D₄	—	4	4	no	—
259	C₂×D₄	—	4	2	no	—
260	C₂×D₄	—	4	2	no	—
261	C₂×D₄	—	4	2	no	—
262	C₂×D₄	—	4	4	no	—
263	C₂×D₄	—	4	2	no	—
264	C₂×D₄	—	4	2	no	—
265	C₂×D₄	—	4	2	no	—
266	C₂×D₄	—	4	4	no	—
267	C₂×D₄	—	4	2	no	—
268	C₂×D₄	—	8	4	no	—
269	C₂×D₄	—	8	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
276	C₂²×C₄	—	16	4	no	—
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
280	Q₁₆	—	4	4	no	—
281	SD₁₆	—	8	8	no	—
282	SD₁₆	—	8	8	no	—
283	SD₁₆	—	8	8	no	—
284	D₈	—	4	8	no	—
285	D₈	—	8	4	no	—
286	D₈	—	8	16	no	—
287	D₈	—	8	16	no	—
288	D₈	—	8	4	no	—
289	D₈	—	8	4	no	—
290	C₂×C₈	—	2	4	no	—
291	C₂×C₈	—	2	2	no	—
292	C₂×C₈	—	2	2	no	—
293	C₂×C₈	—	2	1	no	—
294	C₂×C₈	—	2	1	no	—
295	C₂×C₈	—	2	2	no	—
296	C₂×C₈	—	2	2	no	—
297	C₂×C₈	—	2	2	no	—
298	C₂×C₈	—	4	1	no	—
299	C₂×C₈	—	4	1	no	—
300	C₂×C₈	—	4	1	no	—
301	C₂×C₈	—	4	1	no	—
302	C₂×C₈	—	4	2	no	—
303	C₂×C₈	—	4	4	no	—
304	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
305	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
306	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
307	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
308	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
309	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
312	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
313	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
314	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
315	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
316	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
318	C₄⋊C₄	#127	1	2	yes	—
319	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
324	C₄²	—	2	2	no	—
325	C₄²	—	2	2	no	—
326	C₄²	—	4	2	no	—
327	C₄²	—	4	2	no	—
328	C₄²	—	4	1	no	—
329	C₄²	—	4	1	no	—
330	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
331	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
332	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
333	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
334	C₂³	—	4	4	no	—
335	C₂³	—	8	2	no	—
336	C₂³	—	8	2	no	—
337	C₂³	—	8	4	no	—
338	C₂³	—	8	4	no	—
339	C₂³	—	8	2	no	—
340	C₂³	—	8	2	no	—
341	C₂³	—	8	2	no	—
342	C₂³	—	8	4	no	—
343	C₂³	—	8	4	no	—
344	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
345	Q₈	—	2	2	no	—
346	Q₈	—	2	2	no	—
347	Q₈	—	4	2	no	—
348	Q₈	—	4	2	no	—
349	Q₈	—	4	2	no	—
350	Q₈	—	4	2	no	—
351	Q₈	—	4	2	no	—
352	D₄	—	4	4	no	—
353	D₄	—	4	4	no	—
354	D₄	—	4	8	no	—
355	D₄	—	8	4	no	—
356	D₄	—	8	4	no	—
357	D₄	—	8	2	no	—
358	D₄	—	8	2	no	—
359	D₄	—	8	2	no	—
360	D₄	—	8	2	no	—
361	D₄	—	8	2	no	—
362	D₄	—	8	2	no	—
363	D₄	—	8	2	no	—
364	D₄	—	8	2	no	—
365	D₄	—	8	4	no	—
366	D₄	—	8	2	no	—
367	D₄	—	8	2	no	—
368	D₄	—	16	2	no	—
369	D₄	—	16	2	no	—
370	C₂×C₄	—	2	2	no	—
371	C₂×C₄	—	2	2	no	—
372	C₂×C₄	—	2	2	no	—
373	C₂×C₄	—	4	2	no	—
374	C₂×C₄	—	4	2	no	—
375	C₂×C₄	—	4	2	no	—
376	C₂×C₄	—	4	2	no	—
377	C₂×C₄	—	4	2	no	—
378	C₂×C₄	—	4	2	no	—
379	C₂×C₄	—	4	2	no	—
380	C₂×C₄	—	4	2	no	—
381	C₂×C₄	—	4	2	no	—
382	C₂×C₄	—	4	4	no	—
383	C₂×C₄	—	16	8	no	—
384	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
388	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
392	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
393	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
394	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
395	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
396	C₈	—	2	4	no	—
397	C₈	—	2	2	no	—
398	C₈	—	2	4	no	—
399	C₈	—	4	2	no	—
400	C₈	—	4	2	no	—
401	C₈	—	8	2	no	—
402	C₈	#449	1	4	yes	—
403	C₂²	—	8	4	no	—
404	C₂²	—	8	4	no	—
405	C₂²	—	8	4	no	—
406	C₂²	—	16	4	no	—
407	C₂²	—	16	4	no	—
408	C₂²	—	16	4	no	—
409	C₂²	—	16	2	no	—
410	C₂²	—	16	2	no	—
411	C₂²	—	16	2	no	—
412	C₂²	—	16	4	no	—
413	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
414	C₂²	#3274	1	1	yes	characteristic
415	C₂²	#3287	1	1	yes	characteristic
416	C₂²	#3287	1	2	yes	—
417	C₂²	#3292	1	2	yes	—
418	C₄	—	2	1	no	—
419	C₄	—	2	1	no	—
420	C₄	—	4	2	no	—
421	C₄	—	4	2	no	—
422	C₄	—	8	2	no	—
423	C₄	—	8	2	no	—
424	C₄	—	8	2	no	—
425	C₄	C₂×#449	1	1	yes	characteristic
426	C₄	#3008	1	1	yes	characteristic
427	C₄	#3147	1	1	yes	characteristic
428	C₄	#3155	1	1	yes	characteristic
429	C₄	#3274	1	1	yes	characteristic
430	C₄	#3280	1	2	yes	—
431	C₄	#3287	1	1	yes	characteristic
432	C₂	—	16	4	no	—
433	C₂	—	32	2	no	—
434	C₂	#19962	1	2	yes	—
435	C₂	#20021	1	2	yes	—
436	C₂	#25759	1	1	yes	characteristic
437	C₂	#25777	1	1	yes	characteristic
438	C₂	#25805	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#1712	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3396	C₂	semidirect
2. #28463	C₂	semidirect
3. #25633	C₂	semidirect
5. C₂×#1668	C₂	semidirect
6. C₂×#1620	C₂	semidirect
7. #10262	C₂	semidirect
8. #10047	C₂	semidirect
9. #9734	C₂	semidirect
10. #9656	C₂	semidirect
11. C₈×#103	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3396	2
#28463	2
#25633	2
C₂×#1712	2
C₂×#1668	2
C₂×#1620	2
#10262	2
#10047	2
#9734	2
#9656	2
C₈×#103	2