Subgroups — #300624

Order 512.

936 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 370 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×Q₈×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#28531	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#25841	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1713	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1676	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×#1633	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10279	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10057	C₂	1	2	yes	maximal
9	#9730	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#9656	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₈×#103	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×Q₈²	C₂²	1	2	yes	—
13	Q₈×Q₁₆	—	2	4	no	—
14	Q₈×Q₁₆	—	2	4	no	—
15	C₂×#500	—	2	1	no	—
16	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#494	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#477	—	2	2	no	—
21	C₂×#477	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#477	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#477	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄×Q₁₆	—	2	1	no	—
26	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2567	C₂²	1	2	yes	—
28	#2095	—	2	2	no	—
29	#2057	—	2	4	no	—
30	#1987	C₂²	1	2	yes	—
31	#1984	C₂²	1	2	yes	—
32	#1969	—	2	1	no	—
33	#1863	—	2	4	no	—
34	#1845	—	2	1	no	—
35	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1713	—	2	4	no	—
38	#1676	—	2	4	no	—
39	#1633	—	2	8	no	—
40	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×Q₁₆	—	4	2	no	—
49	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
50	Q₈²	—	2	4	no	—
51	Q₈²	—	2	4	no	—
52	Q₈²	—	2	4	no	—
53	Q₈²	—	4	2	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#500	—	2	8	no	—
64	#500	—	2	4	no	—
65	#500	—	2	2	no	—
66	#500	—	2	2	no	—
67	#500	—	2	2	no	—
68	#500	—	4	2	no	—
69	#500	D₄	1	4	yes	—
70	#494	—	2	4	no	—
71	#494	—	2	4	no	—
72	#477	—	2	16	no	—
73	#477	—	2	4	no	—
74	#477	—	2	4	no	—
75	#477	—	2	4	no	—
76	#477	—	2	4	no	—
77	#477	—	2	4	no	—
78	#477	—	4	2	no	—
79	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
80	C₈×Q₈	D₄	1	4	yes	—
81	C₄×Q₁₆	—	2	8	no	—
82	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
83	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
84	C₂×#107	—	2	1	no	—
85	C₂×#107	—	2	1	no	—
86	C₂×#107	—	2	2	no	—
87	C₂×#107	—	2	4	no	—
88	C₂×#107	—	2	1	no	—
89	C₂×#107	—	2	1	no	—
90	C₂×#107	—	2	2	no	—
91	C₂×#107	—	2	2	no	—
92	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
94	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×#103	—	2	2	no	—
98	C₂×#103	—	2	2	no	—
99	C₂×#103	—	2	2	no	—
100	C₂×#103	D₄	1	2	yes	—
101	C₂×#103	D₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
103	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
104	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	#395	—	4	2	no	—
108	#391	—	2	2	no	—
109	#389	—	2	4	no	—
110	#384	—	2	2	no	—
111	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	#340	—	2	4	no	—
113	#340	D₄	1	2	yes	—
114	#336	—	2	4	no	—
115	#336	—	2	1	no	—
116	#335	—	2	2	no	—
117	#333	—	2	4	no	—
118	#333	—	2	4	no	—
119	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
120	Q₈⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
121	C₈²	—	2	2	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
125	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
130	C₂×Q₁₆	—	8	8	no	—
131	C₂×Q₁₆	Q₁₆	1	4	yes	complemented
132	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
152	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
154	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
155	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
156	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
157	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
158	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
159	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
160	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
161	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
162	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
163	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
180	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
181	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
182	#107	—	2	8	no	—
183	#107	—	2	4	no	—
184	#107	—	2	4	no	—
185	#107	—	2	2	no	—
186	#107	—	4	4	no	—
187	#107	—	4	8	no	—
188	#107	—	4	2	no	—
189	#107	—	4	2	no	—
190	#107	—	4	4	no	—
191	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
192	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
193	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
194	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
195	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
196	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	#103	—	2	8	no	—
199	#103	—	2	4	no	—
200	#103	—	4	4	no	—
201	#103	—	4	4	no	—
202	#103	Q₁₆	1	8	yes	complemented
203	C₄×C₈	—	2	4	no	—
204	C₄×C₈	—	2	1	no	—
205	C₄×C₈	—	2	1	no	—
206	C₄×C₈	—	2	1	no	—
207	C₄×C₈	—	4	2	no	—
208	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
209	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
210	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
211	#95	—	2	1	no	—
212	#95	—	4	4	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
222	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
225	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
226	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
227	C₂×Q₈	—	16	4	no	—
228	C₂×Q₈	#127	1	2	yes	—
229	C₂×Q₈	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
230	C₂×Q₈	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
241	Q₁₆	—	2	8	no	—
242	Q₁₆	—	8	16	no	—
243	C₂×C₈	—	2	4	no	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	2	no	—
246	C₂×C₈	—	2	1	no	—
247	C₂×C₈	—	2	1	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	2	2	no	—
251	C₂×C₈	—	4	1	no	—
252	C₂×C₈	—	4	1	no	—
253	C₂×C₈	—	4	1	no	—
254	C₂×C₈	—	4	1	no	—
255	C₂×C₈	—	4	2	no	—
256	C₂×C₈	—	4	4	no	—
257	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
258	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
259	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
260	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
261	C₂×C₈	#137	1	2	yes	—
262	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	16	4	no	—
281	C₄⋊C₄	#127	1	2	yes	—
282	C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
283	C₄²	—	2	2	no	—
284	C₄²	—	2	2	no	—
285	C₄²	—	4	8	no	—
286	C₄²	—	4	2	no	—
287	C₄²	—	4	2	no	—
288	C₄²	—	4	1	no	—
289	C₄²	—	4	1	no	—
290	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
294	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
295	Q₈	—	2	2	no	—
296	Q₈	—	2	4	no	—
297	Q₈	—	2	4	no	—
298	Q₈	—	2	4	no	—
299	Q₈	—	4	2	no	—
300	Q₈	—	4	2	no	—
301	Q₈	—	8	4	no	—
302	Q₈	—	8	4	no	—
303	Q₈	—	16	2	no	—
304	Q₈	—	16	2	no	—
305	Q₈	—	16	8	no	—
306	Q₈	#494	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	8	4	no	—
322	C₂×C₄	—	8	2	no	—
323	C₂×C₄	—	8	4	no	—
324	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
336	C₈	—	2	4	no	—
337	C₈	—	2	2	no	—
338	C₈	—	2	4	no	—
339	C₈	—	4	2	no	—
340	C₈	—	4	2	no	—
341	C₈	—	8	2	no	—
342	C₈	#451	1	4	yes	—
343	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	#3276	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	D₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	D₄×Q₁₆	1	2	yes	—
347	C₂²	#3292	1	2	yes	—
348	C₄	—	2	4	no	—
349	C₄	—	2	1	no	—
350	C₄	—	2	1	no	—
351	C₄	—	4	4	no	—
352	C₄	—	4	2	no	—
353	C₄	—	4	4	no	—
354	C₄	—	8	2	no	—
355	C₄	—	8	4	no	—
356	C₄	—	16	2	no	—
357	C₄	C₂×#451	1	1	yes	characteristic
358	C₄	#3011	1	1	yes	characteristic
359	C₄	C₂×#494	1	1	yes	characteristic
360	C₄	#3156	1	1	yes	characteristic
361	C₄	#3276	1	1	yes	characteristic
362	C₄	D₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
363	C₄	D₄×Q₁₆	1	2	yes	—
364	C₂	#19930	1	2	yes	—
365	C₂	Q₁₆²	1	2	yes	—
366	C₂	#25760	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#25780	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#25805	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
131. C₂×Q₁₆	Q₁₆	semidirect
202. #103	Q₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×Q₈×Q₁₆	2
#28531	2
#25841	2
C₂×#1713	2
C₂×#1676	2
C₂×#1633	2
#10279	2
#10057	2
#9730	2
#9656	2
C₈×#103	2