Group #3022 — subgroups

Subgroups — #3022

Order 128.

352 conjugacy classes of subgroups; only the 106 normal subgroups are shown.

normal subgroups only

This group has 352 conjugacy classes of subgroups — too many to draw. Only its 106 normal subgroups are shown.

Dotted edges: containments with no intermediate normal subgroup — omitted non-normal subgroups may lie between.

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#585	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#137	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#536	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#456	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#455	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#421	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#413	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	2₋¹⁺⁴	—	2	2	no	—
9	2₋¹⁺⁴	C₂²	1	2	yes	—
10	H(5,𝔽₂)	—	2	2	no	—
11	H(5,𝔽₂)	—	2	2	no	—
12	H(5,𝔽₂)	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#41	—	2	4	no	—
14	C₂×#41	—	2	2	no	—
15	C₂×#41	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
18	#137	—	2	4	no	—
19	#137	C₂²	1	8	yes	complemented
20	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
21	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
22	C₂×M₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
23	C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
24	#124	C₂²	1	2	yes	complemented
25	#123	—	2	2	no	—
26	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
27	#117	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
28	#104	C₂²	1	8	yes	complemented
29	#101	C₂²	1	2	yes	complemented
30	#100	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#41	—	2	4	no	—
32	#41	—	2	8	no	—
33	#41	—	2	4	no	—
34	#41	—	2	4	no	—
35	#41	—	2	4	no	—
36	#41	—	2	2	no	—
37	#41	—	2	2	no	—
38	#41	—	2	4	no	—
39	#41	—	2	2	no	—
40	#41	—	2	2	no	—
41	#41	D₄	1	4	yes	—
42	#41	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
44	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
45	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
46	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
47	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂×Q₈	D₄	1	2	yes	—
49	C₂×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×D₄	—	2	8	no	—
52	C₂×D₄	—	2	2	no	—
53	C₂×D₄	—	2	4	no	—
54	C₂×D₄	—	2	2	no	—
55	C₂×D₄	—	2	4	no	—
56	C₂×D₄	D₄	1	2	yes	—
57	C₂×D₄	D₄	1	2	yes	—
58	C₂×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
60	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
61	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
62	C₂²×C₄	D₄	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	Q₁₆	—	2	8	no	—
65	SD₁₆	—	2	8	no	—
66	M₁₆	—	2	2	no	—
67	M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂×C₈	—	2	2	no	—
69	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
70	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
71	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
72	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
73	C₄²	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂³	—	2	4	no	—
75	C₂³	—	2	2	no	—
76	C₂³	C₂×D₄	1	2	yes	—
77	C₂³	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
78	Q₈	—	2	4	no	—
79	Q₈	—	2	2	no	—
80	Q₈	—	2	2	no	—
81	Q₈	—	2	4	no	—
82	Q₈	—	4	1	no	—
83	Q₈	—	4	1	no	—
84	Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
85	D₄	—	2	8	no	—
86	D₄	—	2	4	no	—
87	D₄	—	2	4	no	—
88	D₄	—	2	4	no	—
89	D₄	—	2	4	no	—
90	D₄	—	2	2	no	—
91	D₄	—	2	2	no	—
92	D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
93	C₂×C₄	—	2	4	no	—
94	C₂×C₄	—	2	8	no	—
95	C₂×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂×C₄	—	2	4	no	—
97	C₂×C₄	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄	—	2	2	no	—
99	C₂×C₄	—	2	4	no	—
100	C₂×C₄	—	2	2	no	—
101	C₂×C₄	—	2	2	no	—
102	C₂×C₄	—	4	2	no	—
103	C₂×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
106	C₂×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
108	C₈	—	2	4	no	—
109	C₂²	—	2	2	no	—
110	C₂²	—	2	4	no	—
111	C₂²	—	4	1	no	—
112	C₂²	—	4	2	no	—
113	C₂²	—	8	2	no	—
114	C₂²	—	8	4	no	—
115	C₂²	#120	1	2	yes	—
116	C₂²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₄	—	2	4	no	—
118	C₄	—	2	2	no	—
119	C₄	—	4	2	no	—
120	C₄	—	4	2	no	—
121	C₄	#120	1	1	yes	characteristic
122	C₄	#120	1	1	yes	characteristic
123	C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
124	C₂	—	2	1	no	—
125	C₂	—	2	2	no	—
126	C₂	—	4	2	no	—
127	C₂	—	4	4	no	—
128	C₂	C₂×#120	1	1	yes	characteristic

subgroup

G/H

class size

multiplicity

normal?

properties

#585

C₂

yes

maximal, characteristic

C₂×#137

C₂

yes

maximal, complemented

#536

C₂

yes

maximal, characteristic, complemented

#456

C₂

yes

maximal, complemented

#455

C₂

yes

maximal, complemented

#421

C₂

yes

maximal, complemented

#413

C₂

yes

maximal, characteristic, complemented

2₋¹⁺⁴

—

2₋¹⁺⁴

C₂²

yes

—

H(5,𝔽₂)

—

H(5,𝔽₂)

—

H(5,𝔽₂)

C₂²

yes

—

C₂×#41

—

C₂×#41

—

C₂×#41

C₂²

yes

—

C₂×#41

C₂²

yes

characteristic

C₂²×Q₈

C₂²

yes

characteristic, complemented

#137

—

#137

C₂²

yes

complemented

C₂×Q₁₆

—

C₂×SD₁₆

—

C₂×M₁₆

C₂²

yes

complemented

C₄⋊Q₈

C₂²

yes

complemented

#124

C₂²

yes

complemented

#123

—

C₂²⋊Q₈

—

#117

C₂²

yes

characteristic, complemented

#104

C₂²

yes

complemented

#101

C₂²

yes

complemented

#100

C₂²

yes

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

D₄

yes

—

#41

C₂³

yes

—

C₂×Q₈

—

C₂×Q₈

—

C₂×Q₈

—

C₂×Q₈

—

C₂×Q₈

—

C₂×Q₈

D₄

yes

—

C₂×Q₈

C₂³

yes

—

C₂×Q₈

C₂³

yes

characteristic

C₂×D₄

—

C₂×D₄

—

C₂×D₄

—

C₂×D₄

—

C₂×D₄

—

C₂×D₄

D₄

yes

—

C₂×D₄

D₄

yes

—

C₂×D₄

C₂³

yes

characteristic

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

D₄

yes

—

C₂²×C₄

C₂³

yes

characteristic

Q₁₆

—

SD₁₆

—

M₁₆

—

M₁₆

C₂³

yes

—

C₂×C₈

—

C₄⋊C₄

—

C₄⋊C₄

—

C₂²⋊C₄

—

C₂²⋊C₄

—

C₄²

C₂³

yes

—

C₂³

—

C₂³

—

C₂³

C₂×D₄

yes

—

C₂³

C₂×D₄

yes

characteristic

Q₈

—

Q₈

—

Q₈

—

Q₈

—

Q₈

—

Q₈

—

Q₈

C₂×D₄

yes

—

D₄

—

D₄

—

D₄

—

D₄

—

D₄

—

D₄

—

D₄

—

D₄

C₂×D₄

yes

—

C₂×C₄

—

C₂×C₄

—

C₂×C₄

—

C₂×C₄

—

C₂×C₄

—

C₂×C₄

—

C₂×C₄

—

100

C₂×C₄

—

101

C₂×C₄

—

102

C₂×C₄

—

103

C₂×C₄

C₂×D₄

yes

—

104

C₂×C₄

C₂×D₄

yes

characteristic

105

C₂×C₄

C₂×D₄

yes

—

106

C₂×C₄

C₂×D₄

yes

—

107

C₂×C₄

C₂⁴

yes

characteristic

108

C₈

—

109

C₂²

—

110

C₂²

—

111

C₂²

—

112

C₂²

—

113

C₂²

—

114

C₂²

—

115

C₂²

#120

yes

—

116

C₂²

C₂²×D₄

yes

characteristic

117

C₄

—

118

C₄

—

119

C₄

—

120

C₄

—

121

C₄

#120

yes

characteristic

122

C₄

#120

yes

characteristic

123

C₄

C₂²×D₄

yes

—

124

C₂

—

125

C₂

—

126

C₂

—

127

C₂

—

128

C₂

C₂×#120

yes

characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂	C₂×#120
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁴
prime radical	#585	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

subgroup

G/H

center, socle

C₂

C₂×#120

commutator, Frattini, cosocle

C₂×C₄

C₂⁴

C₂

G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

C₁ ◁ C₂ ◁ C₂²×C₄ ◁ G

G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#137	C₂	semidirect
3. #536	C₂	semidirect
4. #456	C₂	semidirect
5. #455	C₂	semidirect
6. #421	C₂	semidirect
7. #413	C₂	semidirect
17. C₂²×Q₈	C₂²	semidirect
19. #137	C₂²	semidirect
22. C₂×M₁₆	C₂²	semidirect
23. C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
24. #124	C₂²	semidirect
27. #117	C₂²	semidirect
28. #104	C₂²	semidirect
29. #101	C₂²	semidirect
30. #100	C₂²	semidirect

H ≅ G/N

type

2. C₂×#137

C₂

semidirect

3. #536

C₂

semidirect

4. #456

C₂

semidirect

5. #455

C₂

semidirect

6. #421

C₂

semidirect

7. #413

C₂

semidirect

17. C₂²×Q₈

C₂²

semidirect

19. #137

C₂²

semidirect

22. C₂×M₁₆

C₂²

semidirect

23. C₄⋊Q₈

C₂²

semidirect

24. #124

C₂²

semidirect

27. #117

C₂²

semidirect

28. #104

C₂²

semidirect

29. #101

C₂²

semidirect

30. #100

C₂²

semidirect

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#585	2
C₂×#137	2
#536	2
#456	2
#455	2
#421	2
#413	2

subgroup

index

Subgroups — #3022

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups