Subgroups — #3026

Order 128.

400 conjugacy classes of subgroups.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#534	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	#458	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	B(4,𝔽₂)	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂×#99	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	H(5,𝔽₂)	—	2	6	no	—
7	H(5,𝔽₂)	C₂²	1	4	yes	—
8	C₂×#41	—	2	3	no	—
9	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
10	C₂²×D₄	C₂²	1	3	yes	—
11	C₂²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
12	#123	—	2	3	no	—
13	#123	C₂²	1	6	yes	complemented
14	#121	—	2	6	no	—
15	#120	—	2	3	no	—
16	#120	C₂²	1	6	yes	complemented
17	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²	1	3	yes	complemented
18	#99	C₂²	1	12	yes	complemented
19	C₂⁴	—	2	1	no	—
20	C₂⁴	D₄	1	3	yes	complemented
21	C₂⁴	C₂³	1	1	yes	characteristic
22	C₂⁴	C₂³	1	1	yes	characteristic, complemented
23	#41	—	2	12	no	—
24	#41	—	2	12	no	—
25	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
26	C₂×D₄	—	2	3	no	—
27	C₂×D₄	—	2	12	no	—
28	C₂×D₄	—	2	6	no	—
29	C₂×D₄	—	2	12	no	—
30	C₂×D₄	—	2	6	no	—
31	C₂×D₄	—	2	3	no	—
32	C₂×D₄	—	2	3	no	—
33	C₂×D₄	—	2	6	no	—
34	C₂×D₄	D₄	1	6	yes	complemented
35	C₂×D₄	C₂³	1	6	yes	—
36	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
37	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
38	C₂²×C₄	D₄	1	3	yes	complemented
39	C₂²×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic, complemented
40	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
41	C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
42	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
43	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
44	C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	complemented
45	C₂³	—	2	4	no	—
46	C₂³	—	2	3	no	—
47	C₂³	—	2	3	no	—
48	C₂³	—	2	3	no	—
49	C₂³	—	8	1	no	—
50	C₂³	—	8	1	no	—
51	C₂³	—	8	3	no	—
52	C₂³	—	8	2	no	—
53	C₂³	C₂×D₄	1	6	yes	—
54	C₂³	C₂×D₄	1	3	yes	—
55	C₂³	C₂×D₄	1	3	yes	—
56	C₂³	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
57	Q₈	—	2	4	no	—
58	D₄	—	2	12	no	—
59	D₄	—	2	12	no	—
60	D₄	—	2	12	no	—
61	D₄	—	4	1	no	—
62	D₄	—	4	3	no	—
63	D₄	—	8	6	no	—
64	C₂×C₄	—	2	12	no	—
65	C₂×C₄	—	2	3	no	—
66	C₂×C₄	—	2	3	no	—
67	C₂×C₄	—	2	6	no	—
68	C₂×C₄	—	2	3	no	—
69	C₂×C₄	—	8	3	no	—
70	C₂×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
71	C₂²	—	2	6	no	—
72	C₂²	—	4	3	no	—
73	C₂²	—	4	3	no	—
74	C₂²	—	4	1	no	—
75	C₂²	—	4	6	no	—
76	C₂²	—	4	6	no	—
77	C₂²	—	4	6	no	—
78	C₂²	—	4	1	no	—
79	C₂²	—	8	3	no	—
80	C₂²	—	8	4	no	—
81	C₂²	#120	1	1	yes	characteristic
82	C₂²	#120	1	3	yes	—
83	C₂²	C₂²×D₄	1	3	yes	—
84	C₄	—	2	6	no	—
85	C₄	—	4	6	no	—
86	C₄	—	4	1	no	—
87	C₂	—	2	3	no	—
88	C₂	—	2	1	no	—
89	C₂	—	2	3	no	—
90	C₂	—	4	6	no	—
91	C₂	—	8	1	no	—
92	C₂	C₂×#120	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂	C₂×#120
commutator, Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×H(5,𝔽₂)	C₂	semidirect
2. #534	C₂	semidirect
3. #458	C₂	semidirect
4. B(4,𝔽₂)	C₂	semidirect
5. C₂×#99	C₂	semidirect
11. C₂²×D₄	C₂²	semidirect
13. #123	C₂²	semidirect
16. #120	C₂²	semidirect
17. C₂×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
18. #99	C₂²	semidirect
20. C₂⁴	D₄	semidirect
22. C₂⁴	C₂³	semidirect
34. C₂×D₄	D₄	semidirect
38. C₂²×C₄	D₄	semidirect
39. C₂²×C₄	C₂³	semidirect
44. C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×H(5,𝔽₂)	2
#534	2
#458	2
B(4,𝔽₂)	2
C₂×#99	2