Subgroups — #3027

Order 128.

386 conjugacy classes of subgroups.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#585	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#535	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	B(4,𝔽₂)	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#410	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
5	2₋¹⁺⁴	—	2	3	no	—
6	H(5,𝔽₂)	—	2	3	no	—
7	H(5,𝔽₂)	C₂²	1	4	yes	—
8	C₂×#41	—	2	6	no	—
9	C₂×#41	C₂²	1	3	yes	—
10	C₂²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
11	#127	—	2	3	no	—
12	#124	—	2	3	no	—
13	#121	—	2	6	no	—
14	#120	C₂²	1	12	yes	complemented
15	#117	C₂²	1	3	yes	complemented
16	#99	C₂²	1	12	yes	complemented
17	C₂⁴	C₂³	1	2	yes	—
18	#41	—	2	4	no	—
19	#41	—	2	12	no	—
20	#41	—	2	6	no	—
21	#41	—	2	12	no	—
22	#41	—	2	6	no	—
23	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
24	C₂×Q₈	D₄	1	3	yes	complemented
25	C₂×D₄	—	2	6	no	—
26	C₂×D₄	—	2	12	no	—
27	C₂×D₄	—	2	12	no	—
28	C₂×D₄	—	2	3	no	—
29	C₂×D₄	—	2	3	no	—
30	C₂×D₄	D₄	1	3	yes	complemented
31	C₂×D₄	C₂³	1	6	yes	—
32	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
33	C₂²×C₄	D₄	1	6	yes	complemented
34	C₂²×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
36	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
37	C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
38	C₄²	—	2	3	no	—
39	C₂³	—	2	4	no	—
40	C₂³	—	2	6	no	—
41	C₂³	—	8	2	no	—
42	C₂³	C₂×D₄	1	6	yes	—
43	C₂³	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
44	Q₈	—	2	4	no	—
45	Q₈	—	2	6	no	—
46	D₄	—	2	12	no	—
47	D₄	—	2	12	no	—
48	D₄	—	2	6	no	—
49	D₄	—	4	1	no	—
50	D₄	—	4	3	no	—
51	D₄	—	8	12	no	—
52	C₂×C₄	—	2	12	no	—
53	C₂×C₄	—	2	6	no	—
54	C₂×C₄	—	2	6	no	—
55	C₂×C₄	—	2	6	no	—
56	C₂×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
57	C₂×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
58	C₂×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
59	C₂²	—	2	6	no	—
60	C₂²	—	4	1	no	—
61	C₂²	—	4	6	no	—
62	C₂²	—	4	12	no	—
63	C₂²	—	4	2	no	—
64	C₂²	—	8	4	no	—
65	C₂²	C₂²×D₄	1	3	yes	—
66	C₄	—	2	6	no	—
67	C₄	—	4	6	no	—
68	C₄	#120	1	1	yes	characteristic
69	C₄	#120	1	3	yes	—
70	C₂	—	2	3	no	—
71	C₂	—	4	6	no	—
72	C₂	—	8	2	no	—
73	C₂	C₂×#120	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂	C₂×#120
commutator, Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #585	C₂	semidirect
2. #535	C₂	semidirect
3. B(4,𝔽₂)	C₂	semidirect
4. #410	C₂	semidirect
10. C₂²×D₄	C₂²	semidirect
14. #120	C₂²	semidirect
15. #117	C₂²	semidirect
16. #99	C₂²	semidirect
24. C₂×Q₈	D₄	semidirect
30. C₂×D₄	D₄	semidirect
33. C₂²×C₄	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#585	2
#535	2
B(4,𝔽₂)	2
#410	2