Subgroups — #305785

Order 512.

616 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 315 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28809	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#26042	C₂	1	2	yes	maximal
3	Q₈×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#10654	C₂	1	2	yes	maximal
5	#10574	C₂	1	2	yes	maximal
6	#9612	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#9593	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#8888	C₂	1	2	yes	maximal
9	#8813	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#8643	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₈×#103	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#498	—	2	1	no	—
13	C₂×#475	—	2	2	no	—
14	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#2551	C₂²	1	2	yes	—
16	Q₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	#2088	—	2	2	no	—
18	#2058	—	2	2	no	—
19	#2058	—	2	2	no	—
20	#1948	—	2	2	no	—
21	#1948	C₂²	1	2	yes	—
22	#1948	C₂²	1	2	yes	—
23	#1948	C₂²	1	2	yes	—
24	#1941	—	2	1	no	—
25	#1939	C₂²	1	2	yes	—
26	#1865	—	2	2	no	—
27	#1844	—	2	1	no	—
28	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1844	C₂²	1	2	yes	—
31	#1844	C₂²	1	2	yes	—
32	#1803	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄×#106	—	2	1	no	—
34	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1296	C₂²	1	2	yes	—
41	#1296	C₂²	1	2	yes	—
42	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1279	C₂²	1	2	yes	—
44	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#498	—	4	4	no	—
50	#475	—	4	8	no	—
51	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
52	C₈×Q₈	Q₈	1	4	yes	complemented
53	C₂×#106	—	2	2	no	—
54	C₂×#106	—	2	1	no	—
55	C₂×#106	—	2	1	no	—
56	C₂×#106	—	2	2	no	—
57	C₂×#106	—	2	2	no	—
58	C₂×#106	—	2	1	no	—
59	C₂×#106	—	2	2	no	—
60	C₂×#106	—	2	1	no	—
61	C₂×#106	—	2	2	no	—
62	C₂×#106	—	4	2	no	—
63	C₂×#106	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#106	D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#103	—	2	2	no	—
71	C₂×#103	D₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
73	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
74	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#395	—	4	2	no	—
78	#389	—	2	2	no	—
79	#389	—	2	2	no	—
80	#389	—	2	2	no	—
81	#389	—	4	2	no	—
82	#384	—	2	2	no	—
83	#384	C₂³	1	2	yes	—
84	#384	C₂³	1	2	yes	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
87	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#340	—	2	2	no	—
89	#340	—	2	2	no	—
90	#340	—	2	2	no	—
91	#340	—	2	2	no	—
92	#340	D₄	1	2	yes	—
93	#340	D₄	1	2	yes	—
94	#336	—	2	1	no	—
95	#336	—	2	2	no	—
96	#334	—	2	2	no	—
97	Q₈⋊C₈	Q₈	1	4	yes	complemented
98	C₈²	—	2	2	no	—
99	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
100	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
109	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
110	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
111	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
112	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
113	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
114	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
115	C₄×Q₈	—	8	2	no	—
116	C₄×Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
117	C₄×Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
134	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
136	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
137	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
138	#106	—	2	2	no	—
139	#106	—	4	4	no	—
140	#106	—	4	2	no	—
141	#106	—	4	2	no	—
142	#106	—	4	4	no	—
143	#106	—	4	4	no	—
144	#106	—	8	2	no	—
145	#106	—	8	1	no	—
146	#106	—	8	2	no	—
147	#106	—	8	1	no	—
148	#106	—	8	4	no	—
149	#106	SD₁₆	1	4	yes	—
150	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
151	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
152	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
153	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
154	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
155	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
156	C₄⋊C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
157	C₄⋊C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
158	#103	—	4	4	no	—
159	#103	SD₁₆	1	8	yes	—
160	C₄×C₈	—	2	4	no	—
161	C₄×C₈	—	2	1	no	—
162	C₄×C₈	—	2	1	no	—
163	C₄×C₈	—	2	1	no	—
164	C₄×C₈	—	4	2	no	—
165	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
166	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
167	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
168	#95	—	2	2	no	—
169	#95	—	2	1	no	—
170	#95	—	4	2	no	—
171	#95	—	4	2	no	—
172	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
173	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
174	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
175	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
176	C₂×Q₈	—	16	2	no	—
177	C₂×Q₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
178	C₂×Q₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
179	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
186	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₈	—	2	4	no	—
190	C₂×C₈	—	2	2	no	—
191	C₂×C₈	—	2	2	no	—
192	C₂×C₈	—	2	2	no	—
193	C₂×C₈	—	2	1	no	—
194	C₂×C₈	—	2	1	no	—
195	C₂×C₈	—	2	2	no	—
196	C₂×C₈	—	2	2	no	—
197	C₂×C₈	—	4	1	no	—
198	C₂×C₈	—	4	1	no	—
199	C₂×C₈	—	4	1	no	—
200	C₂×C₈	—	4	1	no	—
201	C₂×C₈	—	4	2	no	—
202	C₂×C₈	—	4	2	no	—
203	C₂×C₈	—	4	2	no	—
204	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
205	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
206	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
207	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
208	C₂×C₈	#137	1	2	yes	—
209	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
212	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
213	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
214	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
215	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
216	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
217	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
218	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
219	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
220	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
221	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
222	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
224	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
226	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
228	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
229	C₄⋊C₄	—	16	2	no	—
230	C₄⋊C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
231	C₄⋊C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
232	C₄⋊C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
233	C₄²	—	2	2	no	—
234	C₄²	—	2	2	no	—
235	C₄²	—	4	1	no	—
236	C₄²	—	4	2	no	—
237	C₄²	—	4	2	no	—
238	C₄²	—	4	1	no	—
239	C₄²	—	8	4	no	—
240	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
241	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
242	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
243	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
244	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
245	Q₈	—	2	4	no	—
246	Q₈	—	2	2	no	—
247	Q₈	—	16	8	no	—
248	Q₈	#498	1	4	yes	complemented
249	C₂×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂×C₄	—	4	2	no	—
257	C₂×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂×C₄	—	8	2	no	—
264	C₂×C₄	—	8	2	no	—
265	C₂×C₄	—	8	2	no	—
266	C₂×C₄	—	8	2	no	—
267	C₂×C₄	—	8	2	no	—
268	C₂×C₄	—	8	2	no	—
269	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄	#544	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
281	C₈	—	2	4	no	—
282	C₈	—	2	4	no	—
283	C₈	—	2	2	no	—
284	C₈	—	4	2	no	—
285	C₈	—	4	2	no	—
286	C₈	—	8	2	no	—
287	C₈	#475	1	4	yes	complemented
288	C₂²	#2440	1	1	yes	characteristic
289	C₂²	#3278	1	1	yes	characteristic
290	C₂²	D₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
291	C₂²	D₄×SD₁₆	1	2	yes	—
292	C₂²	#3291	1	2	yes	—
293	C₄	—	2	4	no	—
294	C₄	—	2	1	no	—
295	C₄	—	2	1	no	—
296	C₄	—	4	4	no	—
297	C₄	—	4	4	no	—
298	C₄	—	4	2	no	—
299	C₄	—	8	2	no	—
300	C₄	—	16	2	no	—
301	C₄	—	16	2	no	—
302	C₄	C₂×#475	1	1	yes	characteristic
303	C₄	#3084	1	1	yes	characteristic
304	C₄	C₂×#498	1	1	yes	characteristic
305	C₄	#3163	1	1	yes	characteristic
306	C₄	#3335	1	2	yes	—
307	C₄	Q₈×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
308	C₄	#3387	1	1	yes	characteristic
309	C₂	#19897	1	2	yes	—
310	C₂	SD₁₆²	1	2	yes	—
311	C₂	#26042	1	1	yes	characteristic
312	C₂	#26060	1	1	yes	characteristic
313	C₂	#26081	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
52. C₈×Q₈	Q₈	semidirect
97. Q₈⋊C₈	Q₈	semidirect
248. Q₈	#498	semidirect
287. C₈	#475	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28809	2
#26042	2
Q₈×#106	2
#10654	2
#10574	2
#9612	2
#9593	2
#8888	2
#8813	2
#8643	2
C₈×#103	2