Subgroups — C₆₇×#21755 #30701006

Order 17152.

1446 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 288 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#535×C₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₆₇×#2879	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₆₇×#1900	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	C₆₇×#1822	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₆₇×#1783	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#41×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂³×D₄×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×M₁₆×C₆₇	C₂²	1	4	yes	complemented
9	#535×C₆₇	—	2	8	no	—
10	C₂×#127×C₆₇	C₄	1	2	yes	—
11	C₂×#124×C₆₇	C₄	1	2	yes	—
12	C₂×#121×C₆₇	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#120×C₆₇	C₄	1	4	yes	—
14	C₂×#117×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#100×C₆₇	C₂²	1	8	yes	—
16	#408×C₆₇	—	2	8	no	—
17	#407×C₆₇	C₂²	1	4	yes	—
18	#407×C₆₇	C₂²	1	4	yes	complemented
19	#343×C₆₇	C₂²	1	8	yes	complemented
20	C₂⁵×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
21	C₂×#41×C₆₇	—	4	4	no	—
22	C₂×#41×C₆₇	D₄	1	8	yes	—
23	C₂²×Q₈×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×D₄×C₆₇	—	2	4	no	—
25	C₂²×D₄×C₆₇	—	4	4	no	—
26	C₂²×D₄×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
27	C₂²×D₄×C₆₇	C₂×C₄	1	8	yes	—
28	C₂²×D₄×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
29	C₂²×D₄×C₆₇	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×D₄×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
31	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂×M₁₆×C₆₇	—	2	4	no	—
34	C₂×M₁₆×C₆₇	—	4	8	no	—
35	C₂×M₁₆×C₆₇	C₂³	1	8	yes	—
36	C₂²×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
37	#127×C₆₇	—	2	8	no	—
38	#124×C₆₇	—	2	8	no	—
39	#121×C₆₇	—	2	8	no	—
40	#121×C₆₇	—	2	8	no	—
41	#120×C₆₇	—	2	16	no	—
42	#117×C₆₇	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	C₂×C₄²×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	#100×C₆₇	—	4	8	no	—
48	C₂²⋊C₈×C₆₇	—	2	8	no	—
49	C₂²⋊C₈×C₆₇	—	2	8	no	—
50	C₂⁴×C₆₇	—	2	4	no	—
51	C₂⁴×C₆₇	—	4	4	no	—
52	C₂⁴×C₆₇	—	8	4	no	—
53	C₂⁴×C₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
54	C₂⁴×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂⁴×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
56	#41×C₆₇	—	4	8	no	—
57	#41×C₆₇	—	4	8	no	—
58	C₂×Q₈×C₆₇	—	4	2	no	—
59	C₂×Q₈×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
60	C₂×D₄×C₆₇	—	2	16	no	—
61	C₂×D₄×C₆₇	—	2	4	no	—
62	C₂×D₄×C₆₇	—	2	4	no	—
63	C₂×D₄×C₆₇	—	2	8	no	—
64	C₂×D₄×C₆₇	—	4	4	no	—
65	C₂×D₄×C₆₇	—	4	2	no	—
66	C₂×D₄×C₆₇	—	4	4	no	—
67	C₂×D₄×C₆₇	—	4	16	no	—
68	C₂×D₄×C₆₇	—	8	8	no	—
69	C₂×D₄×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
70	C₂×D₄×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
72	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
76	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
77	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
78	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
80	M₁₆×C₆₇	—	2	16	no	—
81	M₁₆×C₆₇	—	4	8	no	—
82	C₂×C₈×C₆₇	—	2	8	no	—
83	C₂×C₈×C₆₇	—	4	8	no	—
84	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
85	C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
86	C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	16	no	—
87	C₄²×C₆₇	—	2	4	no	—
88	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
89	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
90	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
91	C₂³×C₆₇	—	2	8	no	—
92	C₂³×C₆₇	—	4	2	no	—
93	C₂³×C₆₇	—	4	4	no	—
94	C₂³×C₆₇	—	4	8	no	—
95	C₂³×C₆₇	—	4	8	no	—
96	C₂³×C₆₇	—	8	8	no	—
97	C₂³×C₆₇	—	8	16	no	—
98	C₂³×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
99	C₂³×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
100	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
101	Q₈×C₆₇	—	4	4	no	—
102	D₄×C₆₇	—	4	4	no	—
103	D₄×C₆₇	—	4	8	no	—
104	D₄×C₆₇	—	4	8	no	—
105	D₄×C₆₇	—	4	8	no	—
106	D₄×C₆₇	—	8	16	no	—
107	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
108	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
109	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
110	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
112	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
113	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
114	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
115	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
116	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
117	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₄×C₆₇	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
119	C₈×C₆₇	—	4	8	no	—
120	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₆₇	—	2	8	no	—
124	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₆₇	—	4	4	no	—
126	C₂²×C₆₇	—	4	4	no	—
127	C₂²×C₆₇	—	4	8	no	—
128	C₂²×C₆₇	—	8	4	no	—
129	C₂²×C₆₇	—	8	8	no	—
130	C₂²×C₆₇	—	8	16	no	—
131	C₂²×C₆₇	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₆₇	#518	1	2	yes	—
133	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
134	C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
135	C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
136	C₄×C₆₇	#534	1	4	yes	—
137	#21755	C₆₇	1	1	yes	maximal, characteristic, direct product factor, Sylow
138	C₂×C₆₇	—	2	2	no	—
139	C₂×C₆₇	—	4	2	no	—
140	C₂×C₆₇	—	4	4	no	—
141	C₂×C₆₇	—	8	4	no	—
142	C₂×C₆₇	#2308	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₆₇	#2888	1	2	yes	—
144	C₂×#535	C₂×C₆₇	1	1	yes	characteristic
145	#2879	C₂×C₆₇	1	2	yes	complemented
146	#1900	C₂×C₆₇	1	8	yes	complemented
147	#1822	C₂×C₆₇	1	2	yes	complemented
148	#1783	C₂×C₆₇	1	2	yes	complemented
149	C₆₇	#21755	1	1	yes	characteristic, direct product factor, Sylow
150	C₂²×#41	C₂²×C₆₇	1	1	yes	characteristic
151	C₂³×D₄	C₂²×C₆₇	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×M₁₆	C₂²×C₆₇	1	4	yes	complemented
153	#535	—	2	8	no	—
154	C₂×#127	C₄×C₆₇	1	2	yes	—
155	C₂×#124	C₄×C₆₇	1	2	yes	—
156	C₂×#121	C₂²×C₆₇	1	4	yes	—
157	C₂×#120	C₄×C₆₇	1	4	yes	—
158	C₂×#117	C₂²×C₆₇	1	1	yes	characteristic
159	C₂×#100	C₂²×C₆₇	1	8	yes	—
160	#408	—	2	8	no	—
161	#407	C₂²×C₆₇	1	4	yes	—
162	#407	C₂²×C₆₇	1	4	yes	complemented
163	#343	C₂²×C₆₇	1	8	yes	complemented
164	C₂⁵	C₂×C₄×C₆₇	1	2	yes	—
165	C₂×#41	—	4	4	no	—
166	C₂×#41	D₄×C₆₇	1	8	yes	—
167	C₂²×Q₈	C₂×C₄×C₆₇	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
170	C₂²×D₄	C₂×C₄×C₆₇	1	2	yes	—
171	C₂²×D₄	C₂×C₄×C₆₇	1	8	yes	—
172	C₂²×D₄	C₂×C₄×C₆₇	1	2	yes	—
173	C₂²×D₄	C₂×C₄×C₆₇	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×D₄	C₂³×C₆₇	1	2	yes	—
175	C₂³×C₄	C₂³×C₆₇	1	1	yes	characteristic
176	C₂³×C₄	C₂³×C₆₇	1	2	yes	—
177	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
178	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
179	C₂×M₁₆	C₂³×C₆₇	1	8	yes	—
180	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
181	#127	—	2	8	no	—
182	#124	—	2	8	no	—
183	#121	—	2	8	no	—
184	#121	—	2	8	no	—
185	#120	—	2	16	no	—
186	#117	—	2	4	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	C₂³×C₆₇	1	2	yes	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄×C₆₇	1	2	yes	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄×C₆₇	1	8	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂×C₄×C₆₇	1	2	yes	—
191	#100	—	4	8	no	—
192	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
193	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
194	C₂⁴	—	2	4	no	—
195	C₂⁴	—	4	4	no	—
196	C₂⁴	—	8	4	no	—
197	C₂⁴	C₂²×C₄×C₆₇	1	4	yes	—
198	C₂⁴	C₂²×C₄×C₆₇	1	1	yes	characteristic
199	C₂⁴	C₂²×C₄×C₆₇	1	2	yes	—
200	#41	—	4	8	no	—
201	#41	—	4	8	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
203	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄×C₆₇	1	4	yes	—
204	C₂×D₄	—	2	16	no	—
205	C₂×D₄	—	2	4	no	—
206	C₂×D₄	—	2	4	no	—
207	C₂×D₄	—	2	8	no	—
208	C₂×D₄	—	4	4	no	—
209	C₂×D₄	—	4	2	no	—
210	C₂×D₄	—	4	4	no	—
211	C₂×D₄	—	4	16	no	—
212	C₂×D₄	—	8	8	no	—
213	C₂×D₄	C₂²⋊C₄×C₆₇	1	8	yes	—
214	C₂×D₄	C₂²⋊C₄×C₆₇	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₆₇	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₆₇	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₆₇	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₆₇	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₆₇	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₆₇	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂⁴×C₆₇	1	1	yes	characteristic
224	M₁₆	—	2	16	no	—
225	M₁₆	—	4	8	no	—
226	C₂×C₈	—	2	8	no	—
227	C₂×C₈	—	4	8	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
231	C₄²	—	2	4	no	—
232	C₂³	—	2	2	no	—
233	C₂³	—	2	4	no	—
234	C₂³	—	2	4	no	—
235	C₂³	—	2	8	no	—
236	C₂³	—	4	2	no	—
237	C₂³	—	4	4	no	—
238	C₂³	—	4	8	no	—
239	C₂³	—	4	8	no	—
240	C₂³	—	8	8	no	—
241	C₂³	—	8	16	no	—
242	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	1	2	yes	—
243	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	1	4	yes	—
244	C₂³	C₂³×C₄×C₆₇	1	1	yes	characteristic
245	Q₈	—	4	4	no	—
246	D₄	—	4	4	no	—
247	D₄	—	4	8	no	—
248	D₄	—	4	8	no	—
249	D₄	—	4	8	no	—
250	D₄	—	8	16	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	2	8	no	—
256	C₂×C₄	—	2	8	no	—
257	C₂×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂×C₄	—	4	4	no	—
259	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	1	4	yes	—
261	C₂×C₄	C₂²×D₄×C₆₇	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)×C₆₇	1	4	yes	—
263	C₈	—	4	8	no	—
264	C₂²	—	2	2	no	—
265	C₂²	—	2	2	no	—
266	C₂²	—	2	4	no	—
267	C₂²	—	2	8	no	—
268	C₂²	—	2	4	no	—
269	C₂²	—	4	4	no	—
270	C₂²	—	4	4	no	—
271	C₂²	—	4	8	no	—
272	C₂²	—	8	4	no	—
273	C₂²	—	8	8	no	—
274	C₂²	—	8	16	no	—
275	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄×C₆₇	1	1	yes	characteristic
276	C₂²	#518×C₆₇	1	2	yes	—
277	C₄	—	2	2	no	—
278	C₄	—	2	4	no	—
279	C₄	—	4	4	no	—
280	C₄	#534×C₆₇	1	4	yes	—
281	C₂	—	2	2	no	—
282	C₂	—	4	2	no	—
283	C₂	—	4	4	no	—
284	C₂	—	8	4	no	—
285	C₂	C₆₇×#2308	1	1	yes	characteristic
286	C₂	C₆₇×#2888	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²×C₆₇	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂³×C₄×C₆₇
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴×C₆₇
prime radical	C₂×#535×C₆₇	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₆₇ ◁ C₂²×#41×C₆₇ ◁ G

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₆₇×#2879	C₂	semidirect
3. C₆₇×#1900	C₂	semidirect
4. C₆₇×#1822	C₂	semidirect
5. C₆₇×#1783	C₂	semidirect
8. C₂²×M₁₆×C₆₇	C₂²	semidirect
18. #407×C₆₇	C₂²	semidirect
19. #343×C₆₇	C₂²	semidirect
137. #21755	C₆₇	direct (N × H)
145. #2879	C₂×C₆₇	semidirect
146. #1900	C₂×C₆₇	semidirect
147. #1822	C₂×C₆₇	semidirect
148. #1783	C₂×C₆₇	semidirect
149. C₆₇	#21755	direct (N × H)
152. C₂²×M₁₆	C₂²×C₆₇	semidirect
162. #407	C₂²×C₆₇	semidirect
163. #343	C₂²×C₆₇	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#535×C₆₇	2
C₆₇×#2879	2
C₆₇×#1900	2
C₆₇×#1822	2
C₆₇×#1783	2
#21755	67

Subgroups — C67×#21755 #30701006

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₆₇×#21755 #30701006