Subgroups — C₆₇×#21798 #30701049

Order 17152.

1386 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 286 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#124×C₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₆₇×#2920	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₆₇×#1967	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	C₆₇×#1784	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₆₇×#1783	C₂	1	2	yes	maximal
6	C₂³×Q₈×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂³×D₄×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂×#124×C₆₇	—	2	4	no	—
9	C₂×#124×C₆₇	—	2	4	no	—
10	C₂×#124×C₆₇	C₄	1	4	yes	—
11	C₂×#124×C₆₇	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₄	1	4	yes	—
13	C₂²×C₄²×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#432×C₆₇	—	2	4	no	—
15	#431×C₆₇	—	2	4	no	—
16	#423×C₆₇	C₂²	1	4	yes	complemented
17	C₂×#101×C₆₇	C₂²	1	8	yes	complemented
18	C₂×#100×C₆₇	C₂²	1	8	yes	—
19	#407×C₆₇	C₂²	1	4	yes	—
20	C₄×M₁₆×C₆₇	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂⁵×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
22	C₂²×Q₈×C₆₇	—	2	4	no	—
23	C₂²×Q₈×C₆₇	—	4	4	no	—
24	C₂²×Q₈×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
25	C₂²×Q₈×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
26	C₂²×D₄×C₆₇	—	2	4	no	—
27	C₂²×D₄×C₆₇	—	4	4	no	—
28	C₂²×D₄×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
29	C₂²×D₄×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
30	C₂³×C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
31	C₂³×C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
32	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂×M₁₆×C₆₇	C₂³	1	8	yes	—
34	#124×C₆₇	—	2	4	no	—
35	#124×C₆₇	—	2	8	no	—
36	#124×C₆₇	—	2	4	no	—
37	#124×C₆₇	—	2	8	no	—
38	#124×C₆₇	—	2	4	no	—
39	#124×C₆₇	—	2	4	no	—
40	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
41	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
42	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
43	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	C₂×C₄	1	16	yes	—
44	C₂×C₄²×C₆₇	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₄²×C₆₇	D₄	1	4	yes	—
46	C₂×C₄²×C₆₇	D₄	1	4	yes	—
47	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
48	C₄⋊C₈×C₆₇	—	2	8	no	—
49	#101×C₆₇	—	4	8	no	—
50	#100×C₆₇	—	4	8	no	—
51	C₂²⋊C₈×C₆₇	—	2	8	no	—
52	#97×C₆₇	—	2	4	no	—
53	C₄×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
54	C₂⁴×C₆₇	—	2	4	no	—
55	C₂⁴×C₆₇	—	4	4	no	—
56	C₂⁴×C₆₇	—	4	8	no	—
57	C₂⁴×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂⁴×C₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
59	C₂×Q₈×C₆₇	—	2	4	no	—
60	C₂×Q₈×C₆₇	—	2	4	no	—
61	C₂×Q₈×C₆₇	—	2	8	no	—
62	C₂×Q₈×C₆₇	—	4	4	no	—
63	C₂×Q₈×C₆₇	—	4	16	no	—
64	C₂×D₄×C₆₇	—	2	4	no	—
65	C₂×D₄×C₆₇	—	2	4	no	—
66	C₂×D₄×C₆₇	—	2	8	no	—
67	C₂×D₄×C₆₇	—	4	4	no	—
68	C₂×D₄×C₆₇	—	4	16	no	—
69	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
70	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
71	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
72	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
73	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
74	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
77	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄×C₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
80	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
81	M₁₆×C₆₇	—	2	16	no	—
82	C₂×C₈×C₆₇	—	2	8	no	—
83	C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	16	no	—
84	C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	16	no	—
85	C₄²×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
86	C₄²×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
87	C₄²×C₆₇	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
88	C₄²×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
89	C₄²×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
90	C₄²×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
91	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
92	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
93	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
94	C₂³×C₆₇	—	2	8	no	—
95	C₂³×C₆₇	—	4	8	no	—
96	C₂³×C₆₇	—	4	8	no	—
97	C₂³×C₆₇	—	4	8	no	—
98	C₂³×C₆₇	—	4	8	no	—
99	C₂³×C₆₇	—	8	16	no	—
100	C₂³×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
101	C₂³×C₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
102	Q₈×C₆₇	—	4	8	no	—
103	Q₈×C₆₇	—	4	8	no	—
104	D₄×C₆₇	—	4	8	no	—
105	D₄×C₆₇	—	4	8	no	—
106	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
107	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
108	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
109	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
110	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
111	C₂×C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
112	C₂×C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
113	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
114	C₂×C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
115	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
116	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
117	C₂×C₄×C₆₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
118	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	2	yes	—
119	C₂×C₄×C₆₇	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
120	C₈×C₆₇	—	4	8	no	—
121	C₂²×C₆₇	—	2	8	no	—
122	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₆₇	—	4	4	no	—
126	C₂²×C₆₇	—	4	8	no	—
127	C₂²×C₆₇	—	8	8	no	—
128	C₂²×C₆₇	—	8	16	no	—
129	C₂²×C₆₇	#413	1	4	yes	—
130	C₂²×C₆₇	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₆₇	#518	1	2	yes	—
132	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
133	C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
134	C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
135	C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
136	C₄×C₆₇	#535	1	4	yes	—
137	#21798	C₆₇	1	1	yes	maximal, characteristic, direct product factor, Sylow
138	C₂×C₆₇	—	2	2	no	—
139	C₂×C₆₇	—	2	4	no	—
140	C₂×C₆₇	—	8	4	no	—
141	C₂×C₆₇	#2309	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₆₇	C₂×#413	1	2	yes	—
143	C₂²×#124	C₂×C₆₇	1	1	yes	characteristic
144	#2920	C₂×C₆₇	1	2	yes	complemented
145	#1967	C₂×C₆₇	1	8	yes	complemented
146	#1784	C₂×C₆₇	1	2	yes	complemented
147	#1783	C₂×C₆₇	1	2	yes	—
148	C₆₇	#21798	1	1	yes	characteristic, direct product factor, Sylow
149	C₂³×Q₈	C₂²×C₆₇	1	1	yes	characteristic
150	C₂³×D₄	C₂²×C₆₇	1	1	yes	characteristic
151	C₂×#124	—	2	4	no	—
152	C₂×#124	—	2	4	no	—
153	C₂×#124	C₄×C₆₇	1	4	yes	—
154	C₂×#124	C₂²×C₆₇	1	4	yes	—
155	C₂²×C₂²⋊C₄	C₄×C₆₇	1	4	yes	—
156	C₂²×C₄²	C₂²×C₆₇	1	1	yes	characteristic
157	#432	—	2	4	no	—
158	#431	—	2	4	no	—
159	#423	C₂²×C₆₇	1	4	yes	complemented
160	C₂×#101	C₂²×C₆₇	1	8	yes	complemented
161	C₂×#100	C₂²×C₆₇	1	8	yes	—
162	#407	C₂²×C₆₇	1	4	yes	—
163	C₄×M₁₆	C₂²×C₆₇	1	4	yes	complemented
164	C₂⁵	C₂×C₄×C₆₇	1	2	yes	—
165	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
166	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
167	C₂²×Q₈	C₂×C₄×C₆₇	1	2	yes	—
168	C₂²×Q₈	C₂³×C₆₇	1	2	yes	—
169	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
171	C₂²×D₄	C₂×C₄×C₆₇	1	2	yes	—
172	C₂²×D₄	C₂³×C₆₇	1	2	yes	—
173	C₂³×C₄	C₂×C₄×C₆₇	1	2	yes	—
174	C₂³×C₄	C₂×C₄×C₆₇	1	2	yes	—
175	C₂³×C₄	C₂³×C₆₇	1	1	yes	characteristic
176	C₂×M₁₆	C₂³×C₆₇	1	8	yes	—
177	#124	—	2	4	no	—
178	#124	—	2	8	no	—
179	#124	—	2	4	no	—
180	#124	—	2	4	no	—
181	#124	—	2	4	no	—
182	#124	—	2	8	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄×C₆₇	1	16	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×C₄×C₆₇	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	D₄×C₆₇	1	4	yes	—
189	C₂×C₄²	D₄×C₆₇	1	4	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂³×C₆₇	1	2	yes	—
191	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
192	#101	—	4	8	no	—
193	#100	—	4	8	no	—
194	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
195	#97	—	2	4	no	—
196	C₄×C₈	—	2	4	no	—
197	C₂⁴	—	2	4	no	—
198	C₂⁴	—	4	4	no	—
199	C₂⁴	—	4	8	no	—
200	C₂⁴	C₂²×C₄×C₆₇	1	1	yes	characteristic
201	C₂⁴	C₂²×C₄×C₆₇	1	4	yes	—
202	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
207	C₂×D₄	—	2	4	no	—
208	C₂×D₄	—	2	4	no	—
209	C₂×D₄	—	2	8	no	—
210	C₂×D₄	—	4	4	no	—
211	C₂×D₄	—	4	16	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
216	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄×C₆₇	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄×C₆₇	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄×C₆₇	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₆₇	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₆₇	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₆₇	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₆₇	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂⁴×C₆₇	1	1	yes	characteristic
224	M₁₆	—	2	16	no	—
225	C₂×C₈	—	2	8	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
228	C₄²	C₂²⋊C₄×C₆₇	1	2	yes	—
229	C₄²	C₂²⋊C₄×C₆₇	1	4	yes	—
230	C₄²	C₂²⋊C₄×C₆₇	1	2	yes	—
231	C₄²	C₂×D₄×C₆₇	1	2	yes	—
232	C₄²	C₂×D₄×C₆₇	1	2	yes	—
233	C₄²	C₂×D₄×C₆₇	1	4	yes	—
234	C₂³	—	2	2	no	—
235	C₂³	—	2	4	no	—
236	C₂³	—	2	4	no	—
237	C₂³	—	2	8	no	—
238	C₂³	—	4	8	no	—
239	C₂³	—	4	8	no	—
240	C₂³	—	4	8	no	—
241	C₂³	—	4	8	no	—
242	C₂³	—	8	16	no	—
243	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	1	2	yes	—
244	C₂³	C₂³×C₄×C₆₇	1	1	yes	characteristic
245	Q₈	—	4	8	no	—
246	Q₈	—	4	8	no	—
247	D₄	—	4	8	no	—
248	D₄	—	4	8	no	—
249	C₂×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂×C₄	—	2	8	no	—
252	C₂×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂×C₄	—	2	8	no	—
254	C₂×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂×C₄	—	4	8	no	—
258	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	1	2	yes	—
259	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	1	4	yes	—
260	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	1	4	yes	—
261	C₂×C₄	C₂²×D₄×C₆₇	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)×C₆₇	1	4	yes	—
263	C₈	—	4	8	no	—
264	C₂²	—	2	8	no	—
265	C₂²	—	2	2	no	—
266	C₂²	—	2	2	no	—
267	C₂²	—	2	2	no	—
268	C₂²	—	4	4	no	—
269	C₂²	—	4	8	no	—
270	C₂²	—	8	8	no	—
271	C₂²	—	8	16	no	—
272	C₂²	#413×C₆₇	1	4	yes	—
273	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄×C₆₇	1	1	yes	characteristic
274	C₂²	#518×C₆₇	1	2	yes	—
275	C₄	—	2	2	no	—
276	C₄	—	2	4	no	—
277	C₄	—	2	4	no	—
278	C₄	—	4	4	no	—
279	C₄	#535×C₆₇	1	4	yes	—
280	C₂	—	2	2	no	—
281	C₂	—	2	4	no	—
282	C₂	—	8	4	no	—
283	C₂	C₆₇×#2309	1	1	yes	characteristic
284	C₂	C₂×#413×C₆₇	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²×C₆₇	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂³×C₄×C₆₇
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴×C₆₇
prime radical	C₂³×D₄×C₆₇	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₆₇ ◁ C₂²×C₄²×C₆₇ ◁ G

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₆₇×#2920	C₂	semidirect
3. C₆₇×#1967	C₂	semidirect
4. C₆₇×#1784	C₂	semidirect
16. #423×C₆₇	C₂²	semidirect
17. C₂×#101×C₆₇	C₂²	semidirect
20. C₄×M₁₆×C₆₇	C₂²	semidirect
137. #21798	C₆₇	direct (N × H)
144. #2920	C₂×C₆₇	semidirect
145. #1967	C₂×C₆₇	semidirect
146. #1784	C₂×C₆₇	semidirect
148. C₆₇	#21798	direct (N × H)
159. #423	C₂²×C₆₇	semidirect
160. C₂×#101	C₂²×C₆₇	semidirect
163. C₄×M₁₆	C₂²×C₆₇	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#124×C₆₇	2
C₆₇×#2920	2
C₆₇×#1967	2
C₆₇×#1784	2
C₆₇×#1783	2
#21798	67

Subgroups — C67×#21798 #30701049

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₆₇×#21798 #30701049