Subgroups — C₆₇×#23921 #30703172

Order 17152.

1908 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 352 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₂²⋊Q₈×C₆₇	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#451×C₆₇	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₆₇×#2001	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₆₇×#1872	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₆₇×#1779	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂³×Q₈×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
7	C₂⁴×C₄×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×Q₁₆×C₆₇	C₂²	1	4	yes	complemented
9	C₂×C₂²⋊Q₈×C₆₇	—	2	2	no	—
10	C₂×C₂²⋊Q₈×C₆₇	—	2	2	no	—
11	C₂×C₂²⋊Q₈×C₆₇	—	2	16	no	—
12	C₂×C₂²⋊Q₈×C₆₇	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×C₂²⋊Q₈×C₆₇	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂²×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
15	C₂²×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
17	#451×C₆₇	—	2	16	no	—
18	C₂×#103×C₆₇	C₂²	1	8	yes	complemented
19	C₂×C₂²⋊C₈×C₆₇	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×C₂²⋊C₈×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
21	#340×C₆₇	C₂²	1	4	yes	complemented
22	C₂⁵×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×Q₈×C₆₇	—	2	8	no	—
24	C₂²×Q₈×C₆₇	—	2	2	no	—
25	C₂²×Q₈×C₆₇	—	2	8	no	—
26	C₂²×Q₈×C₆₇	—	4	4	no	—
27	C₂²×Q₈×C₆₇	C₂³	1	4	yes	—
28	C₂³×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
29	C₂³×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
30	C₂³×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
31	C₂³×C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
32	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	2	yes	—
33	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂×Q₁₆×C₆₇	—	2	16	no	—
37	C₂×Q₁₆×C₆₇	—	4	4	no	—
38	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	4	yes	—
39	C₂²⋊Q₈×C₆₇	—	2	16	no	—
40	C₂²⋊Q₈×C₆₇	—	2	16	no	—
41	C₂²⋊Q₈×C₆₇	—	2	8	no	—
42	C₂²⋊Q₈×C₆₇	—	2	8	no	—
43	C₂²⋊Q₈×C₆₇	—	2	8	no	—
44	C₂²⋊Q₈×C₆₇	D₄	1	16	yes	—
45	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	16	no	—
46	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
47	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
48	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
50	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	16	no	—
52	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
53	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
54	#103×C₆₇	—	2	16	no	—
55	C₂²⋊C₈×C₆₇	—	2	8	no	—
56	C₂²⋊C₈×C₆₇	—	4	2	no	—
57	C₂⁴×C₆₇	—	2	4	no	—
58	C₂⁴×C₆₇	—	2	4	no	—
59	C₂⁴×C₆₇	—	4	1	no	—
60	C₂⁴×C₆₇	—	4	1	no	—
61	C₂⁴×C₆₇	Q₁₆	1	4	yes	complemented
62	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
64	C₂×Q₈×C₆₇	—	2	8	no	—
65	C₂×Q₈×C₆₇	—	2	4	no	—
66	C₂×Q₈×C₆₇	—	2	8	no	—
67	C₂×Q₈×C₆₇	—	2	8	no	—
68	C₂×Q₈×C₆₇	—	4	32	no	—
69	C₂×Q₈×C₆₇	—	4	4	no	—
70	C₂×Q₈×C₆₇	—	4	4	no	—
71	C₂×Q₈×C₆₇	C₂×D₄	1	8	yes	—
72	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
74	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
75	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
76	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
78	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
79	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
80	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
81	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
82	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
83	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	1	no	—
84	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	2	no	—
85	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	16	no	—
86	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
87	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
88	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
89	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
90	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
92	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	8	yes	—
93	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
94	Q₁₆×C₆₇	—	4	16	no	—
95	C₂×C₈×C₆₇	—	2	8	no	—
96	C₂×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
97	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
98	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	16	no	—
99	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	16	no	—
100	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
101	C₄⋊C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	8	yes	—
102	C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	16	no	—
103	C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	16	no	—
104	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
105	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
106	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
107	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
108	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
109	C₂³×C₆₇	—	2	1	no	—
110	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
111	C₂³×C₆₇	—	2	1	no	—
112	C₂³×C₆₇	—	2	16	no	—
113	C₂³×C₆₇	—	4	4	no	—
114	C₂³×C₆₇	—	4	4	no	—
115	C₂³×C₆₇	—	4	4	no	—
116	C₂³×C₆₇	—	4	8	no	—
117	C₂³×C₆₇	#120	1	4	yes	—
118	C₂³×C₆₇	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
119	C₂³×C₆₇	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
120	C₂³×C₆₇	#137	1	4	yes	—
121	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
122	Q₈×C₆₇	—	2	16	no	—
123	Q₈×C₆₇	—	4	16	no	—
124	Q₈×C₆₇	—	4	8	no	—
125	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄×C₆₇	—	2	16	no	—
128	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
129	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
130	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
132	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
133	C₂×C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
134	C₂×C₄×C₆₇	—	4	16	no	—
135	C₂×C₄×C₆₇	—	4	16	no	—
136	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
137	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
138	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
139	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
140	C₂×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
141	C₂×C₄×C₆₇	#120	1	4	yes	—
142	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	4	yes	—
143	C₂×C₄×C₆₇	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
144	C₈×C₆₇	—	4	4	no	—
145	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
148	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
149	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
150	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₆₇	—	4	16	no	—
154	C₂²×C₆₇	—	4	1	no	—
155	C₂²×C₆₇	—	4	1	no	—
156	C₂²×C₆₇	—	4	2	no	—
157	C₂²×C₆₇	#451	1	8	yes	complemented
158	C₂²×C₆₇	C₂×#120	1	2	yes	—
159	C₂²×C₆₇	#534	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₆₇	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₆₇	C₂×#137	1	2	yes	—
162	C₂²×C₆₇	#575	1	1	yes	characteristic
163	C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
164	C₄×C₆₇	—	4	1	no	—
165	C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
166	C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
167	C₄×C₆₇	D₄²	1	4	yes	—
168	#23921	C₆₇	1	1	yes	maximal, characteristic, direct product factor, Sylow
169	C₂×C₆₇	—	2	8	no	—
170	C₂×C₆₇	—	4	2	no	—
171	C₂×C₆₇	#2403	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₆₇	C₂×#451	1	2	yes	—
173	C₂×C₆₇	#3007	1	2	yes	—
174	C₂×C₆₇	#3189	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₆₇	#3195	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂×C₆₇	1	2	yes	—
177	C₂×#451	C₂×C₆₇	1	4	yes	complemented
178	#2001	C₂×C₆₇	1	4	yes	complemented
179	#1872	C₂×C₆₇	1	4	yes	complemented
180	#1779	C₂×C₆₇	1	1	yes	characteristic
181	C₆₇	#23921	1	1	yes	characteristic, direct product factor, Sylow
182	C₂³×Q₈	C₂²×C₆₇	1	2	yes	—
183	C₂⁴×C₄	C₂²×C₆₇	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×Q₁₆	C₂²×C₆₇	1	4	yes	complemented
185	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
186	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
187	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
188	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²×C₆₇	1	4	yes	—
189	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²×C₆₇	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²×C₆₇	1	2	yes	—
192	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
193	#451	—	2	16	no	—
194	C₂×#103	C₂²×C₆₇	1	8	yes	complemented
195	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²×C₆₇	1	4	yes	—
196	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²×C₆₇	1	2	yes	—
197	#340	C₂²×C₆₇	1	4	yes	complemented
198	C₂⁵	D₄×C₆₇	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
200	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
201	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
202	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
203	C₂²×Q₈	C₂³×C₆₇	1	4	yes	—
204	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
207	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂³×C₄	D₄×C₆₇	1	2	yes	—
209	C₂³×C₄	D₄×C₆₇	1	1	yes	characteristic
210	C₂³×C₄	C₂³×C₆₇	1	1	yes	characteristic
211	C₂³×C₄	C₂³×C₆₇	1	2	yes	—
212	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
213	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₈	C₂³×C₆₇	1	4	yes	—
215	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
216	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
217	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
218	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
219	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
220	C₂²⋊Q₈	D₄×C₆₇	1	16	yes	—
221	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
222	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
223	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
224	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
225	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
226	C₂×C₄⋊C₄	C₂³×C₆₇	1	4	yes	—
227	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
228	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
230	#103	—	2	16	no	—
231	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
232	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
233	C₂⁴	—	2	4	no	—
234	C₂⁴	—	2	4	no	—
235	C₂⁴	—	4	1	no	—
236	C₂⁴	—	4	1	no	—
237	C₂⁴	Q₁₆×C₆₇	1	4	yes	complemented
238	C₂⁴	C₂×D₄×C₆₇	1	1	yes	characteristic
239	C₂⁴	C₂×D₄×C₆₇	1	2	yes	—
240	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
241	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
242	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
243	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
244	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
245	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
246	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
247	C₂×Q₈	C₂×D₄×C₆₇	1	8	yes	—
248	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₆₇	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₆₇	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₆₇	1	8	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂⁴×C₆₇	1	1	yes	characteristic
270	Q₁₆	—	4	16	no	—
271	C₂×C₈	—	2	8	no	—
272	C₂×C₈	—	2	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₄⋊C₄	C₂×D₄×C₆₇	1	8	yes	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	16	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	2	1	no	—
287	C₂³	—	2	2	no	—
288	C₂³	—	2	1	no	—
289	C₂³	—	4	4	no	—
290	C₂³	—	4	4	no	—
291	C₂³	—	4	4	no	—
292	C₂³	—	4	8	no	—
293	C₂³	#120×C₆₇	1	4	yes	—
294	C₂³	C₂×Q₁₆×C₆₇	1	2	yes	—
295	C₂³	C₂×Q₁₆×C₆₇	1	4	yes	—
296	C₂³	#137×C₆₇	1	4	yes	—
297	C₂³	C₂²×D₄×C₆₇	1	1	yes	characteristic
298	Q₈	—	2	16	no	—
299	Q₈	—	4	16	no	—
300	Q₈	—	4	8	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	16	no	—
304	C₂×C₄	—	2	8	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	1	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	8	no	—
310	C₂×C₄	—	4	16	no	—
311	C₂×C₄	—	4	16	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	#120×C₆₇	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	C₂²×D₄×C₆₇	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)×C₆₇	1	2	yes	—
320	C₈	—	4	4	no	—
321	C₂²	—	2	4	no	—
322	C₂²	—	2	4	no	—
323	C₂²	—	2	4	no	—
324	C₂²	—	2	4	no	—
325	C₂²	—	2	4	no	—
326	C₂²	—	2	4	no	—
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	—	2	4	no	—
329	C₂²	—	4	16	no	—
330	C₂²	—	4	1	no	—
331	C₂²	—	4	1	no	—
332	C₂²	—	4	2	no	—
333	C₂²	#451×C₆₇	1	8	yes	complemented
334	C₂²	C₂×#120×C₆₇	1	2	yes	—
335	C₂²	#534×C₆₇	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	C₂²×Q₁₆×C₆₇	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	C₂×#137×C₆₇	1	2	yes	—
338	C₂²	#575×C₆₇	1	1	yes	characteristic
339	C₄	—	2	4	no	—
340	C₄	—	4	1	no	—
341	C₄	—	4	8	no	—
342	C₄	—	4	8	no	—
343	C₄	D₄²×C₆₇	1	4	yes	—
344	C₂	—	2	8	no	—
345	C₂	—	4	2	no	—
346	C₂	C₆₇×#2403	1	1	yes	characteristic
347	C₂	C₂×#451×C₆₇	1	2	yes	—
348	C₂	C₆₇×#3007	1	2	yes	—
349	C₂	C₆₇×#3189	1	1	yes	characteristic
350	C₂	C₆₇×#3195	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴×C₆₇
prime radical	C₂⁵×C₆₇	D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₆₇ ◁ C₂⁴×C₄×C₆₇ ◁ G

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#451×C₆₇	C₂	semidirect
3. C₆₇×#2001	C₂	semidirect
4. C₆₇×#1872	C₂	semidirect
8. C₂²×Q₁₆×C₆₇	C₂²	semidirect
18. C₂×#103×C₆₇	C₂²	semidirect
21. #340×C₆₇	C₂²	semidirect
61. C₂⁴×C₆₇	Q₁₆	semidirect
157. C₂²×C₆₇	#451	semidirect
168. #23921	C₆₇	direct (N × H)
177. C₂×#451	C₂×C₆₇	semidirect
178. #2001	C₂×C₆₇	semidirect
179. #1872	C₂×C₆₇	semidirect
181. C₆₇	#23921	direct (N × H)
184. C₂²×Q₁₆	C₂²×C₆₇	semidirect
194. C₂×#103	C₂²×C₆₇	semidirect
197. #340	C₂²×C₆₇	semidirect
237. C₂⁴	Q₁₆×C₆₇	semidirect
333. C₂²	#451×C₆₇	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₂²⋊Q₈×C₆₇	2
C₂×#451×C₆₇	2
C₆₇×#2001	2
C₆₇×#1872	2
C₆₇×#1779	2
#23921	67

Subgroups — C67×#23921 #30703172

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₆₇×#23921 #30703172