Subgroups — #307341

Order 512.

828 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 433 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28458	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#26230	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₄⋊C₄×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#10472	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10408	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#9824	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9734	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#9657	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#9614	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#8977	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₈×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#493	—	2	1	no	—
13	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#480	—	2	2	no	—
15	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×D₈	—	2	1	no	—
17	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2541	C₂²	1	2	yes	—
19	D₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
20	#2033	—	2	2	no	—
21	#2033	—	2	2	no	—
22	#2011	—	2	2	no	—
23	#1982	C₂²	1	2	yes	—
24	#1970	—	2	1	no	—
25	#1957	C₂²	1	2	yes	—
26	#1957	C₂²	1	2	yes	—
27	#1954	C₂²	1	2	yes	—
28	#1947	C₂²	1	2	yes	—
29	#1942	—	2	1	no	—
30	#1874	—	2	2	no	—
31	#1862	—	2	2	no	—
32	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1802	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1296	C₂²	1	2	yes	—
43	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
46	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
47	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
48	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#127	—	2	2	no	—
50	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#121	—	2	2	no	—
52	C₂×#121	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
56	#493	—	2	2	no	—
57	#493	—	2	2	no	—
58	#493	—	4	4	no	—
59	#480	—	4	8	no	—
60	#459	—	2	4	no	—
61	#459	—	4	2	no	—
62	C₄×D₈	—	2	2	no	—
63	C₄×D₈	—	2	2	no	—
64	C₄×D₈	—	4	4	no	—
65	C₂×#107	—	2	1	no	—
66	C₂×#107	—	2	2	no	—
67	C₂×#107	—	2	1	no	—
68	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×#102	—	2	2	no	—
75	C₂×#102	—	2	2	no	—
76	C₂×#102	—	2	2	no	—
77	C₂×#102	—	2	2	no	—
78	C₂×#102	—	2	2	no	—
79	C₂×#102	—	2	2	no	—
80	C₂×#102	—	4	2	no	—
81	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
85	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#392	—	4	2	no	—
90	#390	—	2	2	no	—
91	#389	—	2	2	no	—
92	#385	—	4	2	no	—
93	#384	C₂³	1	2	yes	—
94	#380	—	2	2	no	—
95	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	#340	—	2	2	no	—
98	#340	—	2	2	no	—
99	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
100	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
101	#336	—	2	1	no	—
102	#336	—	2	1	no	—
103	#335	—	2	2	no	—
104	#335	—	2	2	no	—
105	#331	—	4	2	no	—
106	D₄⋊C₈	—	4	2	no	—
107	C₈²	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
112	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
113	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
115	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
116	C₂×D₈	—	2	2	no	—
117	C₂×D₈	—	2	2	no	—
118	C₂×D₈	—	4	4	no	—
119	C₂×D₈	—	4	4	no	—
120	C₂×D₈	—	4	2	no	—
121	C₂×D₈	—	4	2	no	—
122	C₂×D₈	—	4	2	no	—
123	C₂×D₈	—	4	2	no	—
124	C₂×D₈	—	8	1	no	—
125	C₂×D₈	—	8	1	no	—
126	C₂×D₈	—	8	2	no	—
127	C₂×D₈	D₈	1	4	yes	—
128	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	#127	—	2	2	no	—
137	#127	—	2	2	no	—
138	#127	—	2	2	no	—
139	#127	—	2	2	no	—
140	#127	—	4	4	no	—
141	#127	—	8	2	no	—
142	#121	—	4	4	no	—
143	#121	—	4	4	no	—
144	#121	—	8	2	no	—
145	#121	—	8	2	no	—
146	C₄×D₄	—	2	2	no	—
147	C₄×D₄	—	2	2	no	—
148	C₄×D₄	—	2	2	no	—
149	C₄×D₄	—	2	2	no	—
150	C₄×D₄	—	4	4	no	—
151	C₄×D₄	—	8	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
169	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
170	#107	—	2	2	no	—
171	#107	—	2	2	no	—
172	#107	—	4	2	no	—
173	#107	—	4	4	no	—
174	#107	—	8	1	no	—
175	#107	D₈	1	4	yes	complemented
176	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
177	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
178	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
179	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
181	C₄⋊C₈	#41	1	2	yes	—
182	#102	—	2	4	no	—
183	#102	—	4	4	no	—
184	#102	—	4	4	no	—
185	#102	—	4	4	no	—
186	#102	—	4	4	no	—
187	#102	—	8	2	no	—
188	#102	—	8	2	no	—
189	#102	—	8	4	no	—
190	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
191	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
192	C₄×C₈	—	2	1	no	—
193	C₄×C₈	—	2	1	no	—
194	C₄×C₈	—	2	1	no	—
195	C₄×C₈	—	2	1	no	—
196	C₄×C₈	—	4	2	no	—
197	C₄×C₈	—	4	2	no	—
198	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
199	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
200	#95	—	2	1	no	—
201	#95	—	2	1	no	—
202	#95	—	4	2	no	—
203	C₂⁴	—	2	2	no	—
204	C₂⁴	—	4	2	no	—
205	C₂×D₄	—	2	2	no	—
206	C₂×D₄	—	2	2	no	—
207	C₂×D₄	—	2	2	no	—
208	C₂×D₄	—	2	2	no	—
209	C₂×D₄	—	2	2	no	—
210	C₂×D₄	—	4	2	no	—
211	C₂×D₄	—	4	2	no	—
212	C₂×D₄	—	4	2	no	—
213	C₂×D₄	—	4	2	no	—
214	C₂×D₄	—	4	2	no	—
215	C₂×D₄	—	4	2	no	—
216	C₂×D₄	—	4	2	no	—
217	C₂×D₄	—	4	2	no	—
218	C₂×D₄	—	4	2	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	2	no	—
224	C₂×D₄	—	8	2	no	—
225	C₂×D₄	—	8	2	no	—
226	C₂×D₄	—	8	4	no	—
227	C₂×D₄	—	8	4	no	—
228	C₂×D₄	—	8	4	no	—
229	C₂×D₄	—	8	4	no	—
230	C₂×D₄	—	16	2	no	—
231	C₂×D₄	—	16	2	no	—
232	C₂×D₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
233	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
251	D₈	—	2	8	no	—
252	D₈	—	8	4	no	—
253	D₈	—	8	8	no	—
254	D₈	—	8	4	no	—
255	C₂×C₈	—	2	1	no	—
256	C₂×C₈	—	2	1	no	—
257	C₂×C₈	—	2	1	no	—
258	C₂×C₈	—	2	1	no	—
259	C₂×C₈	—	2	2	no	—
260	C₂×C₈	—	2	1	no	—
261	C₂×C₈	—	2	2	no	—
262	C₂×C₈	—	2	1	no	—
263	C₂×C₈	—	2	1	no	—
264	C₂×C₈	—	4	1	no	—
265	C₂×C₈	—	4	1	no	—
266	C₂×C₈	—	4	1	no	—
267	C₂×C₈	—	4	1	no	—
268	C₂×C₈	—	4	1	no	—
269	C₂×C₈	—	4	2	no	—
270	C₂×C₈	—	4	1	no	—
271	C₂×C₈	—	4	2	no	—
272	C₂×C₈	—	4	2	no	—
273	C₂×C₈	—	4	1	no	—
274	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
275	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
276	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
277	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
278	C₂×C₈	#137	1	2	yes	—
279	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
292	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
293	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
294	C₄⋊C₄	#135	1	2	yes	—
295	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
300	C₄²	—	4	1	no	—
301	C₄²	—	4	1	no	—
302	C₄²	—	4	1	no	—
303	C₄²	—	4	1	no	—
304	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
305	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
306	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
307	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
308	C₂³	—	2	4	no	—
309	C₂³	—	4	2	no	—
310	C₂³	—	4	2	no	—
311	C₂³	—	4	2	no	—
312	C₂³	—	4	2	no	—
313	C₂³	—	4	2	no	—
314	C₂³	—	4	2	no	—
315	C₂³	—	8	2	no	—
316	C₂³	—	8	2	no	—
317	C₂³	—	8	2	no	—
318	C₂³	—	8	2	no	—
319	C₂³	—	8	2	no	—
320	C₂³	—	8	2	no	—
321	C₂³	—	8	2	no	—
322	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
323	D₄	—	2	4	no	—
324	D₄	—	2	4	no	—
325	D₄	—	4	2	no	—
326	D₄	—	4	2	no	—
327	D₄	—	8	4	no	—
328	D₄	—	8	2	no	—
329	D₄	—	8	2	no	—
330	D₄	—	8	2	no	—
331	D₄	—	8	2	no	—
332	D₄	—	8	2	no	—
333	D₄	—	8	2	no	—
334	D₄	—	8	2	no	—
335	D₄	—	8	2	no	—
336	D₄	—	16	2	no	—
337	D₄	—	16	8	no	—
338	D₄	—	16	8	no	—
339	C₂×C₄	—	2	1	no	—
340	C₂×C₄	—	2	1	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	1	no	—
345	C₂×C₄	—	4	1	no	—
346	C₂×C₄	—	4	1	no	—
347	C₂×C₄	—	4	1	no	—
348	C₂×C₄	—	4	1	no	—
349	C₂×C₄	—	4	1	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	1	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	1	no	—
355	C₂×C₄	—	4	1	no	—
356	C₂×C₄	—	8	2	no	—
357	C₂×C₄	—	8	2	no	—
358	C₂×C₄	—	8	2	no	—
359	C₂×C₄	—	8	2	no	—
360	C₂×C₄	—	8	2	no	—
361	C₂×C₄	—	8	2	no	—
362	C₂×C₄	—	8	2	no	—
363	C₂×C₄	—	16	8	no	—
364	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	#540	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	#546	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	#559	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
378	C₈	—	2	2	no	—
379	C₈	—	2	2	no	—
380	C₈	—	4	2	no	—
381	C₈	—	4	1	no	—
382	C₈	—	4	2	no	—
383	C₈	—	8	2	no	—
384	C₈	—	8	1	no	—
385	C₈	#480	1	4	yes	complemented
386	C₂²	—	4	4	no	—
387	C₂²	—	4	4	no	—
388	C₂²	—	4	4	no	—
389	C₂²	—	8	2	no	—
390	C₂²	—	8	2	no	—
391	C₂²	—	8	2	no	—
392	C₂²	—	8	2	no	—
393	C₂²	—	16	2	no	—
394	C₂²	—	16	2	no	—
395	C₂²	—	16	2	no	—
396	C₂²	—	16	2	no	—
397	C₂²	—	16	2	no	—
398	C₂²	—	16	2	no	—
399	C₂²	—	16	2	no	—
400	C₂²	#2445	1	1	yes	characteristic
401	C₂²	#3278	1	1	yes	characteristic
402	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
403	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
404	C₂²	#3280	1	1	yes	characteristic
405	C₂²	#3290	1	1	yes	characteristic
406	C₂²	#3292	1	1	yes	characteristic
407	C₄	—	2	1	no	—
408	C₄	—	2	1	no	—
409	C₄	—	4	2	no	—
410	C₄	—	4	2	no	—
411	C₄	—	4	2	no	—
412	C₄	—	8	1	no	—
413	C₄	—	8	2	no	—
414	C₄	—	16	2	no	—
415	C₄	C₂×#480	1	1	yes	characteristic
416	C₄	#3096	1	1	yes	characteristic
417	C₄	#3169	1	1	yes	characteristic
418	C₄	#3176	1	1	yes	characteristic
419	C₄	#3294	1	1	yes	characteristic
420	C₄	#3333	1	1	yes	characteristic
421	C₄	#3391	1	1	yes	characteristic
422	C₄	#3396	1	1	yes	characteristic
423	C₂	—	8	4	no	—
424	C₂	—	32	2	no	—
425	C₂	#19889	1	1	yes	characteristic
426	C₂	#19909	1	1	yes	characteristic
427	C₂	D₈²	1	1	yes	characteristic
428	C₂	#19968	1	1	yes	characteristic
429	C₂	#26230	1	1	yes	characteristic
430	C₂	#26254	1	1	yes	characteristic
431	C₂	#26272	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#28458	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #26230	C₂	semidirect
3. C₄⋊C₄×D₈	C₂	semidirect
4. #10472	C₂	semidirect
5. #10408	C₂	semidirect
6. #9824	C₂	semidirect
7. #9734	C₂	semidirect
8. #9657	C₂	semidirect
9. #9614	C₂	semidirect
10. #8977	C₂	semidirect
11. C₈×#107	C₂	semidirect
175. #107	D₈	semidirect
385. C₈	#480	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28458	2
#26230	2
C₄⋊C₄×D₈	2
#10472	2
#10408	2
#9824	2
#9734	2
#9657	2
#9614	2
#8977	2
C₈×#107	2