Group #30856 — subgroups

Subgroups — #30856

Order 256.

510 conjugacy classes of subgroups; only the 123 normal subgroups are shown.

normal subgroups only

This group has 510 conjugacy classes of subgroups — too many to draw. Only its 123 normal subgroups are shown.

Dotted edges: containments with no intermediate normal subgroup — omitted non-normal subgroups may lie between.

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#468	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#463	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2427	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2068	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2015	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2001	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1999	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#1862	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1851	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
18	#468	—	2	8	no	—
19	#463	—	2	8	no	—
20	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#397	—	2	2	no	—
28	#394	—	2	2	no	—
29	#391	C₂²	1	2	yes	—
30	#389	C₂²	1	2	yes	—
31	#386	—	2	2	no	—
32	#380	—	2	2	no	—
33	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#336	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
39	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
41	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂×Q₁₆	—	4	1	no	—
43	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
44	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
45	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
46	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
47	C₂×D₈	—	2	4	no	—
48	C₂×D₈	—	4	1	no	—
49	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
50	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
51	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
54	#124	—	2	4	no	—
55	#124	—	4	2	no	—
56	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
57	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
58	#121	—	2	4	no	—
59	#121	—	4	2	no	—
60	C₄×D₄	—	2	4	no	—
61	C₄×D₄	—	4	2	no	—
62	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
67	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
68	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
69	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
70	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
73	#107	—	2	4	no	—
74	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
75	#103	—	2	4	no	—
76	#103	—	2	4	no	—
77	#102	—	4	2	no	—
78	#102	D₄	1	8	yes	complemented
79	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
80	#95	—	2	2	no	—
81	#95	—	2	2	no	—
82	#95	—	2	2	no	—
83	#95	D₄	1	1	yes	characteristic
84	#95	D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂⁴	—	2	2	no	—
86	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
88	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
89	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
90	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
91	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
92	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
93	C₂×D₄	—	2	2	no	—
94	C₂×D₄	—	2	2	no	—
95	C₂×D₄	—	2	2	no	—
96	C₂×D₄	—	2	2	no	—
97	C₂×D₄	—	2	2	no	—
98	C₂×D₄	—	4	4	no	—
99	C₂×D₄	—	4	4	no	—
100	C₂×D₄	—	8	2	no	—
101	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
102	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
105	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
107	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
110	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
111	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
112	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	Q₁₆	—	4	4	no	—
117	SD₁₆	—	4	8	no	—
118	D₈	—	4	4	no	—
119	M₁₆	—	4	4	no	—
120	C₂×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂×C₈	—	2	1	no	—
124	C₂×C₈	—	2	1	no	—
125	C₂×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
127	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
128	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
131	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
132	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
134	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
135	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
136	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
137	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
138	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
139	C₄²	—	2	2	no	—
140	C₄²	—	2	2	no	—
141	C₂³	—	2	1	no	—
142	C₂³	—	2	4	no	—
143	C₂³	—	2	2	no	—
144	C₂³	—	2	2	no	—
145	C₂³	—	2	1	no	—
146	C₂³	—	2	1	no	—
147	C₂³	—	4	2	no	—
148	C₂³	—	4	2	no	—
149	C₂³	—	4	2	no	—
150	C₂³	—	4	2	no	—
151	C₂³	—	4	2	no	—
152	C₂³	—	4	2	no	—
153	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
154	Q₈	—	4	2	no	—
155	Q₈	—	4	2	no	—
156	Q₈	—	4	2	no	—
157	Q₈	—	4	2	no	—
158	D₄	—	2	4	no	—
159	D₄	—	2	4	no	—
160	D₄	—	4	2	no	—
161	D₄	—	4	2	no	—
162	D₄	—	8	8	no	—
163	C₂×C₄	—	2	1	no	—
164	C₂×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄	—	4	2	no	—
173	C₂×C₄	—	4	2	no	—
174	C₂×C₄	—	4	2	no	—
175	C₂×C₄	—	4	1	no	—
176	C₂×C₄	—	4	1	no	—
177	C₂×C₄	—	4	2	no	—
178	C₂×C₄	—	4	2	no	—
179	C₂×C₄	—	4	2	no	—
180	C₂×C₄	—	4	2	no	—
181	C₂×C₄	—	4	2	no	—
182	C₂×C₄	—	4	2	no	—
183	C₂×C₄	—	8	8	no	—
184	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
186	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
188	C₈	—	2	4	no	—
189	C₈	—	4	1	no	—
190	C₈	—	4	1	no	—
191	C₂²	—	4	1	no	—
192	C₂²	—	4	4	no	—
193	C₂²	—	4	1	no	—
194	C₂²	—	4	1	no	—
195	C₂²	—	4	2	no	—
196	C₂²	—	4	4	no	—
197	C₂²	—	4	2	no	—
198	C₂²	—	4	4	no	—
199	C₂²	—	8	2	no	—
200	C₂²	—	8	2	no	—
201	C₂²	—	8	2	no	—
202	C₂²	—	8	2	no	—
203	C₂²	#537	1	1	yes	characteristic
204	C₂²	D₄²	1	2	yes	—
205	C₂²	#575	1	2	yes	—
206	C₂²	#576	1	1	yes	characteristic
207	C₂²	#578	1	1	yes	characteristic
208	C₄	—	4	1	no	—
209	C₄	—	4	2	no	—
210	C₄	—	4	2	no	—
211	C₄	—	4	4	no	—
212	C₄	—	8	2	no	—
213	C₄	—	8	2	no	—
214	C₄	#537	1	2	yes	—
215	C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
216	C₄	#560	1	1	yes	characteristic
217	C₂	—	8	1	no	—
218	C₂	—	8	4	no	—
219	C₂	#2675	1	1	yes	characteristic
220	C₂	#3256	1	1	yes	characteristic
221	C₂	#3262	1	1	yes	characteristic
222	C₂	#3269	1	2	yes	—
223	C₂	#3273	1	2	yes	—

subgroup

G/H

class size

multiplicity

normal?

properties

C₂×#468

C₂

yes

maximal, complemented

C₂×#463

C₂

yes

maximal, complemented

#2427

C₂

yes

maximal, complemented

#2068

C₂

yes

maximal, complemented

#2015

C₂

yes

maximal, complemented

#2001

C₂

yes

maximal, characteristic, complemented

#1999

C₂

yes

maximal, characteristic

#1862

C₂

yes

maximal, complemented

#1851

C₂

yes

maximal, characteristic, complemented

C₂²×Q₁₆

C₂²

yes

characteristic

C₂²×SD₁₆

C₂²

yes

—

C₂²×D₈

C₂²

yes

characteristic

C₂²×M₁₆

C₂²

yes

characteristic

C₂×#124

C₂²

yes

—

C₂×C₂²⋊Q₈

C₂²

yes

—

C₂×#121

C₂²

yes

—

C₂×C₄×D₄

C₂²

yes

—

#468

—

#463

—

C₂×#107

C₂²

yes

—

C₂×C₄⋊C₈

C₂²

yes

—

C₂×#103

C₂²

yes

—

C₂×#103

C₂²

yes

—

C₂×#102

C₂²

yes

—

C₂×#102

C₂²

yes

—

C₂×C₂²⋊C₈

C₂²

yes

—

—

C₂²

yes

—

#389

C₂²

yes

—

#386

—

#380

—

C₄×C₂²⋊C₄

C₂²

yes

characteristic

#340

C₂²

yes

characteristic

#340

C₂²

yes

characteristic

#336

C₂²

yes

—

C₂²×Q₈

C₂³

yes

—

C₂²×D₄

—

C₂²×D₄

C₂³

yes

—

C₂³×C₄

—

C₂³×C₄

C₂³

yes

characteristic

C₂×Q₁₆

—

C₂×Q₁₆

—

C₂×SD₁₆

—

C₂×SD₁₆

—

C₂×SD₁₆

—

C₂×D₈

—

C₂×D₈

—

C₂×M₁₆

—

C₂×M₁₆

—

C₂²×C₈

C₂³

yes

characteristic

C₂²×C₈

C₂³

yes

characteristic

C₂²×C₈

C₂³

yes

—

#124

—

#124

—

C₂²⋊Q₈

—

C₂²⋊Q₈

—

#121

—

#121

—

C₄×D₄

—

C₄×D₄

—

C₂×C₄⋊C₄

—

C₂×C₄⋊C₄

—

C₂×C₄⋊C₄

C₂³

yes

—

C₂×C₄⋊C₄

C₂³

yes

—

C₂×C₂²⋊C₄

—

C₂×C₂²⋊C₄

—

C₂×C₂²⋊C₄

—

C₂×C₂²⋊C₄

—

C₂×C₂²⋊C₄

—

C₂×C₂²⋊C₄

D₄

yes

—

C₂×C₄²

C₂³

yes

—

#107

—

C₄⋊C₈

—

—

—

—

D₄

yes

complemented

C₂²⋊C₈

—

—

—

—

D₄

yes

characteristic

#95

D₄

yes

characteristic

C₂⁴

—

C₂⁴

C₂×D₄

yes

characteristic

C₂×Q₈

—

C₂×Q₈

—

C₂×Q₈

—

C₂×Q₈

—

C₂×Q₈

—

C₂×Q₈

—

C₂×D₄

—

C₂×D₄

—

C₂×D₄

—

C₂×D₄

—

C₂×D₄

—

C₂×D₄

—

C₂×D₄

—

100

C₂×D₄

—

101

C₂×D₄

yes

—

102

C₂²×C₄

—

103

C₂²×C₄

—

104

C₂²×C₄

—

105

C₂²×C₄

—

106

C₂²×C₄

—

107

C₂²×C₄

—

108

C₂²×C₄

—

109

C₂²×C₄

—

110

C₂²×C₄

—

111

C₂²×C₄

—

112

C₂²×C₄

C₂×D₄

yes

—

113

C₂²×C₄

C₂×D₄

yes

—

114

C₂²×C₄

C₂×D₄

yes

characteristic

115

C₂²×C₄

C₂⁴

yes

characteristic

116

Q₁₆

—

117

SD₁₆

—

118

D₈

—

119

M₁₆

—

120

C₂×C₈

—

121

C₂×C₈

—

122

C₂×C₈

—

123

C₂×C₈

—

124

C₂×C₈

—

125

C₂×C₈

—

126

C₂×C₈

C₂×D₄

yes

—

127

C₄⋊C₄

—

128

C₄⋊C₄

—

129

C₄⋊C₄

—

130

C₄⋊C₄

—

131

C₄⋊C₄

—

132

C₄⋊C₄

C₂×D₄

yes

—

133

C₂²⋊C₄

—

134

C₂²⋊C₄

—

135

C₂²⋊C₄

—

136

C₂²⋊C₄

—

137

C₂²⋊C₄

—

138

C₂²⋊C₄

—

139

C₄²

—

140

C₄²

—

141

C₂³

—

142

C₂³

—

143

C₂³

—

144

C₂³

—

145

C₂³

—

146

C₂³

—

147

C₂³

—

148

C₂³

—

149

C₂³

—

150

C₂³

—

151

C₂³

—

152

C₂³

—

153

C₂³

C₂²×D₄

yes

characteristic

154

Q₈

—

155

Q₈

—

156

Q₈

—

157

Q₈

—

158

D₄

—

159

D₄

—

160

D₄

—

161

D₄

—

162

D₄

—

163

C₂×C₄

—

164

C₂×C₄

—

165

C₂×C₄

—

166

C₂×C₄

—

167

C₂×C₄

—

168

C₂×C₄

—

169

C₂×C₄

—

170

C₂×C₄

—

171

C₂×C₄

—

172

C₂×C₄

—

173

C₂×C₄

—

174

C₂×C₄

—

175

C₂×C₄

—

176

C₂×C₄

—

177

C₂×C₄

—

178

C₂×C₄

—

179

C₂×C₄

—

180

C₂×C₄

—

181

C₂×C₄

—

182

C₂×C₄

—

183

C₂×C₄

—

184

C₂×C₄

C₂²×D₄

yes

—

185

C₂×C₄

H(5,𝔽₂)

yes

—

186

C₂×C₄

H(5,𝔽₂)

yes

characteristic

187

C₂×C₄

2₋¹⁺⁴

yes

characteristic

188

C₈

—

189

C₈

—

190

C₈

—

191

C₂²

—

192

C₂²

—

193

C₂²

—

194

C₂²

—

195

C₂²

—

196

C₂²

—

197

C₂²

—

198

C₂²

—

199

C₂²

—

200

C₂²

—

201

C₂²

—

202

C₂²

—

203

C₂²

#537

yes

characteristic

204

C₂²

D₄²

yes

—

205

C₂²

#575

yes

—

206

C₂²

#576

yes

characteristic

207

C₂²

#578

yes

characteristic

208

C₄

—

209

C₄

—

210

C₄

—

211

C₄

—

212

C₄

—

213

C₄

—

214

C₄

#537

yes

—

215

C₄

D₄²

yes

characteristic

216

C₄

#560

yes

characteristic

217

C₂

—

218

C₂

—

219

C₂

#2675

yes

characteristic

220

C₂

#3256

yes

characteristic

221

C₂

#3262

yes

characteristic

222

C₂

#3269

yes

—

223

C₂

#3273

yes

—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	#1999	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₂²⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

subgroup

G/H

center, socle

C₂³

C₂²×D₄

commutator, Frattini, cosocle

C₂²×C₄

C₂⁴

C₂

G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₂²⋊C₄ ◁ G

LECS

G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#468	C₂	semidirect
2. C₂×#463	C₂	semidirect
3. #2427	C₂	semidirect
4. #2068	C₂	semidirect
5. #2015	C₂	semidirect
6. #2001	C₂	semidirect
8. #1862	C₂	semidirect
9. #1851	C₂	semidirect
78. #102	D₄	semidirect

H ≅ G/N

type

1. C₂×#468

C₂

semidirect

2. C₂×#463

C₂

semidirect

3. #2427

C₂

semidirect

4. #2068

C₂

semidirect

5. #2015

C₂

semidirect

6. #2001

C₂

semidirect

8. #1862

C₂

semidirect

9. #1851

C₂

semidirect

78. #102

D₄

semidirect

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#468	2
C₂×#463	2
#2427	2
#2068	2
#2015	2
#2001	2
#1999	2
#1862	2
#1851	2

subgroup

index

Subgroups — #30856

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups