Subgroups — #309178

Order 512.

601 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 316 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28809	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#26440	C₂	1	2	yes	maximal
3	#23187	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#10602	C₂	1	2	yes	maximal
5	#10350	C₂	1	2	yes	maximal
6	#9839	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#9733	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#9617	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#9596	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#8923	C₂	1	2	yes	maximal
11	#8291	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#498	—	2	1	no	—
13	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#441	—	2	1	no	—
15	#2551	C₂²	1	2	yes	—
16	#2365	C₂²	1	2	yes	—
17	#2086	—	2	2	no	—
18	#2058	—	2	2	no	—
19	#2057	—	2	2	no	—
20	#1990	C₂²	1	2	yes	—
21	#1990	C₂²	1	2	yes	—
22	#1988	—	2	2	no	—
23	#1988	C₂²	1	2	yes	—
24	#1981	C₂²	1	2	yes	—
25	#1971	—	2	1	no	—
26	#1948	C₂²	1	2	yes	—
27	#1947	C₂²	1	2	yes	—
28	#1941	—	2	1	no	—
29	#1939	C₂²	1	2	yes	—
30	#1918	—	2	2	no	—
31	#1878	—	2	2	no	—
32	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1770	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1296	C₂²	1	2	yes	—
42	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1279	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
46	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
51	#498	—	4	4	no	—
52	#494	—	2	2	no	—
53	#494	Q₈	1	4	yes	complemented
54	#441	—	4	4	no	—
55	C₂×#107	—	2	2	no	—
56	C₂×#107	D₄	1	2	yes	—
57	C₂×#106	—	2	1	no	—
58	C₂×#106	—	2	2	no	—
59	C₂×#106	—	2	1	no	—
60	C₂×#106	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×#106	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#103	—	2	2	no	—
67	C₂×#103	—	2	2	no	—
68	C₂×#97	—	2	1	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
70	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	#395	—	4	2	no	—
74	#391	—	2	2	no	—
75	#389	—	2	2	no	—
76	#389	—	2	2	no	—
77	#389	—	2	2	no	—
78	#387	—	4	2	no	—
79	#384	C₂³	1	2	yes	—
80	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
81	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#340	—	2	2	no	—
85	#340	—	2	2	no	—
86	#340	—	2	2	no	—
87	#340	—	2	2	no	—
88	#340	—	2	2	no	—
89	#340	—	2	2	no	—
90	#340	—	4	2	no	—
91	#340	D₄	1	2	yes	—
92	#340	D₄	1	2	yes	—
93	#336	—	2	2	no	—
94	#336	—	2	1	no	—
95	#336	—	2	1	no	—
96	#335	—	2	2	no	—
97	#335	—	2	2	no	—
98	#332	—	2	4	no	—
99	#322	—	2	2	no	—
100	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
101	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
102	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
103	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
104	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
105	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
106	C₂×Q₁₆	—	8	1	no	—
107	C₂×Q₁₆	—	8	1	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
112	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
117	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
118	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
119	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
120	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
121	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
122	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
123	C₄⋊Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
124	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
125	C₄×Q₈	—	8	2	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
142	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
143	#107	—	2	4	no	—
144	#107	—	8	2	no	—
145	#106	—	2	2	no	—
146	#106	—	4	2	no	—
147	#106	—	4	4	no	—
148	#106	—	8	1	no	—
149	#106	D₈	1	4	yes	—
150	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
152	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
153	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
154	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
155	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
156	C₄⋊C₈	#41	1	2	yes	—
157	#103	—	4	4	no	—
158	#103	—	8	2	no	—
159	#97	—	4	2	no	—
160	C₄×C₈	—	2	1	no	—
161	C₄×C₈	—	2	1	no	—
162	C₄×C₈	—	2	1	no	—
163	C₄×C₈	—	2	1	no	—
164	C₄×C₈	—	4	2	no	—
165	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
166	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
167	#95	—	2	1	no	—
168	#95	—	2	2	no	—
169	#95	—	2	1	no	—
170	#95	—	4	2	no	—
171	#95	—	4	2	no	—
172	#95	—	4	2	no	—
173	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
174	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
175	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
176	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
177	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
178	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
179	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
180	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
181	C₂×Q₈	—	16	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
188	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
191	Q₁₆	—	4	8	no	—
192	Q₁₆	—	8	4	no	—
193	C₂×C₈	—	2	1	no	—
194	C₂×C₈	—	2	1	no	—
195	C₂×C₈	—	2	1	no	—
196	C₂×C₈	—	2	1	no	—
197	C₂×C₈	—	2	2	no	—
198	C₂×C₈	—	2	2	no	—
199	C₂×C₈	—	2	2	no	—
200	C₂×C₈	—	4	1	no	—
201	C₂×C₈	—	4	1	no	—
202	C₂×C₈	—	4	2	no	—
203	C₂×C₈	—	4	2	no	—
204	C₂×C₈	—	4	1	no	—
205	C₂×C₈	—	4	1	no	—
206	C₂×C₈	—	4	1	no	—
207	C₂×C₈	—	4	1	no	—
208	C₂×C₈	—	4	2	no	—
209	C₂×C₈	—	4	2	no	—
210	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
211	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
212	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
213	C₂×C₈	#137	1	2	yes	—
214	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
215	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
216	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
217	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
221	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
222	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
224	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
225	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
226	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
227	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
228	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
229	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
230	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
232	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
233	C₄⋊C₄	#137	1	4	yes	—
234	C₄²	—	4	1	no	—
235	C₄²	—	4	1	no	—
236	C₄²	—	4	2	no	—
237	C₄²	—	4	1	no	—
238	C₄²	—	4	1	no	—
239	C₄²	—	4	2	no	—
240	C₄²	—	8	4	no	—
241	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
242	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
243	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
244	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
245	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
246	Q₈	—	4	4	no	—
247	Q₈	—	4	4	no	—
248	Q₈	—	8	2	no	—
249	Q₈	—	8	2	no	—
250	Q₈	—	16	8	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂×C₄	—	4	2	no	—
257	C₂×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂×C₄	—	4	4	no	—
259	C₂×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂×C₄	—	4	2	no	—
264	C₂×C₄	—	4	2	no	—
265	C₂×C₄	—	8	2	no	—
266	C₂×C₄	—	8	2	no	—
267	C₂×C₄	—	8	2	no	—
268	C₂×C₄	—	8	2	no	—
269	C₂×C₄	—	8	2	no	—
270	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	#542	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	#548	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
282	C₈	—	2	2	no	—
283	C₈	—	4	2	no	—
284	C₈	—	4	1	no	—
285	C₈	—	4	1	no	—
286	C₈	—	8	1	no	—
287	C₈	—	8	1	no	—
288	C₈	—	8	2	no	—
289	C₈	#474	1	4	yes	—
290	C₂²	#2452	1	1	yes	characteristic
291	C₂²	#3266	1	2	yes	—
292	C₂²	#3278	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
294	C₂²	#3289	1	2	yes	—
295	C₄	—	2	1	no	—
296	C₄	—	2	1	no	—
297	C₄	—	4	4	no	—
298	C₄	—	4	4	no	—
299	C₄	—	8	2	no	—
300	C₄	—	8	4	no	—
301	C₄	—	8	2	no	—
302	C₄	—	16	2	no	—
303	C₄	C₂×#474	1	1	yes	characteristic
304	C₄	#3081	1	1	yes	characteristic
305	C₄	#3173	1	1	yes	characteristic
306	C₄	#3185	1	1	yes	characteristic
307	C₄	#3358	1	1	yes	characteristic
308	C₄	#3375	1	1	yes	characteristic
309	C₄	#3387	1	2	yes	—
310	C₂	#19757	1	2	yes	—
311	C₂	#20185	1	2	yes	—
312	C₂	#26460	1	1	yes	characteristic
313	C₂	#26491	1	1	yes	characteristic
314	C₂	#26505	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
53. #494	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28809	2
#26440	2
#23187	2
#10602	2
#10350	2
#9839	2
#9733	2
#9617	2
#9596	2
#8923	2
#8291	2