Subgroups — #314672

Order 512.

696 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 348 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#27647	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₈×C₂²⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1845	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#10651	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10617	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#9615	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8723	C₂	1	2	yes	maximal
8	#8645	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8596	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#483	—	2	2	no	—
11	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#107	—	2	1	no	—
13	C₂²×#107	—	2	1	no	—
14	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₄×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
17	#2084	—	2	2	no	—
18	#2072	—	2	2	no	—
19	#1984	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1948	C₂²	1	4	yes	—
21	#1939	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1916	—	2	1	no	—
23	#1850	—	2	1	no	—
24	#1845	—	2	1	no	—
25	#1845	—	2	1	no	—
26	#1845	C₂²	1	2	yes	—
27	#1845	C₂²	1	2	yes	—
28	#1823	—	2	2	no	—
29	#1803	C₂²	1	4	yes	—
30	#1797	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1797	C₂²	1	2	yes	—
32	C₈×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
33	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
35	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
36	#1296	C₂²	1	4	yes	—
37	#1296	C₂²	1	4	yes	—
38	#1277	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₂²⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
46	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	#483	—	4	8	no	—
48	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
49	C₂×#107	—	2	2	no	—
50	C₂×#107	—	2	2	no	—
51	C₂×#107	—	2	2	no	—
52	C₂×#107	—	2	2	no	—
53	C₂×#107	—	4	4	no	—
54	C₂×#107	—	4	4	no	—
55	C₂×#106	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
57	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
58	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×#103	—	2	4	no	—
62	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
64	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#391	D₄	1	1	yes	characteristic
72	#389	D₄	1	1	yes	characteristic
73	#387	—	2	1	no	—
74	#385	—	2	1	no	—
75	#384	—	2	2	no	—
76	#384	—	2	2	no	—
77	#384	—	2	2	no	—
78	#384	C₂³	1	4	yes	—
79	#380	D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
81	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
83	#340	—	2	4	no	—
84	#340	—	2	4	no	—
85	#336	—	2	1	no	—
86	#336	—	2	1	no	—
87	#336	—	2	1	no	—
88	#336	—	2	1	no	—
89	#336	—	2	2	no	—
90	#336	—	2	1	no	—
91	#335	—	2	4	no	—
92	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
94	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
105	C₂²×C₈	SD₁₆	1	4	yes	—
106	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
111	C₂²⋊Q₈	D₈	1	4	yes	—
112	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
113	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
133	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
137	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
141	#107	—	4	4	no	—
142	#107	—	4	4	no	—
143	#107	—	4	4	no	—
144	#107	—	4	4	no	—
145	#106	—	4	8	no	—
146	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
147	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
148	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
150	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
151	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
152	#103	—	4	8	no	—
153	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
154	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
155	C₄×C₈	—	2	2	no	—
156	C₄×C₈	—	2	2	no	—
157	C₄×C₈	—	2	2	no	—
158	C₄×C₈	—	4	2	no	—
159	C₄×C₈	—	4	2	no	—
160	C₄×C₈	#41	1	4	yes	—
161	#95	—	2	1	no	—
162	#95	—	2	1	no	—
163	#95	—	2	1	no	—
164	#95	—	2	1	no	—
165	#95	—	2	1	no	—
166	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
167	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
168	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
169	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
170	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
188	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₈	—	2	8	no	—
199	C₂×C₈	—	2	1	no	—
200	C₂×C₈	—	2	1	no	—
201	C₂×C₈	—	2	1	no	—
202	C₂×C₈	—	2	1	no	—
203	C₂×C₈	—	2	1	no	—
204	C₂×C₈	—	2	1	no	—
205	C₂×C₈	—	2	8	no	—
206	C₂×C₈	—	4	1	no	—
207	C₂×C₈	—	4	1	no	—
208	C₂×C₈	—	4	4	no	—
209	C₂×C₈	—	4	4	no	—
210	C₂×C₈	—	4	1	no	—
211	C₂×C₈	—	4	1	no	—
212	C₂×C₈	—	4	1	no	—
213	C₂×C₈	—	4	1	no	—
214	C₂×C₈	—	4	4	no	—
215	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
216	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
217	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
218	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
219	C₂×C₈	#137	1	2	yes	—
220	C₂×C₈	#137	1	2	yes	—
221	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
222	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
223	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
225	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
226	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
227	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
228	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
229	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
235	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
236	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
238	C₄²	—	2	1	no	—
239	C₄²	—	2	1	no	—
240	C₄²	—	2	2	no	—
241	C₄²	—	2	2	no	—
242	C₄²	—	4	1	no	—
243	C₄²	—	4	1	no	—
244	C₄²	—	4	1	no	—
245	C₄²	—	4	1	no	—
246	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
247	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
248	C₂³	—	2	1	no	—
249	C₂³	—	2	1	no	—
250	C₂³	—	2	1	no	—
251	C₂³	—	2	1	no	—
252	C₂³	#460	1	2	yes	—
253	C₂³	#466	1	2	yes	—
254	C₂³	#472	1	2	yes	—
255	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
256	Q₈	—	2	4	no	—
257	Q₈	—	4	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	8	no	—
259	C₂×C₄	—	2	1	no	—
260	C₂×C₄	—	2	1	no	—
261	C₂×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂×C₄	—	2	1	no	—
264	C₂×C₄	—	2	1	no	—
265	C₂×C₄	—	2	1	no	—
266	C₂×C₄	—	2	1	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	4	1	no	—
276	C₂×C₄	—	4	1	no	—
277	C₂×C₄	—	4	1	no	—
278	C₂×C₄	—	4	1	no	—
279	C₂×C₄	—	4	1	no	—
280	C₂×C₄	—	4	1	no	—
281	C₂×C₄	—	4	1	no	—
282	C₂×C₄	—	4	1	no	—
283	C₂×C₄	—	4	1	no	—
284	C₂×C₄	—	4	1	no	—
285	C₂×C₄	—	8	4	no	—
286	C₂×C₄	—	8	4	no	—
287	C₂×C₄	—	8	4	no	—
288	C₂×C₄	—	16	8	no	—
289	C₂×C₄	#460	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	#473	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
303	C₈	—	2	2	no	—
304	C₈	—	2	2	no	—
305	C₈	—	2	2	no	—
306	C₈	—	8	4	no	—
307	C₈	—	8	1	no	—
308	C₈	—	8	1	no	—
309	C₈	#483	1	4	yes	complemented
310	C₂²	—	2	2	no	—
311	C₂²	—	2	2	no	—
312	C₂²	—	2	2	no	—
313	C₂²	—	2	2	no	—
314	C₂²	—	2	2	no	—
315	C₂²	—	2	2	no	—
316	C₂²	#1668	1	4	yes	—
317	C₂²	#2486	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	C₂×#460	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	#3039	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	#3059	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	C₂×#472	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	C₂×#473	1	1	yes	characteristic
324	C₄	—	2	2	no	—
325	C₄	—	2	2	no	—
326	C₄	—	2	2	no	—
327	C₄	—	2	2	no	—
328	C₄	—	4	2	no	—
329	C₄	—	4	2	no	—
330	C₄	—	8	1	no	—
331	C₄	—	8	1	no	—
332	C₄	—	16	4	no	—
333	C₄	C₂×#483	1	1	yes	characteristic
334	C₄	#3092	1	1	yes	characteristic
335	C₄	#3229	1	1	yes	characteristic
336	C₄	#3238	1	1	yes	characteristic
337	C₄	#3334	1	2	yes	—
338	C₄	#3336	1	2	yes	—
339	C₂	—	2	4	no	—
340	C₂	C₂×#1668	1	1	yes	characteristic
341	C₂	#19204	1	1	yes	characteristic
342	C₂	#19271	1	1	yes	characteristic
343	C₂	#19359	1	1	yes	characteristic
344	C₂	#27647	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#27661	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#27675	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	#121
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #10651	C₂	semidirect
5. #10617	C₂	semidirect
6. #9615	C₂	semidirect
8. #8645	C₂	semidirect
309. C₈	#483	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#27647	2
C₈×C₂²⋊Q₈	2
C₂×#1845	2
#10651	2
#10617	2
#9615	2
#8723	2
#8645	2
#8596	2