Subgroups — #315574

Order 512.

850 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 360 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33171	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#27907	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#27891	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20817	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#10672	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10671	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#9824	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#9824	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#8818	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#8814	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#482	—	2	4	no	—
14	C₂×#466	—	2	2	no	—
15	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2856	C₂²	1	2	yes	—
17	#2285	C₂²	1	2	yes	—
18	#2092	—	2	4	no	—
19	#2033	—	2	4	no	—
20	#1970	—	2	2	no	—
21	#1957	C₂²	1	2	yes	—
22	#1957	C₂²	1	2	yes	—
23	#1957	C₂²	1	2	yes	—
24	#1957	C₂²	1	2	yes	—
25	#1957	C₂²	1	2	yes	—
26	#1925	—	2	4	no	—
27	#1845	C₂²	1	2	yes	—
28	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1845	C₂²	1	2	yes	—
32	#1844	C₂²	1	2	yes	—
33	#1834	C₂²	1	2	yes	—
34	#1834	C₂²	1	2	yes	—
35	#1808	—	2	2	no	—
36	C₄×#107	—	2	2	no	—
37	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1273	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1273	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
44	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
45	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×#121	—	2	2	no	—
47	C₂×#121	—	2	2	no	—
48	C₂×#121	—	2	2	no	—
49	C₂×#117	—	2	2	no	—
50	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	#493	—	2	2	no	—
52	#493	—	2	2	no	—
53	#482	—	4	16	no	—
54	#466	—	4	8	no	—
55	C₂×#107	—	2	4	no	—
56	C₂×#107	—	2	2	no	—
57	C₂×#107	—	2	2	no	—
58	C₂×#107	—	2	2	no	—
59	C₂×#107	—	2	4	no	—
60	C₂×#106	—	2	4	no	—
61	C₂×#102	—	2	4	no	—
62	C₂×#102	—	2	4	no	—
63	C₂×#102	—	2	4	no	—
64	C₂×#102	—	2	4	no	—
65	C₂×#102	—	2	4	no	—
66	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#390	—	2	2	no	—
78	#390	—	2	2	no	—
79	#390	—	2	2	no	—
80	#384	C₂³	1	2	yes	—
81	#384	C₂³	1	2	yes	—
82	#384	C₂³	1	2	yes	—
83	#382	—	2	2	no	—
84	#380	—	2	2	no	—
85	#380	—	2	2	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
88	#340	—	2	4	no	—
89	#340	—	2	4	no	—
90	#336	D₄	1	2	yes	—
91	#336	D₄	1	2	yes	—
92	C₈²	—	2	2	no	—
93	C₈²	—	2	2	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
97	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
98	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂×D₈	—	4	4	no	—
102	C₂×D₈	—	4	4	no	—
103	C₂×D₈	—	4	4	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
107	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	#127	—	2	2	no	—
114	#127	—	2	2	no	—
115	#127	—	2	2	no	—
116	#127	—	2	2	no	—
117	#121	—	4	8	no	—
118	#121	—	4	8	no	—
119	#121	—	8	4	no	—
120	#117	—	4	8	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
134	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
138	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
139	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
143	#107	—	4	8	no	—
144	#107	—	4	4	no	—
145	#107	—	4	4	no	—
146	#107	—	4	4	no	—
147	#107	—	8	4	no	—
148	#106	—	4	8	no	—
149	#102	—	4	8	no	—
150	#102	—	4	8	no	—
151	#102	—	4	8	no	—
152	#102	—	4	8	no	—
153	#102	—	8	4	no	—
154	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
155	C₂²⋊C₈	D₈	1	8	yes	complemented
156	C₄×C₈	—	2	4	no	—
157	C₄×C₈	—	2	1	no	—
158	C₄×C₈	—	2	1	no	—
159	C₄×C₈	—	2	1	no	—
160	C₄×C₈	—	2	1	no	—
161	C₄×C₈	—	2	1	no	—
162	C₄×C₈	—	2	1	no	—
163	C₄×C₈	—	2	1	no	—
164	C₄×C₈	—	2	1	no	—
165	C₄×C₈	—	2	1	no	—
166	C₄×C₈	—	2	1	no	—
167	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
168	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
169	#95	—	4	2	no	—
170	#95	—	4	2	no	—
171	C₂⁴	—	4	2	no	—
172	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
173	C₂×D₄	—	4	2	no	—
174	C₂×D₄	—	4	2	no	—
175	C₂×D₄	—	4	2	no	—
176	C₂×D₄	—	4	2	no	—
177	C₂×D₄	—	4	2	no	—
178	C₂×D₄	—	4	2	no	—
179	C₂×D₄	—	4	4	no	—
180	C₂×D₄	—	4	4	no	—
181	C₂×D₄	—	4	4	no	—
182	C₂×D₄	—	4	4	no	—
183	C₂×D₄	—	4	4	no	—
184	C₂×D₄	—	4	4	no	—
185	C₂×D₄	—	8	4	no	—
186	C₂×D₄	—	8	4	no	—
187	C₂×D₄	—	8	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
209	D₈	—	8	8	no	—
210	C₂×C₈	—	2	2	no	—
211	C₂×C₈	—	2	2	no	—
212	C₂×C₈	—	2	2	no	—
213	C₂×C₈	—	2	2	no	—
214	C₂×C₈	—	2	2	no	—
215	C₂×C₈	—	2	2	no	—
216	C₂×C₈	—	2	2	no	—
217	C₂×C₈	—	2	2	no	—
218	C₂×C₈	—	2	2	no	—
219	C₂×C₈	—	2	2	no	—
220	C₂×C₈	—	2	2	no	—
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	4	8	no	—
223	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
224	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
225	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
226	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
227	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
228	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
229	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
242	C₄²	—	2	1	no	—
243	C₄²	—	2	1	no	—
244	C₄²	—	2	1	no	—
245	C₄²	—	2	1	no	—
246	C₄²	—	2	1	no	—
247	C₄²	—	2	1	no	—
248	C₄²	—	8	4	no	—
249	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
250	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
251	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
252	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
253	C₂³	—	2	1	no	—
254	C₂³	—	2	1	no	—
255	C₂³	—	2	1	no	—
256	C₂³	—	2	1	no	—
257	C₂³	—	2	1	no	—
258	C₂³	—	2	1	no	—
259	C₂³	—	8	2	no	—
260	C₂³	—	8	2	no	—
261	C₂³	—	8	2	no	—
262	C₂³	—	8	2	no	—
263	C₂³	—	8	2	no	—
264	C₂³	—	8	2	no	—
265	C₂³	—	8	2	no	—
266	C₂³	#493	1	2	yes	—
267	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
268	D₄	—	8	4	no	—
269	D₄	—	8	4	no	—
270	D₄	—	8	4	no	—
271	D₄	—	8	4	no	—
272	D₄	—	8	4	no	—
273	D₄	—	8	4	no	—
274	D₄	—	16	8	no	—
275	C₂×C₄	—	2	1	no	—
276	C₂×C₄	—	2	1	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	1	no	—
282	C₂×C₄	—	2	1	no	—
283	C₂×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂×C₄	—	4	2	no	—
286	C₂×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	2	no	—
288	C₂×C₄	—	4	2	no	—
289	C₂×C₄	—	8	2	no	—
290	C₂×C₄	—	8	2	no	—
291	C₂×C₄	—	8	2	no	—
292	C₂×C₄	—	8	2	no	—
293	C₂×C₄	—	8	2	no	—
294	C₂×C₄	—	8	2	no	—
295	C₂×C₄	—	8	2	no	—
296	C₂×C₄	—	8	2	no	—
297	C₂×C₄	—	8	2	no	—
298	C₂×C₄	#493	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
311	C₈	—	2	4	no	—
312	C₈	—	2	4	no	—
313	C₈	—	2	4	no	—
314	C₈	—	4	2	no	—
315	C₈	—	4	2	no	—
316	C₈	#482	1	8	yes	complemented
317	C₂²	—	2	2	no	—
318	C₂²	—	2	2	no	—
319	C₂²	—	2	2	no	—
320	C₂²	—	4	1	no	—
321	C₂²	—	4	1	no	—
322	C₂²	—	4	1	no	—
323	C₂²	—	4	1	no	—
324	C₂²	—	16	2	no	—
325	C₂²	—	16	2	no	—
326	C₂²	—	16	2	no	—
327	C₂²	—	16	2	no	—
328	C₂²	—	16	2	no	—
329	C₂²	—	16	2	no	—
330	C₂²	—	16	2	no	—
331	C₂²	#2501	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#3147	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#3147	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#3156	1	1	yes	characteristic
338	C₄	—	2	2	no	—
339	C₄	—	4	1	no	—
340	C₄	—	4	1	no	—
341	C₄	—	16	2	no	—
342	C₄	—	16	2	no	—
343	C₄	—	16	2	no	—
344	C₄	C₂×#482	1	2	yes	—
345	C₄	#3228	1	2	yes	—
346	C₄	#3334	1	2	yes	—
347	C₄	#3334	1	2	yes	—
348	C₄	#3339	1	2	yes	—
349	C₄	#3341	1	2	yes	—
350	C₂	—	4	2	no	—
351	C₂	—	32	2	no	—
352	C₂	#19603	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#19629	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#19645	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#19666	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#27907	1	1	yes	characteristic
357	C₂	#27928	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#27929	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#33171	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #27907	C₂	semidirect
3. #27891	C₂	semidirect
4. #20817	C₂	semidirect
5. #10672	C₂	semidirect
6. #10671	C₂	semidirect
7. #9824	C₂	semidirect
8. #9824	C₂	semidirect
9. #8818	C₂	semidirect
10. #8814	C₂	semidirect
11. C₈×C₂²⋊C₈	C₂	semidirect
155. C₂²⋊C₈	D₈	semidirect
316. C₈	#482	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33171	2
#27907	2
#27891	2
#20817	2
#10672	2
#10671	2
#9824	2
#8818	2
#8814	2
C₈×C₂²⋊C₈	2