Subgroups — #318006

Order 512.

724 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 292 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#28228	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#28185	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×C₈×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×C₈×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#10433	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8816	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8649	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8644	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#467	—	2	2	no	—
10	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
14	#2538	C₂²	1	4	yes	—
15	#2086	—	2	2	no	—
16	#2054	—	2	2	no	—
17	#2036	—	2	4	no	—
18	#1934	—	2	4	no	—
19	#1845	C₂²	1	2	yes	—
20	#1834	C₂²	1	2	yes	—
21	#1834	C₂²	1	2	yes	—
22	#1808	—	2	2	no	—
23	#1803	C₂²	1	4	yes	—
24	#1802	C₂²	1	4	yes	—
25	C₈×Q₁₆	—	2	4	no	—
26	C₈×D₈	—	2	4	no	—
27	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1296	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
36	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
37	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
39	#467	—	4	8	no	—
40	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
41	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
42	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
43	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
44	C₄×D₈	—	2	2	no	—
45	C₄×D₈	—	2	2	no	—
46	C₈×D₄	—	2	4	no	—
47	C₈×D₄	—	2	4	no	—
48	C₂×#107	—	2	2	no	—
49	C₂×#107	—	2	2	no	—
50	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#103	—	2	4	no	—
56	C₂×#103	D₄	1	2	yes	—
57	C₂×#102	—	2	4	no	—
58	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#396	—	4	4	no	—
65	#390	—	2	4	no	—
66	#389	—	2	4	no	—
67	#384	C₂³	1	4	yes	—
68	#380	—	2	4	no	—
69	#340	—	2	2	no	—
70	#340	—	2	2	no	—
71	#340	—	2	4	no	—
72	#340	—	2	4	no	—
73	#340	—	4	2	no	—
74	#335	—	2	2	no	—
75	#335	—	2	2	no	—
76	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
77	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
78	C₈²	D₄	1	4	yes	—
79	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
80	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
81	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
82	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
83	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
84	C₂×Q₁₆	D₈	1	4	yes	complemented
85	C₂×D₈	—	2	4	no	—
86	C₂×D₈	—	2	2	no	—
87	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
88	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
90	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
91	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
92	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
93	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
98	C₂²⋊Q₈	—	8	4	no	—
99	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
100	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
101	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
102	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
103	C₄×D₄	—	2	2	no	—
104	C₄×D₄	—	2	2	no	—
105	C₄×D₄	—	2	2	no	—
106	C₄×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
117	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	#107	—	2	2	no	—
120	#107	—	2	2	no	—
121	#107	—	4	4	no	—
122	#107	—	8	2	no	—
123	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
124	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
125	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
126	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
127	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
128	#103	—	2	4	no	—
129	#103	—	4	8	no	—
130	#102	—	2	4	no	—
131	#102	—	4	8	no	—
132	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
133	C₄×C₈	—	2	1	no	—
134	C₄×C₈	—	4	4	no	—
135	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
139	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
140	#95	—	4	4	no	—
141	C₂⁴	—	2	2	no	—
142	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
143	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
144	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
145	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
146	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
147	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
148	C₂×D₄	—	2	2	no	—
149	C₂×D₄	—	2	2	no	—
150	C₂×D₄	—	2	2	no	—
151	C₂×D₄	—	2	2	no	—
152	C₂×D₄	—	2	2	no	—
153	C₂×D₄	#135	1	4	yes	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
164	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
167	Q₁₆	—	2	8	no	—
168	D₈	—	2	8	no	—
169	C₂×C₈	—	2	2	no	—
170	C₂×C₈	—	2	1	no	—
171	C₂×C₈	—	2	2	no	—
172	C₂×C₈	—	2	1	no	—
173	C₂×C₈	—	2	2	no	—
174	C₂×C₈	—	4	2	no	—
175	C₂×C₈	—	4	2	no	—
176	C₂×C₈	—	4	2	no	—
177	C₂×C₈	—	4	2	no	—
178	C₂×C₈	—	4	4	no	—
179	C₂×C₈	—	4	2	no	—
180	C₂×C₈	—	8	8	no	—
181	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
182	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
183	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
184	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
185	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
186	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
187	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
192	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
193	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
194	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
195	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
196	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
197	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
198	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
202	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
203	C₄²	—	4	2	no	—
204	C₄²	—	4	2	no	—
205	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
207	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
208	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
209	C₂³	—	2	4	no	—
210	C₂³	—	4	2	no	—
211	C₂³	—	4	2	no	—
212	C₂³	—	4	2	no	—
213	C₂³	—	4	2	no	—
214	C₂³	—	4	2	no	—
215	C₂³	—	4	2	no	—
216	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
217	Q₈	—	2	4	no	—
218	Q₈	—	2	4	no	—
219	Q₈	—	4	2	no	—
220	Q₈	—	4	2	no	—
221	D₄	—	2	4	no	—
222	D₄	—	2	4	no	—
223	D₄	—	4	2	no	—
224	D₄	—	4	2	no	—
225	C₂×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂×C₄	—	4	4	no	—
232	C₂×C₄	—	4	2	no	—
233	C₂×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂×C₄	—	8	2	no	—
235	C₂×C₄	—	8	2	no	—
236	C₂×C₄	—	8	2	no	—
237	C₂×C₄	—	8	2	no	—
238	C₂×C₄	—	8	4	no	—
239	C₂×C₄	—	8	4	no	—
240	C₂×C₄	—	8	4	no	—
241	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
242	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
243	C₂×C₄	#537	1	1	yes	characteristic
244	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
245	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₄	#555	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
249	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
253	C₈	—	2	2	no	—
254	C₈	—	2	2	no	—
255	C₈	—	2	2	no	—
256	C₈	—	4	2	no	—
257	C₈	—	8	2	no	—
258	C₈	—	8	2	no	—
259	C₈	#466	1	4	yes	—
260	C₂²	—	4	4	no	—
261	C₂²	—	4	4	no	—
262	C₂²	—	4	4	no	—
263	C₂²	—	8	2	no	—
264	C₂²	—	8	2	no	—
265	C₂²	—	8	2	no	—
266	C₂²	—	8	2	no	—
267	C₂²	#2537	1	1	yes	characteristic
268	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
269	C₂²	#3283	1	1	yes	characteristic
270	C₂²	#3285	1	2	yes	—
271	C₂²	#3290	1	2	yes	—
272	C₄	—	2	1	no	—
273	C₄	—	2	1	no	—
274	C₄	—	4	4	no	—
275	C₄	—	8	2	no	—
276	C₄	—	8	2	no	—
277	C₄	—	16	4	no	—
278	C₄	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
279	C₄	#3050	1	1	yes	characteristic
280	C₄	#3059	1	1	yes	characteristic
281	C₄	#3061	1	1	yes	characteristic
282	C₄	#3334	1	1	yes	characteristic
283	C₄	#3336	1	2	yes	—
284	C₄	#3341	1	1	yes	characteristic
285	C₂	—	8	4	no	—
286	C₂	#19973	1	2	yes	—
287	C₂	#20011	1	2	yes	—
288	C₂	#28226	1	1	yes	characteristic
289	C₂	#28227	1	1	yes	characteristic
290	C₂	#28245	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₈	D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #28228	C₂	semidirect
3. C₂×C₈×Q₁₆	C₂	semidirect
5. #10433	C₂	semidirect
6. #8816	C₂	semidirect
7. #8649	C₂	semidirect
8. #8644	C₂	semidirect
84. C₂×Q₁₆	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#28228	2
#28185	2
C₂×C₈×Q₁₆	2
C₂×C₈×D₈	2
#10433	2
#8816	2
#8649	2
#8644	2