Subgroups — #319073

Order 512.

1024 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 384 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33171	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#27891	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#25599	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#21195	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#10674	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#10671	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10307	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#10304	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#9824	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#9822	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₈×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#466	—	2	2	no	—
17	C₂×#416	—	2	2	no	—
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2856	C₂²	1	2	yes	—
20	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2033	—	2	4	no	—
22	#1999	—	2	4	no	—
23	#1990	C₂²	1	2	yes	—
24	#1970	—	2	2	no	—
25	#1958	—	2	2	no	—
26	#1957	C₂²	1	2	yes	—
27	#1957	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1957	C₂²	1	2	yes	—
29	#1957	C₂²	1	2	yes	—
30	#1957	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1957	C₂²	1	2	yes	—
32	#1956	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1956	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1925	—	2	4	no	—
35	#1879	—	2	4	no	—
36	#1845	C₂²	1	2	yes	—
37	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1834	C₂²	1	2	yes	—
39	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×C₈²	C₂²	1	2	yes	—
41	#1273	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1273	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×#41	—	2	1	no	—
44	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
45	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
46	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
47	#532	—	2	2	no	—
48	#532	—	2	2	no	—
49	#532	—	4	2	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#124	—	2	1	no	—
54	C₂×#121	—	2	2	no	—
55	C₂×#121	—	2	2	no	—
56	C₂×#121	—	2	2	no	—
57	C₂×#121	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
59	C₂×#117	—	2	1	no	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#493	—	2	4	no	—
62	#493	—	4	2	no	—
63	#493	—	4	2	no	—
64	#486	—	2	4	no	—
65	#486	—	4	2	no	—
66	#466	—	4	8	no	—
67	C₂×#107	—	2	2	no	—
68	C₂×#107	—	2	4	no	—
69	#416	—	4	8	no	—
70	C₂×#103	—	2	2	no	—
71	C₂×#103	—	2	2	no	—
72	C₂×#102	—	2	4	no	—
73	C₂×#102	—	2	2	no	—
74	C₂×#102	—	2	2	no	—
75	C₂×#102	—	2	4	no	—
76	C₂×#102	—	2	4	no	—
77	C₂×#102	—	2	4	no	—
78	C₂×#102	—	2	4	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
80	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
81	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#390	—	2	2	no	—
87	#390	—	2	2	no	—
88	#390	—	2	2	no	—
89	#384	C₂³	1	2	yes	—
90	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	#382	—	2	1	no	—
93	#380	—	2	2	no	—
94	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
95	#340	—	2	4	no	—
96	#340	—	2	4	no	—
97	#336	D₄	1	4	yes	—
98	C₈²	—	4	2	no	—
99	C₂×#41	—	2	4	no	—
100	C₂×#41	—	4	2	no	—
101	C₂×#41	—	4	4	no	—
102	C₂×#41	—	4	4	no	—
103	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
110	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
111	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂×D₈	—	4	8	no	—
115	C₂×D₈	—	4	4	no	—
116	C₂×D₈	—	4	4	no	—
117	C₂×D₈	—	4	4	no	—
118	C₂×D₈	—	4	8	no	—
119	C₂×D₈	—	8	4	no	—
120	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
122	C₂²×C₈	D₈	1	8	yes	complemented
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
127	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
128	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
129	C₄⋊Q₈	#41	1	2	yes	—
130	#127	—	2	1	no	—
131	#127	—	2	2	no	—
132	#127	—	2	2	no	—
133	#127	—	2	2	no	—
134	#127	—	2	2	no	—
135	#127	—	2	2	no	—
136	#127	#41	1	2	yes	—
137	#124	—	2	4	no	—
138	#124	—	4	2	no	—
139	#121	—	4	4	no	—
140	#121	—	4	4	no	—
141	#121	—	4	8	no	—
142	#121	—	8	4	no	—
143	#121	—	8	4	no	—
144	C₄×D₄	—	4	4	no	—
145	C₄×D₄	—	4	4	no	—
146	#117	—	4	4	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
167	#107	—	4	4	no	—
168	#107	—	8	4	no	—
169	#103	—	4	4	no	—
170	#103	—	4	4	no	—
171	#102	—	4	8	no	—
172	#102	—	4	4	no	—
173	#102	—	4	4	no	—
174	#102	—	4	8	no	—
175	#102	—	4	8	no	—
176	#102	—	8	4	no	—
177	#102	—	8	4	no	—
178	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
179	C₄×C₈	—	2	2	no	—
180	C₄×C₈	—	2	2	no	—
181	C₄×C₈	—	2	2	no	—
182	C₄×C₈	—	2	2	no	—
183	C₄×C₈	—	2	2	no	—
184	C₄×C₈	—	2	2	no	—
185	C₄×C₈	—	4	2	no	—
186	#95	—	4	2	no	—
187	C₂⁴	—	4	1	no	—
188	C₂⁴	—	4	2	no	—
189	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
190	#41	—	4	16	no	—
191	#41	—	8	8	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
193	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
194	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
195	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
196	C₂×D₄	—	2	2	no	—
197	C₂×D₄	—	2	4	no	—
198	C₂×D₄	—	4	4	no	—
199	C₂×D₄	—	4	2	no	—
200	C₂×D₄	—	4	1	no	—
201	C₂×D₄	—	4	2	no	—
202	C₂×D₄	—	4	2	no	—
203	C₂×D₄	—	4	2	no	—
204	C₂×D₄	—	4	2	no	—
205	C₂×D₄	—	4	2	no	—
206	C₂×D₄	—	4	2	no	—
207	C₂×D₄	—	4	2	no	—
208	C₂×D₄	—	4	4	no	—
209	C₂×D₄	—	4	4	no	—
210	C₂×D₄	—	4	4	no	—
211	C₂×D₄	—	4	4	no	—
212	C₂×D₄	—	4	2	no	—
213	C₂×D₄	—	4	4	no	—
214	C₂×D₄	—	4	4	no	—
215	C₂×D₄	—	4	4	no	—
216	C₂×D₄	—	4	4	no	—
217	C₂×D₄	—	8	2	no	—
218	C₂×D₄	—	8	2	no	—
219	C₂×D₄	—	8	4	no	—
220	C₂×D₄	—	8	4	no	—
221	C₂×D₄	—	8	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
236	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
241	D₈	—	8	16	no	—
242	D₈	—	8	8	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	2	4	no	—
251	C₂×C₈	—	2	4	no	—
252	C₂×C₈	—	4	8	no	—
253	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
254	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
255	C₂×C₈	#135	1	8	yes	—
256	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
270	C₄²	—	2	1	no	—
271	C₄²	—	2	1	no	—
272	C₄²	—	2	2	no	—
273	C₄²	—	2	2	no	—
274	C₄²	—	8	2	no	—
275	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
276	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
277	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	—	2	1	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	—	2	1	no	—
282	C₂³	—	4	2	no	—
283	C₂³	—	8	1	no	—
284	C₂³	—	8	2	no	—
285	C₂³	—	8	1	no	—
286	C₂³	—	8	2	no	—
287	C₂³	—	8	2	no	—
288	C₂³	—	8	2	no	—
289	C₂³	—	8	2	no	—
290	C₂³	—	8	2	no	—
291	C₂³	—	8	2	no	—
292	C₂³	—	8	2	no	—
293	C₂³	—	8	2	no	—
294	C₂³	#493	1	2	yes	—
295	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
296	Q₈	—	4	4	no	—
297	Q₈	—	8	2	no	—
298	D₄	—	4	4	no	—
299	D₄	—	4	8	no	—
300	D₄	—	8	8	no	—
301	D₄	—	8	4	no	—
302	D₄	—	8	2	no	—
303	D₄	—	8	4	no	—
304	D₄	—	8	4	no	—
305	D₄	—	8	4	no	—
306	D₄	—	8	4	no	—
307	D₄	—	8	4	no	—
308	D₄	—	8	4	no	—
309	D₄	—	16	8	no	—
310	C₂×C₄	—	2	1	no	—
311	C₂×C₄	—	2	1	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	2	no	—
320	C₂×C₄	—	8	8	no	—
321	C₂×C₄	—	8	1	no	—
322	C₂×C₄	—	8	1	no	—
323	C₂×C₄	—	8	1	no	—
324	C₂×C₄	—	8	1	no	—
325	C₂×C₄	—	8	2	no	—
326	C₂×C₄	—	8	2	no	—
327	C₂×C₄	—	8	2	no	—
328	C₂×C₄	—	8	2	no	—
329	C₂×C₄	—	8	2	no	—
330	C₂×C₄	#493	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
339	C₈	—	2	4	no	—
340	C₈	—	2	4	no	—
341	C₈	—	2	8	no	—
342	C₈	—	4	4	no	—
343	C₂²	—	2	2	no	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	4	2	no	—
347	C₂²	—	4	2	no	—
348	C₂²	—	8	2	no	—
349	C₂²	—	8	4	no	—
350	C₂²	—	16	1	no	—
351	C₂²	—	16	2	no	—
352	C₂²	—	16	1	no	—
353	C₂²	—	16	2	no	—
354	C₂²	—	16	2	no	—
355	C₂²	—	16	2	no	—
356	C₂²	—	16	2	no	—
357	C₂²	—	16	2	no	—
358	C₂²	—	16	2	no	—
359	C₂²	—	16	2	no	—
360	C₂²	#2539	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	#3147	1	2	yes	—
363	C₂²	#3153	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	#3155	1	2	yes	—
365	C₄	—	2	2	no	—
366	C₄	—	4	2	no	—
367	C₄	—	8	2	no	—
368	C₄	—	16	1	no	—
369	C₄	—	16	1	no	—
370	C₄	—	16	2	no	—
371	C₄	#3100	1	2	yes	—
372	C₄	#3186	1	2	yes	—
373	C₄	#3297	1	4	yes	—
374	C₄	#3305	1	4	yes	—
375	C₂	—	4	2	no	—
376	C₂	—	16	2	no	—
377	C₂	—	32	2	no	—
378	C₂	#19603	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#19644	1	2	yes	—
380	C₂	#19661	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#28301	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#28337	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #33171	C₂	semidirect
2. #27891	C₂	semidirect
3. #25599	C₂	semidirect
4. #21195	C₂	semidirect
5. #10674	C₂	semidirect
6. #10671	C₂	semidirect
7. #10307	C₂	semidirect
8. #10304	C₂	semidirect
9. #9824	C₂	semidirect
10. #9822	C₂	semidirect
11. C₈×C₂²⋊C₈	C₂	semidirect
122. C₂²×C₈	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33171	2
#27891	2
#25599	2
#21195	2
#10674	2
#10671	2
#10307	2
#10304	2
#9824	2
#9822	2
C₈×C₂²⋊C₈	2