Subgroups — #321305

Order 512.

918 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 339 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33241	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#28655	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#28444	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₄×#500	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1722	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10309	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10305	C₂	1	2	yes	maximal
8	#9830	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8261	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#494	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#464	—	2	4	no	—
19	#2858	C₂²	1	2	yes	—
20	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
21	#2067	—	2	4	no	—
22	#2015	—	2	4	no	—
23	#1990	C₂²	1	2	yes	—
24	#1990	C₂²	1	2	yes	—
25	#1970	—	2	2	no	—
26	#1970	—	2	2	no	—
27	#1957	C₂²	1	2	yes	—
28	#1957	C₂²	1	2	yes	—
29	#1956	C₂²	1	2	yes	—
30	#1942	—	2	2	no	—
31	#1925	—	2	4	no	—
32	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₄×#107	—	2	2	no	—
34	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1722	—	2	8	no	—
38	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
39	#1273	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
41	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
42	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×#124	—	2	2	no	—
47	C₂×#124	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
49	#500	—	2	4	no	—
50	#500	—	2	2	no	—
51	#500	—	4	2	no	—
52	#500	—	4	1	no	—
53	#500	—	4	1	no	—
54	#500	D₄	1	4	yes	—
55	#494	—	2	4	no	—
56	#494	—	4	2	no	—
57	#493	—	4	1	no	—
58	#493	—	4	1	no	—
59	#492	—	2	4	no	—
60	#492	—	4	2	no	—
61	#486	—	2	4	no	—
62	#486	—	2	4	no	—
63	#486	—	2	4	no	—
64	#486	—	4	2	no	—
65	#464	—	4	16	no	—
66	C₂×#107	—	2	2	no	—
67	C₂×#107	—	2	4	no	—
68	C₂×#107	—	2	2	no	—
69	C₂×#107	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
72	C₂×#103	—	2	4	no	—
73	C₂×#102	—	2	4	no	—
74	C₂×#102	—	2	4	no	—
75	C₂×#102	—	2	4	no	—
76	C₂×#102	—	2	4	no	—
77	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#391	—	2	2	no	—
84	#390	—	2	2	no	—
85	#390	—	2	2	no	—
86	#390	—	2	2	no	—
87	#390	—	2	2	no	—
88	#389	—	2	2	no	—
89	#389	—	2	2	no	—
90	#384	C₂³	1	2	yes	—
91	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
92	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
93	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	#340	—	2	4	no	—
95	#340	—	2	4	no	—
96	#336	D₄	1	2	yes	—
97	#336	D₄	1	2	yes	—
98	#322	—	2	4	no	—
99	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
100	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
105	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
106	C₂×Q₁₆	—	8	4	no	—
107	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
108	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
109	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
110	C₂×D₈	—	4	4	no	—
111	C₂×D₈	—	4	4	no	—
112	C₂×D₈	—	4	4	no	—
113	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
116	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
118	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
119	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
120	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
121	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
122	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
123	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
124	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
125	#127	—	2	2	no	—
126	#127	—	2	2	no	—
127	#127	—	2	2	no	—
128	#127	—	2	2	no	—
129	#124	—	4	8	no	—
130	#124	—	8	4	no	—
131	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
144	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
145	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	#107	—	2	8	no	—
153	#107	—	4	8	no	—
154	#107	—	4	4	no	—
155	#107	—	4	4	no	—
156	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
157	C₄⋊C₈	D₈	1	8	yes	complemented
158	#103	—	4	8	no	—
159	#102	—	4	8	no	—
160	#102	—	4	8	no	—
161	#102	—	4	8	no	—
162	#102	—	4	8	no	—
163	C₄×C₈	—	2	4	no	—
164	C₄×C₈	—	2	2	no	—
165	C₄×C₈	—	2	2	no	—
166	C₄×C₈	—	2	2	no	—
167	C₄×C₈	—	2	2	no	—
168	C₄×C₈	—	2	1	no	—
169	C₄×C₈	—	2	1	no	—
170	C₄×C₈	—	4	2	no	—
171	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
173	#95	—	4	2	no	—
174	#95	—	4	2	no	—
175	C₂⁴	—	4	2	no	—
176	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
177	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
178	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
179	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
180	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
181	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
183	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
184	C₂×D₄	—	4	2	no	—
185	C₂×D₄	—	4	2	no	—
186	C₂×D₄	—	4	2	no	—
187	C₂×D₄	—	4	2	no	—
188	C₂×D₄	—	4	2	no	—
189	C₂×D₄	—	4	2	no	—
190	C₂×D₄	—	4	4	no	—
191	C₂×D₄	—	4	4	no	—
192	C₂×D₄	—	4	4	no	—
193	C₂×D₄	—	4	4	no	—
194	C₂×D₄	—	4	4	no	—
195	C₂×D₄	—	4	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
206	Q₁₆	—	8	16	no	—
207	SD₁₆	—	8	16	no	—
208	D₈	—	8	8	no	—
209	C₂×C₈	—	2	2	no	—
210	C₂×C₈	—	2	4	no	—
211	C₂×C₈	—	2	2	no	—
212	C₂×C₈	—	2	2	no	—
213	C₂×C₈	—	2	2	no	—
214	C₂×C₈	—	2	4	no	—
215	C₂×C₈	—	2	4	no	—
216	C₂×C₈	—	2	4	no	—
217	C₂×C₈	—	2	4	no	—
218	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
219	C₂×C₈	C₂×D₈	1	8	yes	—
220	C₂×C₈	#137	1	4	yes	—
221	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
222	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
224	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
225	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
226	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
227	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
228	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
229	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
237	C₄²	—	2	2	no	—
238	C₄²	—	2	2	no	—
239	C₄²	—	2	2	no	—
240	C₄²	—	2	2	no	—
241	C₄²	—	2	2	no	—
242	C₄²	—	8	4	no	—
243	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
244	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
246	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
247	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
248	C₂³	—	8	2	no	—
249	C₂³	—	8	2	no	—
250	C₂³	—	8	2	no	—
251	C₂³	—	8	2	no	—
252	C₂³	—	8	2	no	—
253	C₂³	—	8	2	no	—
254	C₂³	—	8	2	no	—
255	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
256	Q₈	—	4	8	no	—
257	Q₈	—	8	4	no	—
258	Q₈	—	8	4	no	—
259	Q₈	—	8	4	no	—
260	D₄	—	8	4	no	—
261	D₄	—	8	4	no	—
262	D₄	—	8	4	no	—
263	D₄	—	8	4	no	—
264	D₄	—	8	4	no	—
265	D₄	—	8	4	no	—
266	C₂×C₄	—	2	1	no	—
267	C₂×C₄	—	2	1	no	—
268	C₂×C₄	—	2	1	no	—
269	C₂×C₄	—	2	1	no	—
270	C₂×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂×C₄	—	2	1	no	—
272	C₂×C₄	—	2	1	no	—
273	C₂×C₄	—	2	1	no	—
274	C₂×C₄	—	2	1	no	—
275	C₂×C₄	—	2	1	no	—
276	C₂×C₄	—	4	4	no	—
277	C₂×C₄	—	8	2	no	—
278	C₂×C₄	—	8	2	no	—
279	C₂×C₄	—	8	2	no	—
280	C₂×C₄	—	8	2	no	—
281	C₂×C₄	—	8	2	no	—
282	C₂×C₄	—	8	2	no	—
283	C₂×C₄	—	8	2	no	—
284	C₂×C₄	—	8	2	no	—
285	C₂×C₄	#493	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	#493	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
299	C₈	—	2	4	no	—
300	C₈	—	2	8	no	—
301	C₈	—	2	4	no	—
302	C₈	—	4	4	no	—
303	C₂²	—	16	2	no	—
304	C₂²	—	16	2	no	—
305	C₂²	—	16	2	no	—
306	C₂²	—	16	2	no	—
307	C₂²	—	16	2	no	—
308	C₂²	—	16	2	no	—
309	C₂²	—	16	2	no	—
310	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	#3150	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	#3150	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	#3152	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
316	C₂²	#3156	1	1	yes	characteristic
317	C₄	—	2	2	no	—
318	C₄	—	2	2	no	—
319	C₄	—	4	1	no	—
320	C₄	—	4	1	no	—
321	C₄	—	8	4	no	—
322	C₄	—	16	2	no	—
323	C₄	—	16	2	no	—
324	C₄	#3037	1	2	yes	—
325	C₄	#3215	1	2	yes	—
326	C₄	#3277	1	2	yes	—
327	C₄	D₄×D₈	1	2	yes	—
328	C₄	#3391	1	2	yes	—
329	C₄	#3402	1	2	yes	—
330	C₂	—	32	2	no	—
331	C₂	#19616	1	1	yes	characteristic
332	C₂	#19630	1	1	yes	characteristic
333	C₂	#19688	1	1	yes	characteristic
334	C₂	#19712	1	1	yes	characteristic
335	C₂	#28447	1	1	yes	characteristic
336	C₂	#28458	1	1	yes	characteristic
337	C₂	#28469	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#493	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #28655	C₂	semidirect
3. #28444	C₂	semidirect
4. C₄×#500	C₂	semidirect
5. C₂×#1722	C₂	semidirect
6. #10309	C₂	semidirect
8. #9830	C₂	semidirect
9. #8261	C₂	semidirect
157. C₄⋊C₈	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33241	2
#28655	2
#28444	2
C₄×#500	2
C₂×#1722	2
#10309	2
#10305	2
#9830	2
#8261	2