Subgroups — #321321

Order 512.

1092 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 455 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33300	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#28716	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#28687	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#28441	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#28437	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₄×#486	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#1715	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10315	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10305	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#9829	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#8261	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#492	—	2	2	no	—
15	C₂×#492	—	2	2	no	—
16	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#486	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#460	—	2	2	no	—
22	C₂×#459	—	2	2	no	—
23	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2084	—	2	2	no	—
28	#2071	—	2	2	no	—
29	#2014	—	2	2	no	—
30	#2011	—	2	2	no	—
31	#1990	C₂²	1	2	yes	—
32	#1990	C₂²	1	2	yes	—
33	#1990	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1957	C₂²	1	2	yes	—
35	#1957	C₂²	1	2	yes	—
36	#1957	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1948	—	2	2	no	—
38	#1934	—	2	2	no	—
39	#1834	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1802	—	2	2	no	—
41	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₄×#102	—	2	2	no	—
44	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1715	—	2	8	no	—
46	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
47	#1273	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
49	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
50	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
51	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#127	—	2	1	no	—
57	C₂×#127	—	2	1	no	—
58	C₂×#127	—	2	1	no	—
59	C₂×#127	—	2	1	no	—
60	C₂×#127	—	2	1	no	—
61	C₂×#127	—	2	1	no	—
62	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
65	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
66	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
68	#498	—	2	4	no	—
69	#498	—	4	2	no	—
70	#493	—	2	4	no	—
71	#493	—	4	2	no	—
72	#492	—	2	4	no	—
73	#492	—	2	4	no	—
74	#492	—	2	4	no	—
75	#492	—	4	2	no	—
76	#492	—	4	2	no	—
77	#492	—	4	2	no	—
78	#492	—	4	8	no	—
79	#492	—	4	8	no	—
80	#486	—	2	4	no	—
81	#486	—	2	2	no	—
82	#486	—	4	2	no	—
83	#486	D₄	1	4	yes	complemented
84	#460	—	4	8	no	—
85	#459	—	4	8	no	—
86	C₂×#106	—	2	4	no	—
87	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
88	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
89	C₂×#102	—	2	2	no	—
90	C₂×#102	—	2	4	no	—
91	C₂×#102	—	2	2	no	—
92	C₂×#102	—	2	4	no	—
93	C₂×#102	—	2	4	no	—
94	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	#391	—	2	1	no	—
101	#390	—	2	1	no	—
102	#390	—	2	1	no	—
103	#390	—	2	1	no	—
104	#389	—	2	1	no	—
105	#389	—	2	1	no	—
106	#384	—	2	1	no	—
107	#384	—	2	1	no	—
108	#384	—	2	1	no	—
109	#384	—	2	1	no	—
110	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
113	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
114	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
115	#340	—	2	4	no	—
116	#340	—	2	4	no	—
117	#340	—	2	2	no	—
118	#340	—	2	2	no	—
119	#336	D₄	1	2	yes	—
120	#336	D₄	1	2	yes	—
121	#322	—	2	4	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
123	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
131	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
132	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
133	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
134	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
135	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
136	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
137	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
138	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
139	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
140	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
141	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
142	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
143	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
144	C₂×D₈	—	4	8	no	—
145	C₂×D₈	—	4	8	no	—
146	C₂×D₈	—	8	4	no	—
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
160	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	#127	—	2	2	no	—
162	#127	—	2	1	no	—
163	#127	—	2	2	no	—
164	#127	—	2	1	no	—
165	#127	—	2	1	no	—
166	#127	—	2	2	no	—
167	#127	—	2	2	no	—
168	#127	—	4	4	no	—
169	#127	—	4	4	no	—
170	#127	—	4	4	no	—
171	#127	—	4	4	no	—
172	#127	—	8	2	no	—
173	#127	—	8	2	no	—
174	#127	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
176	C₄×D₄	—	4	4	no	—
177	C₄×D₄	—	4	4	no	—
178	C₄×D₄	—	4	4	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
197	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
198	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
205	#106	—	4	8	no	—
206	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
207	C₄⋊C₈	SD₁₆	1	8	yes	complemented
208	#102	—	2	8	no	—
209	#102	—	4	8	no	—
210	#102	—	4	8	no	—
211	#102	—	4	8	no	—
212	#102	—	4	4	no	—
213	C₄×C₈	—	2	4	no	—
214	C₄×C₈	—	2	4	no	—
215	C₄×C₈	—	2	2	no	—
216	C₄×C₈	—	2	2	no	—
217	C₄×C₈	—	2	2	no	—
218	C₄×C₈	—	2	1	no	—
219	C₄×C₈	—	2	1	no	—
220	C₄×C₈	—	2	2	no	—
221	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
222	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
223	#95	—	4	1	no	—
224	#95	—	4	1	no	—
225	C₂⁴	—	4	1	no	—
226	C₂⁴	—	4	2	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	2	2	no	—
236	C₂×D₄	—	2	2	no	—
237	C₂×D₄	—	2	2	no	—
238	C₂×D₄	—	4	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	1	no	—
240	C₂×D₄	—	4	2	no	—
241	C₂×D₄	—	4	2	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	4	1	no	—
244	C₂×D₄	—	4	1	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×D₄	—	4	2	no	—
247	C₂×D₄	—	4	2	no	—
248	C₂×D₄	—	4	4	no	—
249	C₂×D₄	—	4	2	no	—
250	C₂×D₄	—	4	2	no	—
251	C₂×D₄	—	4	2	no	—
252	C₂×D₄	—	4	4	no	—
253	C₂×D₄	—	4	4	no	—
254	C₂×D₄	—	4	4	no	—
255	C₂×D₄	—	4	2	no	—
256	C₂×D₄	—	4	2	no	—
257	C₂×D₄	—	4	4	no	—
258	C₂×D₄	—	4	4	no	—
259	C₂×D₄	—	8	2	no	—
260	C₂×D₄	—	8	2	no	—
261	C₂×D₄	—	8	2	no	—
262	C₂×D₄	—	8	2	no	—
263	C₂×D₄	—	8	2	no	—
264	C₂×D₄	—	8	2	no	—
265	C₂×D₄	—	8	2	no	—
266	C₂×D₄	—	8	2	no	—
267	C₂×D₄	—	8	2	no	—
268	C₂×D₄	—	8	2	no	—
269	C₂×D₄	—	8	2	no	—
270	C₂×D₄	—	8	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
277	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
278	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
282	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
285	SD₁₆	—	8	16	no	—
286	SD₁₆	—	8	16	no	—
287	SD₁₆	—	8	16	no	—
288	D₈	—	8	16	no	—
289	C₂×C₈	—	2	2	no	—
290	C₂×C₈	—	2	4	no	—
291	C₂×C₈	—	2	2	no	—
292	C₂×C₈	—	2	2	no	—
293	C₂×C₈	—	2	2	no	—
294	C₂×C₈	—	2	4	no	—
295	C₂×C₈	—	2	4	no	—
296	C₂×C₈	—	2	4	no	—
297	C₂×C₈	—	2	4	no	—
298	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
299	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	8	yes	—
300	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
301	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
310	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
311	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
312	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
313	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
314	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
315	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
316	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
317	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
319	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
323	C₄²	—	2	2	no	—
324	C₄²	—	2	2	no	—
325	C₄²	—	2	2	no	—
326	C₄²	—	8	2	no	—
327	C₄²	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
328	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
329	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
330	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
331	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
332	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
333	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
334	C₂³	—	4	2	no	—
335	C₂³	—	8	1	no	—
336	C₂³	—	8	1	no	—
337	C₂³	—	8	1	no	—
338	C₂³	—	8	1	no	—
339	C₂³	—	8	1	no	—
340	C₂³	—	8	1	no	—
341	C₂³	—	8	2	no	—
342	C₂³	—	8	2	no	—
343	C₂³	—	8	2	no	—
344	C₂³	—	8	2	no	—
345	C₂³	—	8	2	no	—
346	C₂³	—	8	2	no	—
347	C₂³	—	8	2	no	—
348	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
349	Q₈	—	4	4	no	—
350	Q₈	—	8	2	no	—
351	Q₈	—	8	4	no	—
352	Q₈	—	8	4	no	—
353	D₄	—	4	4	no	—
354	D₄	—	4	4	no	—
355	D₄	—	4	4	no	—
356	D₄	—	8	2	no	—
357	D₄	—	8	4	no	—
358	D₄	—	8	2	no	—
359	D₄	—	8	4	no	—
360	D₄	—	8	2	no	—
361	D₄	—	8	4	no	—
362	D₄	—	8	4	no	—
363	D₄	—	8	4	no	—
364	D₄	—	8	4	no	—
365	D₄	—	16	4	no	—
366	D₄	—	16	4	no	—
367	D₄	—	16	4	no	—
368	D₄	—	16	4	no	—
369	C₂×C₄	—	2	1	no	—
370	C₂×C₄	—	2	1	no	—
371	C₂×C₄	—	2	1	no	—
372	C₂×C₄	—	2	1	no	—
373	C₂×C₄	—	2	1	no	—
374	C₂×C₄	—	2	1	no	—
375	C₂×C₄	—	4	2	no	—
376	C₂×C₄	—	8	1	no	—
377	C₂×C₄	—	8	1	no	—
378	C₂×C₄	—	8	1	no	—
379	C₂×C₄	—	8	1	no	—
380	C₂×C₄	—	8	1	no	—
381	C₂×C₄	—	8	1	no	—
382	C₂×C₄	—	8	2	no	—
383	C₂×C₄	—	8	1	no	—
384	C₂×C₄	—	8	2	no	—
385	C₂×C₄	—	8	1	no	—
386	C₂×C₄	—	8	2	no	—
387	C₂×C₄	—	16	4	no	—
388	C₂×C₄	#492	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	#492	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	#496	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#496	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	#496	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	#496	1	2	yes	—
394	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
395	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
396	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
397	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
398	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
399	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
400	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
401	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
402	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
403	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
404	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
405	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
406	C₈	—	2	4	no	—
407	C₈	—	2	8	no	—
408	C₈	—	2	4	no	—
409	C₈	—	4	4	no	—
410	C₂²	—	8	2	no	—
411	C₂²	—	8	2	no	—
412	C₂²	—	8	2	no	—
413	C₂²	—	16	1	no	—
414	C₂²	—	16	1	no	—
415	C₂²	—	16	1	no	—
416	C₂²	—	16	1	no	—
417	C₂²	—	16	2	no	—
418	C₂²	—	16	2	no	—
419	C₂²	—	16	2	no	—
420	C₂²	—	16	2	no	—
421	C₂²	—	16	2	no	—
422	C₂²	—	16	2	no	—
423	C₂²	—	16	2	no	—
424	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
425	C₂²	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
426	C₂²	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
427	C₂²	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
428	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
429	C₂²	#3154	1	1	yes	characteristic
430	C₂²	#3154	1	1	yes	characteristic
431	C₄	—	2	2	no	—
432	C₄	—	2	2	no	—
433	C₄	—	2	2	no	—
434	C₄	—	8	2	no	—
435	C₄	—	16	2	no	—
436	C₄	—	16	1	no	—
437	C₄	—	16	1	no	—
438	C₄	#1715	1	4	yes	complemented
439	C₄	#3038	1	2	yes	—
440	C₄	#3217	1	2	yes	—
441	C₄	#3272	1	2	yes	—
442	C₄	D₄×SD₁₆	1	2	yes	—
443	C₄	#3392	1	2	yes	—
444	C₄	#3397	1	2	yes	—
445	C₂	—	16	2	no	—
446	C₂	—	32	2	no	—
447	C₂	C₂×#1715	1	1	yes	characteristic
448	C₂	#19621	1	1	yes	characteristic
449	C₂	#19671	1	1	yes	characteristic
450	C₂	#19697	1	1	yes	characteristic
451	C₂	#28448	1	1	yes	characteristic
452	C₂	#28461	1	1	yes	characteristic
453	C₂	#28472	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#28437	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #33300	C₂	semidirect
2. #28716	C₂	semidirect
3. #28687	C₂	semidirect
4. #28441	C₂	semidirect
6. C₄×#486	C₂	semidirect
7. C₂×#1715	C₂	semidirect
8. #10315	C₂	semidirect
9. #10305	C₂	semidirect
10. #9829	C₂	semidirect
11. #8261	C₂	semidirect
83. #486	D₄	semidirect
207. C₄⋊C₈	SD₁₆	semidirect
438. C₄	#1715	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33300	2
#28716	2
#28687	2
#28441	2
#28437	2
C₄×#486	2
C₂×#1715	2
#10315	2
#10305	2
#9829	2
#8261	2