Subgroups — #321336

Order 512.

996 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 450 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33224	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#28749	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#28748	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#28716	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#28437	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₄×#492	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#1717	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10311	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10307	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#9827	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#8261	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#492	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#459	—	2	2	no	—
20	C₂×C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
21	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2071	—	2	2	no	—
26	#2043	—	2	2	no	—
27	#2041	—	2	2	no	—
28	#2011	—	2	2	no	—
29	#1990	C₂²	1	2	yes	—
30	#1982	—	2	2	no	—
31	#1981	—	2	2	no	—
32	#1968	—	2	2	no	—
33	#1957	—	2	2	no	—
34	#1957	—	2	2	no	—
35	#1957	C₂²	1	2	yes	—
36	#1957	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1957	C₂²	1	2	yes	—
38	#1956	C₂²	1	2	yes	—
39	#1956	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1802	—	2	2	no	—
42	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1717	—	2	8	no	—
46	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
47	#1273	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#127	—	2	1	no	—
55	C₂×#127	—	2	1	no	—
56	C₂×#127	—	2	1	no	—
57	C₂×#127	—	2	1	no	—
58	C₂×#127	—	2	1	no	—
59	C₂×#127	—	2	1	no	—
60	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
63	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
64	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
65	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
66	#493	—	2	4	no	—
67	#493	—	4	2	no	—
68	#492	—	2	2	no	—
69	#492	D₄	1	4	yes	complemented
70	#487	—	2	4	no	—
71	#487	—	4	2	no	—
72	#486	—	2	4	no	—
73	#486	—	2	4	no	—
74	#486	—	2	4	no	—
75	#486	—	2	4	no	—
76	#486	—	4	2	no	—
77	#486	—	4	2	no	—
78	#486	—	4	2	no	—
79	#486	—	4	2	no	—
80	#459	—	4	8	no	—
81	C₄×SD₁₆	—	4	8	no	—
82	C₂×#106	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
85	C₂×#103	—	2	4	no	—
86	C₂×#103	—	2	2	no	—
87	C₂×#103	—	2	4	no	—
88	C₂×#102	—	2	4	no	—
89	C₂×#102	—	2	4	no	—
90	C₂×#102	—	2	4	no	—
91	C₂×#102	—	2	4	no	—
92	C₂×#102	—	2	2	no	—
93	C₂×#102	—	2	4	no	—
94	C₂×#102	—	2	4	no	—
95	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	#391	—	2	1	no	—
102	#390	—	2	1	no	—
103	#390	—	2	1	no	—
104	#390	—	2	1	no	—
105	#389	—	2	1	no	—
106	#389	—	2	1	no	—
107	#384	—	2	1	no	—
108	#384	—	2	1	no	—
109	#384	—	2	1	no	—
110	#384	—	2	1	no	—
111	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
114	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
115	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	#340	—	2	4	no	—
117	#336	D₄	1	2	yes	—
118	#336	D₄	1	2	yes	—
119	#322	—	2	4	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
129	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
130	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
131	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
132	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
133	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
134	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
135	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
136	C₂×D₈	—	4	8	no	—
137	C₂×D₈	—	4	8	no	—
138	C₂×D₈	—	8	4	no	—
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
152	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	#127	—	2	2	no	—
154	#127	—	2	1	no	—
155	#127	—	2	2	no	—
156	#127	—	2	1	no	—
157	#127	—	2	1	no	—
158	#127	—	2	2	no	—
159	#127	—	2	2	no	—
160	#127	—	4	4	no	—
161	#127	—	4	4	no	—
162	#127	—	4	4	no	—
163	#127	—	4	4	no	—
164	#127	—	8	2	no	—
165	#127	—	8	2	no	—
166	#127	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
168	C₄×D₄	—	4	4	no	—
169	C₄×D₄	—	4	4	no	—
170	C₄×D₄	—	4	4	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
189	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
197	#106	—	4	4	no	—
198	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
199	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
200	#103	—	4	8	no	—
201	#103	—	4	4	no	—
202	#103	—	8	4	no	—
203	#102	—	4	8	no	—
204	#102	—	4	8	no	—
205	#102	—	4	4	no	—
206	#102	—	4	8	no	—
207	#102	—	4	8	no	—
208	#102	—	4	8	no	—
209	#102	—	8	4	no	—
210	C₄×C₈	—	2	4	no	—
211	C₄×C₈	—	2	2	no	—
212	C₄×C₈	—	2	2	no	—
213	C₄×C₈	—	2	1	no	—
214	C₄×C₈	—	2	1	no	—
215	C₄×C₈	—	2	2	no	—
216	C₄×C₈	—	2	2	no	—
217	C₄×C₈	—	4	2	no	—
218	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
219	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
220	#95	—	4	1	no	—
221	#95	—	4	1	no	—
222	C₂⁴	—	4	1	no	—
223	C₂⁴	—	4	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
232	C₂×D₄	—	2	2	no	—
233	C₂×D₄	—	2	2	no	—
234	C₂×D₄	—	2	2	no	—
235	C₂×D₄	—	4	2	no	—
236	C₂×D₄	—	4	1	no	—
237	C₂×D₄	—	4	2	no	—
238	C₂×D₄	—	4	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	1	no	—
241	C₂×D₄	—	4	1	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	4	no	—
246	C₂×D₄	—	4	2	no	—
247	C₂×D₄	—	4	2	no	—
248	C₂×D₄	—	4	4	no	—
249	C₂×D₄	—	4	4	no	—
250	C₂×D₄	—	4	2	no	—
251	C₂×D₄	—	4	4	no	—
252	C₂×D₄	—	4	2	no	—
253	C₂×D₄	—	4	4	no	—
254	C₂×D₄	—	4	2	no	—
255	C₂×D₄	—	4	4	no	—
256	C₂×D₄	—	8	2	no	—
257	C₂×D₄	—	8	2	no	—
258	C₂×D₄	—	8	2	no	—
259	C₂×D₄	—	8	2	no	—
260	C₂×D₄	—	8	2	no	—
261	C₂×D₄	—	8	2	no	—
262	C₂×D₄	—	8	2	no	—
263	C₂×D₄	—	8	2	no	—
264	C₂×D₄	—	8	2	no	—
265	C₂×D₄	—	8	2	no	—
266	C₂×D₄	—	8	2	no	—
267	C₂×D₄	—	8	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
275	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
276	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
282	SD₁₆	—	4	16	no	—
283	D₈	—	8	16	no	—
284	C₂×C₈	—	2	2	no	—
285	C₂×C₈	—	2	2	no	—
286	C₂×C₈	—	2	2	no	—
287	C₂×C₈	—	2	4	no	—
288	C₂×C₈	—	2	4	no	—
289	C₂×C₈	—	2	4	no	—
290	C₂×C₈	—	2	2	no	—
291	C₂×C₈	—	2	4	no	—
292	C₂×C₈	—	2	2	no	—
293	C₂×C₈	—	2	4	no	—
294	C₂×C₈	—	2	4	no	—
295	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
296	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
310	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
311	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
312	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
313	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
314	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
318	C₄²	—	2	2	no	—
319	C₄²	—	2	2	no	—
320	C₄²	—	2	2	no	—
321	C₄²	—	8	2	no	—
322	C₄²	#135	1	4	yes	—
323	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
324	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
325	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
327	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
328	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
329	C₂³	—	4	2	no	—
330	C₂³	—	8	1	no	—
331	C₂³	—	8	1	no	—
332	C₂³	—	8	1	no	—
333	C₂³	—	8	1	no	—
334	C₂³	—	8	1	no	—
335	C₂³	—	8	1	no	—
336	C₂³	—	8	2	no	—
337	C₂³	—	8	2	no	—
338	C₂³	—	8	2	no	—
339	C₂³	—	8	2	no	—
340	C₂³	—	8	2	no	—
341	C₂³	—	8	2	no	—
342	C₂³	—	8	2	no	—
343	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
344	Q₈	—	4	4	no	—
345	Q₈	—	8	2	no	—
346	Q₈	—	8	4	no	—
347	Q₈	—	8	4	no	—
348	D₄	—	4	4	no	—
349	D₄	—	4	4	no	—
350	D₄	—	4	4	no	—
351	D₄	—	8	2	no	—
352	D₄	—	8	4	no	—
353	D₄	—	8	2	no	—
354	D₄	—	8	4	no	—
355	D₄	—	8	2	no	—
356	D₄	—	8	4	no	—
357	D₄	—	8	4	no	—
358	D₄	—	8	4	no	—
359	D₄	—	8	4	no	—
360	D₄	—	16	4	no	—
361	D₄	—	16	4	no	—
362	D₄	—	16	4	no	—
363	D₄	—	16	4	no	—
364	C₂×C₄	—	2	1	no	—
365	C₂×C₄	—	2	1	no	—
366	C₂×C₄	—	2	1	no	—
367	C₂×C₄	—	2	1	no	—
368	C₂×C₄	—	2	1	no	—
369	C₂×C₄	—	2	1	no	—
370	C₂×C₄	—	4	2	no	—
371	C₂×C₄	—	8	1	no	—
372	C₂×C₄	—	8	1	no	—
373	C₂×C₄	—	8	1	no	—
374	C₂×C₄	—	8	1	no	—
375	C₂×C₄	—	8	1	no	—
376	C₂×C₄	—	8	1	no	—
377	C₂×C₄	—	8	2	no	—
378	C₂×C₄	—	8	1	no	—
379	C₂×C₄	—	8	1	no	—
380	C₂×C₄	—	8	2	no	—
381	C₂×C₄	—	8	2	no	—
382	C₂×C₄	—	16	4	no	—
383	C₂×C₄	#495	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	#495	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	#496	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	#496	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	#496	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	#496	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
391	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
392	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
393	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
395	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
396	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
397	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
398	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
399	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
400	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
401	C₈	—	2	4	no	—
402	C₈	—	4	2	no	—
403	C₈	—	4	4	no	—
404	C₈	—	4	4	no	—
405	C₂²	—	8	2	no	—
406	C₂²	—	8	2	no	—
407	C₂²	—	8	2	no	—
408	C₂²	—	16	1	no	—
409	C₂²	—	16	1	no	—
410	C₂²	—	16	1	no	—
411	C₂²	—	16	1	no	—
412	C₂²	—	16	2	no	—
413	C₂²	—	16	2	no	—
414	C₂²	—	16	2	no	—
415	C₂²	—	16	2	no	—
416	C₂²	—	16	2	no	—
417	C₂²	—	16	2	no	—
418	C₂²	—	16	2	no	—
419	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
420	C₂²	C₂×#495	1	1	yes	characteristic
421	C₂²	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
422	C₂²	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
423	C₂²	#3153	1	1	yes	characteristic
424	C₂²	#3154	1	1	yes	characteristic
425	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
426	C₄	—	2	2	no	—
427	C₄	—	2	2	no	—
428	C₄	—	2	2	no	—
429	C₄	—	8	2	no	—
430	C₄	—	16	2	no	—
431	C₄	—	16	1	no	—
432	C₄	—	16	1	no	—
433	C₄	#1717	1	4	yes	complemented
434	C₄	#3036	1	2	yes	—
435	C₄	#3214	1	2	yes	—
436	C₄	#3274	1	2	yes	—
437	C₄	#3284	1	2	yes	—
438	C₄	#3394	1	2	yes	—
439	C₄	#3399	1	2	yes	—
440	C₂	—	16	2	no	—
441	C₂	—	32	2	no	—
442	C₂	C₂×#1717	1	1	yes	characteristic
443	C₂	#19627	1	1	yes	characteristic
444	C₂	#19678	1	1	yes	characteristic
445	C₂	#19701	1	1	yes	characteristic
446	C₂	#28450	1	1	yes	characteristic
447	C₂	#28460	1	1	yes	characteristic
448	C₂	#28470	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#28437	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #33224	C₂	semidirect
2. #28749	C₂	semidirect
3. #28748	C₂	semidirect
4. #28716	C₂	semidirect
6. C₄×#492	C₂	semidirect
7. C₂×#1717	C₂	semidirect
8. #10311	C₂	semidirect
9. #10307	C₂	semidirect
10. #9827	C₂	semidirect
11. #8261	C₂	semidirect
69. #492	D₄	semidirect
433. C₄	#1717	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33224	2
#28749	2
#28748	2
#28716	2
#28437	2
C₄×#492	2
C₂×#1717	2
#10311	2
#10307	2
#9827	2
#8261	2