Subgroups — #321392

Order 512.

926 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 342 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33303	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#28654	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#28614	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₄×#500	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1714	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10318	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10305	C₂	1	2	yes	maximal
8	#9842	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8260	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#495	—	2	2	no	—
13	C₂×#495	—	2	2	no	—
14	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
20	#2858	C₂²	1	2	yes	—
21	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
22	#2065	—	2	4	no	—
23	#2055	—	2	4	no	—
24	#1990	C₂²	1	2	yes	—
25	#1990	C₂²	1	2	yes	—
26	#1990	C₂²	1	2	yes	—
27	#1957	C₂²	1	2	yes	—
28	#1957	C₂²	1	2	yes	—
29	#1942	—	2	2	no	—
30	#1926	—	2	4	no	—
31	#1880	—	2	4	no	—
32	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₄×#107	—	2	2	no	—
34	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1714	—	2	8	no	—
38	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
39	#1273	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
41	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
42	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
43	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×#124	—	2	2	no	—
48	C₂×#124	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
50	#500	—	2	2	no	—
51	#500	D₄	1	4	yes	—
52	#498	—	2	4	no	—
53	#498	—	4	2	no	—
54	#495	—	4	8	no	—
55	#495	—	4	8	no	—
56	#494	—	4	1	no	—
57	#494	—	4	1	no	—
58	#493	—	4	1	no	—
59	#493	—	4	1	no	—
60	#492	—	2	4	no	—
61	#492	—	2	4	no	—
62	#492	—	2	4	no	—
63	#492	—	4	2	no	—
64	#487	—	2	4	no	—
65	#487	—	4	2	no	—
66	#486	—	2	4	no	—
67	#486	—	4	2	no	—
68	C₂×#107	—	2	2	no	—
69	C₂×#107	—	2	2	no	—
70	C₂×#106	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×#103	—	2	4	no	—
74	C₂×#102	—	2	4	no	—
75	C₂×#102	—	2	4	no	—
76	C₂×#102	—	2	4	no	—
77	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#391	—	2	2	no	—
84	#390	—	2	2	no	—
85	#390	—	2	2	no	—
86	#390	—	2	2	no	—
87	#390	—	2	2	no	—
88	#389	—	2	2	no	—
89	#389	—	2	2	no	—
90	#384	C₂³	1	2	yes	—
91	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
92	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
93	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	#340	—	2	4	no	—
95	#340	—	2	4	no	—
96	#340	—	2	4	no	—
97	#336	D₄	1	2	yes	—
98	#336	D₄	1	2	yes	—
99	#322	—	2	4	no	—
100	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
106	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
107	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
108	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
109	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
110	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
111	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
112	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
113	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
114	C₂×D₈	—	4	4	no	—
115	C₂×D₈	—	4	4	no	—
116	C₂×D₈	—	4	4	no	—
117	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
122	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
123	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
124	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
125	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
126	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
127	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
128	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
129	#127	—	2	2	no	—
130	#127	—	2	2	no	—
131	#127	—	2	2	no	—
132	#127	—	2	2	no	—
133	#124	—	4	8	no	—
134	#124	—	4	8	no	—
135	C₄×Q₈	—	8	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
148	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
156	#107	—	2	8	no	—
157	#107	—	4	4	no	—
158	#106	—	4	8	no	—
159	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
160	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
161	#103	—	4	8	no	—
162	#102	—	4	8	no	—
163	#102	—	4	8	no	—
164	#102	—	8	4	no	—
165	C₄×C₈	—	2	4	no	—
166	C₄×C₈	—	2	2	no	—
167	C₄×C₈	—	2	2	no	—
168	C₄×C₈	—	2	2	no	—
169	C₄×C₈	—	2	2	no	—
170	C₄×C₈	—	2	1	no	—
171	C₄×C₈	—	2	1	no	—
172	C₄×C₈	SD₁₆	1	8	yes	complemented
173	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
175	#95	—	4	2	no	—
176	#95	—	4	2	no	—
177	C₂⁴	—	4	2	no	—
178	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
179	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
180	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
181	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
183	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
184	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
185	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
186	C₂×D₄	—	4	2	no	—
187	C₂×D₄	—	4	2	no	—
188	C₂×D₄	—	4	2	no	—
189	C₂×D₄	—	4	2	no	—
190	C₂×D₄	—	4	2	no	—
191	C₂×D₄	—	4	2	no	—
192	C₂×D₄	—	4	4	no	—
193	C₂×D₄	—	4	4	no	—
194	C₂×D₄	—	4	4	no	—
195	C₂×D₄	—	4	4	no	—
196	C₂×D₄	—	4	4	no	—
197	C₂×D₄	—	4	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
208	Q₁₆	—	8	8	no	—
209	SD₁₆	—	8	16	no	—
210	SD₁₆	—	8	16	no	—
211	D₈	—	8	8	no	—
212	C₂×C₈	—	2	2	no	—
213	C₂×C₈	—	2	2	no	—
214	C₂×C₈	—	2	4	no	—
215	C₂×C₈	—	2	4	no	—
216	C₂×C₈	—	2	4	no	—
217	C₂×C₈	—	2	4	no	—
218	C₂×C₈	—	2	4	no	—
219	C₂×C₈	—	2	4	no	—
220	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
221	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
222	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
223	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
224	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
226	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
227	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
228	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
229	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
240	C₄²	—	2	2	no	—
241	C₄²	—	2	2	no	—
242	C₄²	—	2	2	no	—
243	C₄²	—	2	2	no	—
244	C₄²	—	2	2	no	—
245	C₄²	—	8	4	no	—
246	C₄²	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
247	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
249	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
250	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
251	C₂³	—	8	2	no	—
252	C₂³	—	8	2	no	—
253	C₂³	—	8	2	no	—
254	C₂³	—	8	2	no	—
255	C₂³	—	8	2	no	—
256	C₂³	—	8	2	no	—
257	C₂³	—	8	2	no	—
258	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
259	Q₈	—	4	8	no	—
260	Q₈	—	8	4	no	—
261	Q₈	—	8	4	no	—
262	Q₈	—	8	4	no	—
263	D₄	—	8	4	no	—
264	D₄	—	8	4	no	—
265	D₄	—	8	4	no	—
266	D₄	—	8	4	no	—
267	D₄	—	8	4	no	—
268	D₄	—	8	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	1	no	—
270	C₂×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂×C₄	—	2	1	no	—
272	C₂×C₄	—	2	1	no	—
273	C₂×C₄	—	2	1	no	—
274	C₂×C₄	—	2	1	no	—
275	C₂×C₄	—	2	1	no	—
276	C₂×C₄	—	2	1	no	—
277	C₂×C₄	—	2	1	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	4	4	no	—
280	C₂×C₄	—	8	2	no	—
281	C₂×C₄	—	8	2	no	—
282	C₂×C₄	—	8	2	no	—
283	C₂×C₄	—	8	2	no	—
284	C₂×C₄	—	8	2	no	—
285	C₂×C₄	—	8	2	no	—
286	C₂×C₄	—	8	2	no	—
287	C₂×C₄	—	8	2	no	—
288	C₂×C₄	#492	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	#492	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
302	C₈	—	2	4	no	—
303	C₈	—	4	4	no	—
304	C₈	—	4	4	no	—
305	C₈	#460	1	8	yes	—
306	C₂²	—	16	2	no	—
307	C₂²	—	16	2	no	—
308	C₂²	—	16	2	no	—
309	C₂²	—	16	2	no	—
310	C₂²	—	16	2	no	—
311	C₂²	—	16	2	no	—
312	C₂²	—	16	2	no	—
313	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	#3150	1	1	yes	characteristic
316	C₂²	#3150	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	#3156	1	1	yes	characteristic
320	C₄	—	2	2	no	—
321	C₄	—	2	2	no	—
322	C₄	—	4	1	no	—
323	C₄	—	4	1	no	—
324	C₄	—	8	4	no	—
325	C₄	—	16	2	no	—
326	C₄	—	16	2	no	—
327	C₄	C₂×#460	1	2	yes	—
328	C₄	#3208	1	2	yes	—
329	C₄	#3273	1	2	yes	—
330	C₄	#3277	1	2	yes	—
331	C₄	#3402	1	2	yes	—
332	C₄	#3403	1	2	yes	—
333	C₂	—	32	2	no	—
334	C₂	#19608	1	1	yes	characteristic
335	C₂	#19655	1	1	yes	characteristic
336	C₂	#19687	1	1	yes	characteristic
337	C₂	#19689	1	1	yes	characteristic
338	C₂	#28441	1	1	yes	characteristic
339	C₂	#28467	1	1	yes	characteristic
340	C₂	#28469	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#493	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #28654	C₂	semidirect
3. #28614	C₂	semidirect
4. C₄×#500	C₂	semidirect
5. C₂×#1714	C₂	semidirect
6. #10318	C₂	semidirect
8. #9842	C₂	semidirect
9. #8260	C₂	semidirect
172. C₄×C₈	SD₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33303	2
#28654	2
#28614	2
C₄×#500	2
C₂×#1714	2
#10318	2
#10305	2
#9842	2
#8260	2